А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда з?017 — — количество соли, выливающеесЯ из первого бака ао второй за время ат (до 1+ж, а тбв' — — количество соли, выливающееся из втоРаго бака за этот все пРомежУток вРемени, где(и Е (1, Г+Ж), йп Е (Г, 1+Ж). Слеповательно, Ж~(~п) Жэ(~а) (1) 100 100 112. Найти кривую, в каждой точке которой поднармаль является средним арифметическим кьздратоа координат этой точки. < Согласно условию, имеем (рис. 22.): 48 Гл. 1. Диффереициальвые уравнения нервно нарядна есть количество соли во втором баке в момент времени (+ ах(, а а'„та((+Ь() =(2,(1) — ' " ти РОО (2) есть количество соли в первом баке в этот же момент времени.
Из (2), переходя к пределу при Ы -а О, получаем дифференциальное уравнение Ма — = -0 05(ка а(( откуда а'„та = Се к~', где время С измеряется в минутах. Поскольку (4а(0) —. 10, то С = 1О, Следовательно, !О -о,ма (3) Совершив предельный переход в (1) при аз( — О, и принимая во внимание (3), получим — = -Оа05()т + 0,5е а(а;тт -о,ора Решив линейное уравнение, имеем (4т(1) = (0,5( + С)е Так как ((т(0) = О, то С = О. Окончательно находим ((т(() = Оа5(е Исследуя функцию ь)т иа экстремум, получим, что шах ()т достигается при 1 = 20 мин и равен !О (7т(20) = — ах 3,68хт.
в е 114. За время арр (где аь( О и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 Ы грамма и образуется 0,00043 М грамма радона. Из каждого грамма радона за время Ы распадается 70а)1 грамма. В начале опьпа имелось некоторое количество хр чистого радия. Когда количество образовавшегося и еше не распавшегося радона будет наибольшим? ° Обозначим через Р(1) и ()(() количества нераспавшихся радия и радона соотвсютаенно в момент времени 1 от начала распада (в годах). Тогда Р(1) — Р(1 + а5() есть количество распавшепзся радия за время от 1 до (+ а),(, а ак((+ 2м) — („т(() — количество образовавшегося радона за это же время. Согласно условию задачи, имеем уравнения: Р(1) — Р(1+ й() = Р((п) 0,00044,5(, (1) ()((-ь а)а() — ()(1) = Р((аа) Оа00043а)а( — (4((ат)70ах(, (2) где (и Е (1, (+ ро(), (п б (1, (+ аь().
Совершив предельный переход при а!а( -+ 0 (предварительно разделив на а5( левые и правые части уравнениИ (1) и (2)), получим дифференциальные уравнения а(Р— = — 0,00044Р(1), (3) — = 0,00043Р(1) — 70Ж). М4 ай (4) Решение уравнения (3) имеет вид Р(() = хое (5) Подсшвив (5) в (4), получим дифференциальное уравнение, проинтегрировав которое, найдем: тра Оа00043хр аа пора,ц 69,99956 Принимая во внимание начальное условие (г(0) = О, опредетшем С: С = --ф щ~~. Оконча- 0 00043х 'тельно имеем 69,99956 ( Исследование на экстремум функции 7(1) = е р'"'4' — е 'р' показывает,.
что пах 7(() достигается при ! 70 69 99956 О 00044 й 4. Лвнейвме уравнения н уравнения, прнведввгиеев к иим 49 115. Даны два различных решения У1 и уз линейного уравнения первого порядка. Выразить через ннл общее решение этого уравнения. Н Линейное дифференциальное уравнение у'+ Р(х)у = ге(х) имеет общее решение у = (С + а(х))Д(х), где а(х) = ) (г(х)!Г'(х) 1(х, !)(х) = екр (-~Р(х) г(х) .
согласно условию, из (1) имеем У1(х) = (С1 + а(х))29(х), уз(х) = (С2+ а(х))Д(х), (2) где С, и С2 — постоянные, соответствующие решениям у, и уг. Далее, исходя из равенств (2), вырюкаем функции а и )3 через решения у, и у,. Получим У1(х) — У2(х) С,уг(х) — СгуНх) о(х) = (С, Н С2), )У(х) = (У1(х) Ф У2(х)). С,-С2 У1(х) У2(х) Наконец, подставив значения а(х) и ))(х) в (1)„найдем; 1 у = ((С, — С)уг(х) + (С вЂ” Сг)У1(х)) = уз(х) + С(уз(х) — У1(х)), где С = Сз--С- — произвольная посюянная.
М С вЂ” С 1 2 116. Найти то решение уравнения у 11п2х = 2(у+ созе), которое остается ограниченным при х— 2 Н Из рассмотрения общего решения этого уравнения ! у= Сгух —— соз х следует, что 1!ш у(х) = !пп (С !ух — —.) существует лишь при С = 1 н равен нулю. Поэтому 1 2 т 2 у = гдх — зесх яюиется требуеммм решением. Н 117. Пусть в уравнении ху'+ ау = у(х) имеем а = сооз1 > О, непрерывная фу21кцня у -1 о при х -+ О. Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при х — О, и найти предел этого решения при х — О. н Представляем общее решение уравнения в виде у = --+ — ! У(!)!(!" й(!!!) /х!' (1((!!!) = зупЫ(, ( ~ 0), или С Ь ! г У= —.+ — + —,2! е(()!!!' 'й(!!!), )х!' а !х!',/ где е(() — 0 при! — 0 в силу условия. Вследствие оценки — г е(1)!1/' г((!!!) < — шр (е(1)! -г О, х - О, (*( / а а<1<* о из (1) следует, что Вш у существует и ограничен только при С = 0 и равен —.
Решение уравнения, Ь х 0 о котором шла речь в условии задачи, имеет вид У = —, ~ У(!)М" ' й(Ю 2ь о Гл. 1. Диффереициальвме ураваеввя первого ворцдва 50 118. Пуси в дифференциальном уравнении в предьсдущей задаче о = сова < О, у(х) - Ь при х — О. Показать, что все решения этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при х с О.
Найти этот предел. м Очевидно, что общее решение рассматриваемого уравнения при соблюдении условия У(х) Ь при х с 0 можно представить в виде у=)*! '( + /У(~И*)" ' ($*!)) = — +)*) '( + / ~(~)$*!' ' (!*~)) Если интеграл /е(х)сх(' 'с((сх() ограничен, то при любом С, очевидно, бшу(х) = о. Если указанный интеграл не ограничен при х - О, то применяем правило Лопиталя: /а(*)1~) с(()~)) ~(~))хс -с Ош — Вш — О, е )хсс л е о(хсс Таким образом,!пну(х) = — при всех значениях С. М '* а 11хм.
показать, что уравнение Фьг + х = у(с), где функция у непрерывная и ~Т(с)( < м при -оо < С < +со, имеет одно решенйе, ограниченное при — со < С < +ос. Найти это решение. Показать, что найденное решение периодическое, если функция г периодическая, м Общее решение данного уравнения можно представить в виде х(С) = Се '+ е ' / у(т)е' с(т.
(1) Ю Такое представление возможно в силу того, что несобственный интеграл с 1(т)е с(т, как показывает оценка (2) сходится. Из неравенства (2) также следует, что функщся е ' / У(т)е' с(т ограничена числом М для всех С б (-со, +ею). Таким образом, необходимым (и достаточным) условием ограниченности функции х является равенство С = О.
Упоминаемое в условии решение имеет внд х(С) = е ' / у(т)е' с(т. (3) Пусть, далее, сут б ( — со, +оо) 1(т + Т) = у(т), где Т > О. Тогда из (3) находим с с+т х(С) = е ' / у(т+Т)е'с(т = е сс+тс / г(тс)е"с с(тс —— х(С+у), ОР сс где т, = т+ Т. Следовательно, 'х — периодическая функция. М Замечание. требоааиие пепрерыаиосги функции г ие является необходимым. Выделение класса Функция у, лля когоросо эгь теорема верна, предоставляется читателю. 120.
Показать, что только одно решение уравнения ху' — (2х + 1)у = х стремится к конечному пределу при х — +со, и найти этот предел. Выразить это решение через интеграл. м Исходим из общего решения данного уравнения у = ае (С+ / е ' с(х) . $4. Линейные ураввеивв и уравнения, ирвиодащвесв к ивм 51 В силу слодимости несобственного интеграла / е гй, выражение в скобках в (1) можно пРедсгяшть в виде г г С+ / е * 4х = Сг + / е Ф, (2) где С, — некоторая постоянная.
Равенсшо (2) легко проверяется посредспюм дифференцирова- ния. Таким образом, асе решения изучаемого уравнения выражаются формулой (3) Пусть х — +ос. Тогда нз (3) замечаем, что для ограниченности у при х — +со необходимо выполнение условия С, = — уг е 41 = -тгх. Г Последнее равенство и достаточное для того, чтобы Шп р был конечным. Действительно, по г +ог правилу Лопиталя имеем /е ' гй — тГ'я Е-г (гпг г— -(х '+ 2)е Ы 2 !нп гг~ х'е* Теперь запшпем искомое решение: Г г гг у=хе ~ е гй — зги =хг е гй.и -ОО ,СО 121.
Найти периодическое решение уравнения р = 2рсоз х — згцх. М В силу сходимости несобственного интеграла е яп(гй, обшее решение данного уравнения представшем в виде у = Се*+ * * — ~ е '+* ' '+ * *яп1гй. Поскольку функция е*+ * *, очевидно, не является периодической, а функшш у,(х) = / е ' тгпЫ1= / е Г Уяп(в+в)Иа, г а как следует из толшества, р,(х) = / е "г+Г+~У ~"и''~г+~"Г+~"' ~+~гяптг4(г шуг(х+2х), г+2% где 1 = 1+ 2гг, является 2гг-перисиической„то функция р периодическая только при С = б. полагая в (1) С = О, получим периодическое решение р = р,(х). и Гл. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 122.
Пуси в уравнении с(х — + а(()х = У(П Ф а(1) > С > О, У(1) — 0 при 1 — бсо и функции а, У непрерывны при 1 > (о. Доказать, что кюкдое решение этого уравнения стремится к нулю при Ь вЂ” +со. а Исходя из общего решения данного уравнения х(Ь) = (С -1- У' У(1) ехр (У' а(1) 61) сК() ехр (- У' а(1) с(Ь), условий задачи, и применив правило Лопитачя, получим: С 4 уУУ(1)ехр (~а(() с(() й У(1) ехр (У(уа(1) б() й/и х(() = 1)ш — 1пп = О. ехр Ца(Ь)6() ' а(1)ехр(/а(1)с(1) Заметим, что непрерывность функций а и У здесь гарантирует дифференцируемость соответствусощих интегралов, а условие а(() > С > 0 используется дважды; ' У(П1 /У((И ехр (/ а(1) б() > е' -ь бос и ( — ( < — -ь 0 при 1 боо. м а(1), С 123. Пусть в уравнении из предыдущей задачи имеем а(1) > С > 0 и пусть хоб) решение с начальнылс Усаовием хо(0) = Ь.
Показать, что стг > 0 Лб > 0 такое, что если изменить фУнкцию У и число Ь меньше чем на б (т.е. заменить их такой функцией Ус и таким числом Ьс, что /У/(1)— — У(1)~ < 6, ~Ьс — Ь( < 6), то решение хо(1) изменится при 1 > О меньше, чем на е. Это свойство решения называется устойчивостью по отношению к постоянно действующнлс возмущениям. а Пусть 1, = О. Тогда общее решение рассматриваемого уравнения можно записать в виле с/с= (с+ /с/с с п((«осс)с )* ~(-1 с/с ).
о о 'о Исходя из формулы (1) и условий задачи, имеем с с ,сс-(ь ° (/с» (( со/с)с ) (-( с/ ° ), о о о с со= (ь+У/с с-ь(( сосо)ь ) (-У сс~ ). о о о Вычитая почвенно из (2) равенство (3), получим оценку с с.,с~)-*,с~ссьсь-ьс-~(-1«с~ )+)с/с с-ос сс- (-// со/с)с' о о (2) (3) (4) Поскольку с/сс-/ссс ь, ° (-1 ссс)о ", )~(-/с с/с/с)с о то из (4) следуют оценки /хо(() — хс(1)( < б (е '+ — (1 — е 'УУ' < 6 (1+ — ) . С ) (, С) Таким образом, если по заданному с > 0 выбрать число б = Т+ ~., то при 6 > 0 выполняется оС неравенство (хо(() — хс(()( < е, указывающее, согласно определению, на устойчивость решения хо(1) при постоянно действующих возмущениях. м Ф 5.
Ураиюиня в полных дифференциалах. Ивтезрируюиной мноиппезоь $5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 53 5.1. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнение вида М(х, у)дхвот(х, у)ду = О (1) называется уравнением в поляых дифференциалак если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Ф, т.
е. М(х, у)с1х Ь зт(х, у) ду га дФ(х, у). (2) Теорема. Если фуннции М, )ч", -~-, -ду- непрерывлы в некоторойодносвязной области Р С Тч, длг дхг з то условие дй( дм дх ду является необходимым и достаточным доя того, чтобы вырахсение М дх + )чг ду было полным дифференциалом функции Ф. При этом Ф(х, у) = ] М(й у) д(-О ~)ч'(хо, 1)да оо оо Точка (хо, у,) выбирается так, чтобы сегменты [х„х], [уо, у] принадлехсали области Р. Функцию Ф можно также представить в аиде Ф, у) =~М„,уо)д(+~Я(х,()дй *о оо Все решения уравнения (1) содержатся в равенстве Ф(х, у) = С, являющемся лля этого уравнения общим интегралом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
