А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда ! 375(и) = — г узг(.* — и) (х > О, и > 0). замечаем, что правая часть последнего равенства будет функцией только от и, если взять 572(а) = = аэ . Таким образом, 2 ! 4 7 177(и) = чги = узх з, р(х, у) = х зу з Умножив обе части исходного уравнения на р(х, у), получим уравнение в полных дифференци- алах ( ) 4 2 5 55 У ! ! 5 15 зуз+2хзу з) 4(х — (2х зу э+азу з) 4(У=О, Взяв в последней формуле п. 5.1 хб — — 1, уе — — 1, патучим общий интеграл уравнения 7 4 15 г 7 ! ! б 75 Ф(х, У) = / (1 3 + 21 з ) 4(1 — / ( 2х э( з + х з 1 1) 4(1 = сопи, ! ! ! 5 а!уз или = С.
хз 4У2 хз 4уг С з77ху4 Частные решения х = О, у = 0 получаем при С = О. в. 15б. (бх — 2У вЂ” 2уг)4(х+ (5у' — 8ху — х)4(у = О. М Для отыскания интегрирующего множителя воспользуемся методом разделения уравнения на два: (бх — 2у) 4(х — х 4(у = 0; (5У' — 8ху) 4(у — 2у' 4(х = О. Нетрудно установить, что нптегрируюзцие множители этих уравнений, а также их интегралы имеют вид: Р! — -х, )42 — — У; и,щ2х — х У=С!, игщ2Ух — У =Сг. 2 3 2 4 5 Согласно указанному методу, интегрирующий множитель данного уравнения ищем из сооюзоше- ння р = х(57(2х — х у) = у (гг(2У х — у ).
Отсюда 2 узз(2х — х у) = — )72(2узх — у ). 3 2 У 4 5 Полагая здесь уг = их, получаем У5 б х! (2уг — — ) = ирг(2~- — УУ), или б 5 узз(а) = иузг(и~а), где а = — — —, из и2' Пусть рг(2) = (х > 0). Тогда 1 1 1 рг(и а) = — = — (и > 0), 3/иаа изГа Тогда Р, = — т, и, = = СП Рг = -з-, иг ев — = Сг — соответственно интегРиРУющие ! у, 1 х *у х у множители и интегралы этих уравнений. Интегрирующий множитель исходного уравнения ищем из соотношения $5. Уравнения в полных дифферевииалах. Иитегрирующвй мналгвтель 65 Следовательно, 1 )г~(а) = —, тга' х 1 Мх,у)=, = (2х>у).
ьг2х" — х'у,г 2х — у Заметим, что для 2х < у аналогично можно найти р(х, у) = — г —. ! т~у — 2х ' В обоих случаях после интегрирования уравнения в полных дифференциалах и упрощений получаем стает (2х — у)(х — у ) = С. м 157. х их + (ху — у') ву = о. и Пслесообразна записать уравнение в форме хох+ха — — о — = О 2 и положить 2- = и. То~да получим хая+ (х — 2и)ои = О.
Уравнение для интегрирующего множителя этого уравнения имеет вид: ( Вы Вх~ йм (х — 2и) — — х — ) — = — р. Вх Ви,) В„ г (й( г х — 21 Ф(х, и) = / + / — а( = салаг. ~/Щ Дх=(! Паоле интегрирования и перехода к переменным х и у, общий интеграл исходного уравнения примет вил зяп (2х — у') ф2х — у'$ (х+ у ) = С, или (2х — у ) (х+ у ) = С. и 158.
Уз Вх + 2(х' — ху') йу = О. < Для кажлого из уравнений у йх — 2ху ау=о; 2х ау= О находим рч — — — г, и~ = -тт' рг = — г, ит = у. 1 х. 1 ху у х Следовательно, интегрирующий множитель лля исходного уравнения удовлетворяет соотно- шению 1 1 И = з 'Ри(„т) = з Рз(У). Если взять )зг(у) = у ', то получим, чта уь (а) = а '. Таким образом, р(х, у) = у- и х у — ох+ 2 ~- — -~ йу = О ут г1 уХ х' ~у д Если взять ы = х — и, та отсюда получим уравнение 2игр'+ р = О.
Следовательно, р = )э~ 1 = г = ()х — и!) Г. Поэтому левая часть уравнения хах х — 2и + Ии = О Дх — ~4 Дх — и~ является полным лифференииалом некоторой функпии Ф. Выбирая хе и' О, ие — — О, получим общий интеграл уравнения в виде Гл. 1. Дврфереиавшивые ураввеиия вервего порядка — уравнение в полных дифференциалах. Записав его общий интеграл в виде Ф(х, у) = / — +2/ <- — — ) «1 =согиг, l Ь х./ получим общее решение з у =Сез.м г 159.
(у-х)«у+у«х-х«1-'1=О. з,у/ х/ хх з( х х) я е р ~ 1 — — ) «х + 1 1 — — + — ~ е з «у = О. у у у Интегрируя, получаем: з 3 е з (1 — — 1 «г+ / «1 = салаг (Уз зе О), уз ( о Ю у + у — х = Суе з, или е з=С.и у'+у — х 1чкР (бхуз+ хз) «У У(ЗУз х)«х О М Поскольку уравнение бху «у — Зу «х = О имеет з и интеграл и~ —— х, а уравнение х г(у+ ху«х = О— з и интеграл и, = ху, та, согласно методу разбиения на неладного уравнения ищем в виде интегрирующий множитель р, = — т 1 уху интецзирузощий множитель )зз — — — з— 1 х у две части, интегрирующий множитель 1 з 1 р = —, узз <У«-) = — хз(ху), х !У з, з з откУда находим т)зз <Ух ) = Рз(хр).
ПолагаЯ Узз ш у, полУчаем Узз <У вЂ” ) = лх-. Следовательно, 1 Зу (х) р = — з —. Умножив данное уравнение на р(х, у), получи~ уравнение в полных дифференциалах 1 ху < 3 — — — «х — < 6- + -~ «у = О. Его общий интеграл запишем в вице Ф(х, у) = ~ ~ — — -) «( — ~ (6 — + -) «Г = сопзз.
з з Вычислив интегралы, окончательно получим з~ е з ух = С. м ~ Для уравнения (у — х) «у+ у «х = О интегрирующим множителем является функция р, = = у, а интегралам — и, = уез. Для уравнения х«< — 1 = О интегрирующим множителем <У/ является функпия рз = —, а интегралом — из = —. В соответствии с методом разбиения имеем 1 х х' У' 1 я 1 Р= —,Р <Уе ) = — Рз®. Если положим рз(а) = а, та отсюда получим„что — ее = уззз — ). Следовательно, р = — ее есть 1 У (у/ У интегрирующий множизтль для даннага уравнения, которое после умножения на,и принимает вид $ б. Уравнение Эйлера — Рвкиати $6. Уравнение Эйлера — Риккати б7 6.1, Уравнение Эйлера — Риккитн. Специальное уравнение Рнккати.
Уравнение вида — = Р(х! + ('„2(х)у+ Я(х)у йу г (1) дх называется уравнением Эйлера — Риккагни. Если положить Р(х) = 6х', ('„2(х) ш О, В(х) = -а, где а, 6, и — постоянные, то уравнение (1) примет вид — +ау = Ьх'. Юу (2) йх Оно называется снециальныи уравнением Риккати. Уравнение Эйлера — Риккати, вообще говоря, не интегрируется в квадратурах. Даже специальное уравнение Риккати приводится к квадратурам 4й 4й только в том случае, когда а = х) — -~~, где й — целое илн со. Если равенсг.во а = -!à — 2й выполняется при й > О, то в (2) делаем замену у = — г + — „, приводящую (2) к внлу 1 Фи аи2, 2 — + — = Ьх'~~, йх х' Полагая далее и = —, имеем 1 ««2 г — +Ьх е =ах Фх Наконец, после замены х'ю = г приходим к уравнению йи Ь, а — + — е = — х .~з, йз а+3 о+3 Эти преобразования проводим до тех пор, пока не получим уравнение с разделяющимися переменными.
Если равенство а = 3--2у выполняется при й ( О, то указанные преобразования следует 4й проводить в обратном порядке. 6.2. 2(аноническое уравнение Эйлера — Риккати. Уравнение и = хи + ге(х) (3) называется каноническим уравнением Эйлера — Риккати. Если в (!) функция Я дважды дифференцируема, то с помощью замен у =а(х)г, х = и+))(х) (4) уравнение (1) приводится к каноническому виду. Иногда форма (3) позволяет сравнительно легко установить частное решение уравнения (1).
Если у,(х) — частное решение уравнения (1), то заменой у = у, + — уравнение Эйлера— 1 Риккати приводится к линейному. Путем подбора частного решения решить уравнения. 161. х'у'+ху+ агу = 4. а Ищем частное решение в виде у,(х) = х, где а = сопя!. Подставив его в данное уравнение, получаем -а+а+а =4 откуда а = х2. Пусть а = 2. Тогда, произведя замену у = у + г, имеем линейное уравнение 2 1 г г г х х — 5хв — х =О, Интегрируя его, нахслим х = Схг — х. Следовательно, 2 4 у= — + Сх' — х 68 Гл.
1. Дифференциальные уравиевшз первого порядка есть общее решение исходного уравнения. Частное решение уз — — — палУчается отсюда при 2 С=ос. и 162. ху' — (2х+ 1)у+ у = — хз. м частное решение у,(х) ишем в виде у,(х) = ах+ ь. подсзввив его в уравнение, получаем тождество относительно х: ах — (2х+!)(ах+Ь)+(ах+Ь) и -х, из которого следует, что 2аЬ вЂ” 2Ь = О; а = !; -Ь+ Ь = О. Возможны два решения последней системы уравнезлллй: а = Ь = 1 или а = 1, Ь = О. Пусть а = 1, Ь = О.
Тогда у,(х) = х есть частное решение. Производя замену у = х+ у, получаем линейное уравнение ! 2 х ! — — ~ — (2х+1) ~х+ — ) + ~х+ — ) = — х, 2 Л 2 или хз'+ 2 — ! = О. Интегрируя его, находим х = 1+ —, вследствие чего х у=я+ —. и а+С 163. Выразить общее решение уравнения Эйлера — Риккати через три различных его решения. М Если известно одно частное решение уравнения Эйлера — Риккати У1(х), то его общее решение имеет вид 1 У = У1 (х) 4 2(х)' где 2(х) — общее решение соответствующего линейного уравнения первого порядка. Так как обшее решение последнего выражается через две функции, т.е. 2(х) = а(х) + С!)(х), то общее решение уравнения Эйлера †Рикка представляется в виде 1 + (1) Пусть уз(х), уз(х) — частные решения рассматриваемого уравнения. Тогда из (1) следует, что 1 1 УЗ = Уз + , ~ Уз = Уз + (2) а+ Сззу' а+ СЗ)у' где Сз, СЗ вЂ” постоянные, соответствующие частным решениям уз(х) и уз(х) (Сз и' СЗ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
