А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Разрешив систему уравнений (2) относительно а и )У и подставив их значения в (!), получим У2(уз у!) + СУ1(уз У2) У= Уз Уз + С(уз Уз) где С = С вЂ” -~- — произвольная постоянная, и С вЂ” С 1 2 Решить уравнения. 164. у'+у'= 2х '. м Это специальное уравнение Риккати. Так как а = -4, то Ь = 1 — целое. Следовательно, его можно привести к квадратурам. Произведем замену и 1 у= — + — (а = !). х Тогда получим уравнение и'х' + вз = 2. Разделяя переменные и интегрируя, находим: $ б.
Уравнение Эйлера — Риккати Окончательно имеем ~/2+ а(ху — 1) зщ е* =С.> уг2 + х(! — ху) 2(о и 2 — — — =2х 3. 2(х х з Произведя замены и = —, х з = з, снова имеем специальное уравнение Риккати 2(е 10, 5 з — + — Е = — — 2 3. бх 3 3 Выполняя эти же замены повторно, получаем: 2(вз 2 — — 5е, = 102, 022 ГДЕ2, =ХЗ, Е= ! ЕЗ2 к уравнению + !б-. Применение проведенньгх преобразований еще раз приволит 3 2(вз 2 — — 10ез = 5, без 3 —. Решая последнее уравнение, находим 1 ! ГДЕ З, = 2,, Е, = — т— 6222 ! ез = — !д (5уг222 + С) .
222 Возвращаясь к переменным х и у, окончательно получаем: 2 ъ22 (х 3 — 0,3хЗ) с!а ~52222х з + С) + 0,3хз — 1,2 — ! у=х ) ~ ) . м 0,32/2х з сзб (5 222х з + С) — 0,06х з + 1 166. у' + у' = х М Здесь а, = — Т, слеДовательно, й = — 1. Рассматриваем данное уравнение как такое, 4 которое получено в результате проделанных в прелыдущих примерах преобразований. Таким образом, можем написать (см. п. 6.1): Ь а =1; — =1; а+3 ' а+3 Из этих равенств следует, что и = О, а = Ь = 3. Теперь видим, что в уравнении у'+3У'=3 а+4 4 а+3 3 были проведены замены по формулам и 1 У 2+ в результще чего получилось уравнение з и= —, х=я, е (2) т.е.
исходное уравнение, 165. у' — у'=2х з и Это также специальное уравнение Риккати. Так как Ь = 3, то в данном случае придется провести указанные в и. 6.1 преобразования трижды. Итак, полагая у = — г — —, получаем я 1 Гл. 1. дззффереиииазишме уравнения нерва!в иоряака 70 Решая уравнение (1), получаем з (") е(Зхэ+хз) +3 +У -ы -6 Ьг 1-! ! е =С.
у ,(,5. 3 з)+3 Поскольку в исходном уравнении через у обозначена функция, а через х — аргумент, то епз общим интегралом будет з Зхз +3 ) ... е =С.м Зху)+3 у(хз + у(хз— з по формулам у! = — т + Тб —, и = —, х, = х. В свою очередь, смотрим на уравнение (1) как на и 3 ! з х, хз ' такое,которое получено в результате преобразования уравнения — — 5уз = 10 з(уз 2 (2) дхз посредством замен уз = — г — 5 —, е = —, хз = хз.
е 1 ! хз' уз' Решив уравнение (2), получаем Уз = зз2 !8 (5зг2хз + С) . Возвращаясь к переменным х и у, окончателыю имеем з г ухз (50хз — 31 — 10 = !8(5з/2хз + с) . и 5зг2х ! (!О+ Зуз) 1б8. ху' — 5У вЂ” у' = *'. М Сначала заметим, что с!гениальное уравнение Риккати (2), п.6.1, после замен у = ф и х"+ = ! переходит в следующее: з(и Ь ! — — — + — и = — 1 (а Ф -2), (1) з(! а + 2 а «ь 2 а + 2 (и + (и+ ши = п(. (1') В исходном уравнении заменим аргумент, полагая х = !. Тогда получим (переабозначив у через и): з(и 5 из ! — — — и — — = —.
(2) г(! 2 2 2 Сравнивая (1) и (2), находим: а = -т, а = -5, Ь = 5. 8 ! 1 Таким образом, между исходным уравнением и специальным уравнением Рнккати установлена связь, причем, поскольку а = — 5 — — 3 — -2Г при 6 = — 2, та первое интегрируется в квадратурах 8 46 и его общий интеграл можно получйть методом преобразований, которые применялись вьппе. Однако мы применим иной подход к интегрированию уравнений (1'). 167. у' — у'= 2х з. и В атом специальном уравнении Риккати 6 = — 2, следовательно, потребуется провести два обратных преобразования над ним.
Из уравнений 6 а и+4 8 = -1; =2; а+3 ' а+3 а+3 5 следует, чта данное уравнение получено в результате преобразования уравнения !О 5 Уз+ Уз = 3 3 (1) $ б. Урааиевне Эйлера — Ригшати В последнем уравнении 1 = -у, поэтому оно приводится к уравнению аида (3): ! которое имеет общее решение и = Лсгс( — ь2с+ С). Возврашаясь к переменным х и у, оконча- тельно имеем х2 е— 169. р'+зр+рз=х2. < По аналогии с решением уравнение к виду 2 3 2е+1 ш = х о!8(С вЂ” х).
Ь предьщушего примера, посредством замены х = С приводим з д' с су + — у+ — = 2 2 2 Поскольку 1 = 2 > О, то к полученному уравнению применяем второй путь преобразований, 3 указанный в примере 168. Имеем С, и и2 С д=-3+-; сй+ — + — =-. и' 2 2 2 Еше раз применяем укаэанное преобразование; е е' с 1е — — + — = —. 2 2 2 и=-1+-; е Последнее уравнение запишем в вгще Сушносгь метода состоит в следующем. Если впт Ф О и! ~ — ~У, то уравнение (1') можно преобразовать двумя путями: 1) применив подстановку и = —, где р = — „, получим с 1+! = р+т Се +(1+ 1)в+ не = и21; 2) подсшновкой и = О+ —, где о = — — „, приводим уравнение (1') к виду 1 1е +(! — 1)в+ па = шС. Если ш = О или и = О, то уравнение (1') превращается в линейное уравнение или в уравнение Бернулли соответственно.
Если 1 = -2, то его можно представить в виде ! -22'С вЂ” +т = и (3) после чего оно интегрируется в квадратурах. Отсюда следует, чго преобразования целесообразно проводить тем из указанных выше способов, коюрый приведет к уравнению (3).
В принципе это возможно только в том случае, когда 1 = ы + 2, где ь2 — целое число. 1 Вданном примере! = — 2, т = — 2, и = 2, ы = — 3, поэтому выбираем первый пуп. Имеем 5 ! ! С, 3 е' С и= —; се — — е+ — = е — 3 2 2 2 В полученном уравнении 1 = -2, я2 = 2, и = — 2. Применив замену в = — +(, получим 3 ! ! с 1 1 2 С си2 — — ге — — м 2 2 2 Гл. 1. Дифференциальные уравиеивя первого порядка 170.
Зхд' — 9д — д' = х з, и Полагая аз = 1, получаем з(д 9 д ! — — -д — — = —. з(! 2 2 2 Поскольку ! = -2, то применяем цепочку преобразований: 9 7 ез !е — — в+ — = — —; 2 2 2' 3 к ! !к — — к+ — = — —; 2 2 2' м 2 2' ~,Р ! 2 2 г в= —; и+ 5* 5 !и — — из— 2 ! к = —; уз+ 1' Из последнею уравнения получаем г(з = Лгсгб(С вЂ” зг7) . Совершить переход к переменным х н д предлагаем читателю. > г(д 5 3 171.
— + — д+ — д =х. х х и Произведя замену х = 1, получим: йд 5 3 з ! г — ч- — д+ — д = —. Ф 2 2 2 Поскольку! = 2 > О„ю применяем второй путь преобразований, указанный в примере 168. 5 Имеем ез 3 2 2 ' Ю 2' кз 3 2 2 ! 5 д= е 3' е= — — 3; и з(е 3 ( — + — с+ зй 2 г(из а 3 г — + — +— гй 2 2 1 и/ = — — —; к 3' Записав последнее уравнение в виде г(к к ! — — — + гй 2 -Л вЂ” +2-2 и решии его, получаем к = т/3! с!!з(ъ%+ С). Обратный переход по цепочке вверх к переменным х и д не составляет трудностей. > 3, 1 172.
д'+ — у+ха = —. и Приведем уравнение к каноническому виду. Сначала посредством замены д = а(х)а до- бьемся того, чтобы коэффициент при ат был равен единице. Имеем Р з з за+ах+ — ах+ха л зи —, х х' откУла а(х) = а. ПоэтомУ из (1) следУет, что а'+ ад+ з = !. Далее, заменой з = и + Д(х) последнее уравнение преобргауем так, чтобы в нем огсугсчиовала искомая функция и в первой степени. Имеем и + !3 + — (и + )3) + ит + 2и,д + )3' ве 1, откуда находим е = Лс!)г(Л+ С). Таким образом, общим решением исходного уравнения является хз д=-3+ х!Ь(х+ С) — 1 б 7. Уравиенив, не разрешенные отвосительио производной 73 Взяв )3(х) = — —, получим каноническое уравнение Эйлера — Риккати 1 и+и =1, которое имеет общее решение и = йз(х + С).
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет виа 1 / 1~ у = — ((й(х+ С) — -) . > х х) 5 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной (3) 7.3. Представление решения в параметрической форме. Разрешение неполных уравнений. Пусть для уравнения Р(х, у, у') = О существуют такие функции х = (в(и, е), у = у)(и, е), у' = д(и, е), что Р(р(и, в), р(и, е), д(и, э)) гв О относительно параметров и и е из некоторой области их задания. Тогда, используя соотношение Иу = у'Их, получаем ду) ду) /д(в др — Ии + — Йе = д(и, е) ( — Ии + — Ие), ди дп ' (,ди дп Ие — = 7(и, п). (4) Ии Если уравнение (4) имеет общее решение е = а(и, С), то общее решение исходного уравнения записывается в параметрической форме х=(р(и,а(и, С)), у=ту(и,а(и, С)). (5) Неполные уравнения Р(х, д') = О и Р(у, у') = О приводятся к каааратурам, если их можно разрешить относительно х или у соответственно.
Если, например, х = уз(у'), то вводим параметр р по формуле у' = р. Тогда х = р(р) и Иу = рйх = рту(р) Ир, откуда у = /р)з'(р) Ир+ С. Аналогично поступаем в случае, когда уравнение Р(у, у') = О можно разрешить относительно у. 7.1. Уравнение, не разрешенное относительно производной. Уравнение вида Р(х, у, у') = О, где Р— нзвестнач функция, называется уравнением, пе разрешенным ашпасаглеяько производной Если функция Р— многочлен степени и относительно производной, то уравнение Р = О пазыааегся уравнением первою порядка п -ад смелели и имеет вид к р рк(х, д)у = О, (1) к=с где р, — известные функции. Разрешив уравнение (1) относительно у', получим: у = Л(х у) (" = 1~ и). (2) Пусть уравнения (2) имеют общие интегралы )зк(х, у) = Св (й = 1, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
