А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(1) Отсюда следует, ьто если а и 6 отличны от нуля, то для однородности уравнения (1) необходимо и достаточно выполнения равенств т — 1 = а = т)3. Из вгоропг равенства имеем т = ~~, ()У х О, а ьа 0). Подставив т в первое равеььство, ььолучим искомую связь; 1 1 — — — =1.> )) а 82.
Доказать, что интегральные кривые уравнения (ах+Ьу+с)ь(х+(ау — Ьх+сь)ь(у=О (а +Ь ~0) являются логарифмическими спиралями. м С помощью формул параллельного переноса системы координат я=и+а, у=с+)у приводим данное уравнение к виду (аи + Ье) ь(и + (ее — Ьи) ь(е = О. Даава полагаем и = рстуг, е = Рз)пьр, где Р, ьг — полярные координаты с полюсом в точке (а, Д относительно системы Оху. Имеем аР =ЬР I опьуда находим р= Се ".
Получили семейспю логарифмических спиралей. > Гл. 1. Диффереициашяияе уравнения первого вврялва Замечавпе. Если е = Ь = О, то падучим семейспю прямых. Если е = О, Ь | В, то эпкме получается семейство прямых. Если Ь = О, е Ф О, то пслучпм семейство серуююстсй.
Есе эгн случаи слелуют непосредственно нз данного уравнения. 83. Найти форму зеркала, отражагощего все лучи, которые выходят из одной и той же точки, параллельно данному направлению. м На рис. 20 показано, что ОМ)У = )г(МЯ (угол падения луча ОМ равен углу отроскения луча МЯ). Выберем направление отраженных лучей параллельно оси Ох. Тогда, исходя из указанного выше равенства углов и параллельности луча МЯ оси Ох, имеем а+Да —, КМО=а.
2' Следовательно, треугольник КМΠ— рашюбедренный, т, е. (КО) = (ОМ(. Очевидно, (ОМ) = ьгхг+у~. Длину отрезка КО можно найти, вычислив абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. Из уравнения касательной к искомой кривой У = у+ у'(Х вЂ” х), где Х, )' — текущие координаты касательной, находим трс- О й( буе у' аб ц осу: Ряс.зо Х =а — —. у у' Тогла ~КО! = -Х. Таким образом, имеем дифференциальное уравнение — — х= х+у у У Эго уравнение однородное и с помощью замены у = хн(х), опуская простые выкладки, получаем его решения у -гсх-с =о, 2 2 геометрически представляющие собой семейство парабол (С ~ 0).
м 84. Пусть йо — корень уравнения у(й) =- й. Показать, что: 1) если у'(йо) < 1, то ни одно решение уравнения у' = у(Ц, за исключением решения у = Фох, не касается прямой у = йох в начале координат; 2) если у'(йо) > 1, то этой прямой касается бесконечно много решений. м Применим метод доказательства от противного. Пуст~ при выполнении условий у(йо) = йо, У'(йо) < 1 сУществУет Решение УРавнениЯ У' = 1(кх), касающессЯ пРЯмой У = йох в начшге координат.
Тогда в малой окрестности начала координат оно предсташшется в виде У(х) = "ох+ хб(х) (1) .де б(х) 0 при х — О. Подставив (1) в рассматриваемое уравнение, получаем йо + хб + б = У(йо + б(х)) = У(йо) + У Оуо)б(х) + с(б) ~ хб' = Аб+ о(б), пкуда хб' о(б) — = А+, где А = у" (йо) — 1. б б отбросив — у- (как величину, стремящуюся к нулю при х — 0), можем записать -Ь- - А, откуда осбз хб' иходим б - С)х)~. Из полученной формулы следует, что если С Ф О, то б к нулю не стремится три х -г 0 (в силу того, по А < 0). Полученное противоречие и )юказывает ушерждение 1).
2) В этом случае противоречия нет, поскольку А > 0 и б- О при х — 0 для любых С, м Змяечяаяе. Строго говоря, нн ояно Решение нп в одном нз рассмотренных случаев не касается прямой у = Ьох а начале кссролнат, если молчаливо не допустять, что Х~ = Вгп а -о*' б 4. Ливейвме уравнения и урааиеиия, ирввавмвиеся к вим 39 Согласно условию, имеем у(1+ Д1) — у(1) у(1,) =й —, (1) х(1 + Лг) — (О (1,) ' где й — коэффициент пропорциональности, 1, б (1, 1+ «зг). Если функции х и у днфференцируемы, то из (!) предельным переходом при Ьг — 0 получаем дифференциальное уравнение йу у — =й-, йх х проинтегрировав которое, находим требуемую зависимость у =Сх~. в ф 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 4.1.
Линейное уравнение первого порядка. Уравнение вида — +Р(х)у=()( ) йу йх (1) называется линейныи уравнением нерво«а нарядна. Наиболее употребительным способом его решения является ме«над вариации произвольной наса«алиной. Сущность метода состоит в следующем. Сначала ищется решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (1): — +Р(х)у = О. йу (2) йх Затем в общем решении уравнения (2) произвольную постоянную С считают некоторой диффереицнруемой функцией от х; С = С(х). Эту функцию находят из дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, которое получается в результате подстановки общего решения уравнения (2) в уравнение (1).
4.2. Обмен ролмин между функцией н аргументом. Некоторые уравнения становятся линейными, если в них поменять ролями функцию и аргумент. 4.3. Уравнения, приводимые к линейным. К линейным уравнениям приводятся также уравнения вида: у (у) — + Р(х)й(у) = «3(х), йу йх — + Р(х) = «2(х)е"", йу йх — + Р(х)у = 1)(х)у (уравнение Бернулли). Полагая в О) У(у) = х(х), получаем У'(у)у' = з'(х) и х'+ Р(х)х = «2(х). (3) (4) (5) 85. Лве вилкас«и х и у полвергают дистиллированию. Известно„что в любой момент времени этого процесса отношение количеств жидкостей, которые превращаютса в пар, пропорционально отношению количеств, которые находятся еше в жидком состоянии.
Определить зависимосп между х и у. < Пусть х(1) и у(1) — количество жидкостей, не превращенных в пар в момент времени 1. Тогда х(1+ й«1) и у(1 + «ь() — колнчесша жидкостей, не превращенных в пар в момент времени 1+ Ы. Следовательно, за время Ж в пар превратились следующие количества жидкостей: х(П вЂ” (1+51) и у(1) — у(1+«ьг).
Гл. 1. Диффереициашиые уравиеиюо первого порядка В уравнении (4) целесообразно провести замену е "" = г(х). Тогда получим л -пе ""у' = з', — — +Р(х)г = Я(х) (и ~ О). и Уравнение Бернулли приволится к!шлейному с помощью замены г(х) = у' (т оо О, т и 1, так как в этих случаях оно уже линейное). 4.4. Уравнение Миидннга — Дарбу. ураоаевие Миядияга — Дауду М(х, у) да+)У(х, у)ду+ 22(х, У)(хдУ вЂ” Удх) = О, где М и )т' — однородные функции степени т, а  — однородная функция степени и, посредством замены у = пх(и) приводится сначала к уравнению Бернулли, а последнее — уже известным способом к линейному. Решить уравнения.
86. у'+ узах = зесх. М Сыачала находим все решения однородного уравнения, соответствующего данному: у +у!ах=О. Переменные разлезиются, и после интегрирования находим у = Ссозх. Формула (1) представляет общее решение однородного уравнения, где С вЂ” произвольны постоянная.
Для получения всех решений данного уравнения считаем С = С(х) и требуем, чтобы функция у = С(х)созх удовлетворяла ему, т.е. С созх — Свих+Серах!ах = зесх, или С = — т —. Отсюда находим С(х) = гб х + Со, где Со — новая произвольны постоянная. ! Подставив значение С(х) в (1), окончательно получим у = з!пи+ Сосозх. > Примечание. В дальнейшем лдя новой аролпводьной постоянной буделл исаодьзооать старое обозначение С. Тадич образом, в рассмотренном примере у = о!их + Ссоох ость общее решение, а С— постоянная. 87. (2х + 1) у' = 4х + 2у.
< Решаем соответствующее однородное уравнение (2х + 1)у' = 2у. Его общее решение имеет вид у = С(2х+ 1). Прнмеошм метод ыриации произвольной постоянной. Имеем (С'(2х+ 1)+ 2С)(2х+ 1) = 4х+ 2С(2х+ 1), или (2х + 1)тС' = 4х. Отсюда находим г хда 1 С(х) = 4 / l (2х+ !)' + Со = $п|2х+ Ц+ — +Со. 2х+ 1 Таким образом, окончательно получаем у = (2х+ 1)(1п(2х+ Ц+ С)+ 1. ь 88.
(ау+ е')дх — хну = О. < Считая л(х ~ О (х = Π— тривиааьное решение), записываем уравнение в виде ху' — ху = е*. 41 й 4. Линейные уравнения и ураввеввя, прваодяивмея к иим Соответствующее однородное уравнение ху' — хд = О имеет общее решение у = Се*. Далее применяем метод вариации произвольной постоянной. Имеем х(С+ С')е* — хСе* = е*, откуда С' = —, С = 1п ф + Се.
Получаем все решения неоднородного уравнения: 1 у = с'(1п 1х(+ С); х = О. М (1) 89. (х+у')пу = упх, М(1, П. < Уравнение не вюшется линейным относительно переменной у, однако оно линейгюе относительно х. Поэтому целесообразно считать х функиией у. Считая 4у ~ О (у = Π— тривиальное решение), имеем 4х х+д =у 4д' Соответствующее однородное уравнение х = у2 — имеет общее решение * = Су. Применив кх д метод вариации произвольной постоянной, получим последовательно Сд+у = у(СуфС), Сь=), С= у+С. Следовательно, все ретиения данного уравнения описываются формулами * = Су+ у'; у = О.
> (1) 2 Замечание. Перспнсав первую формулу а (1) а виде р = — СУ- н положив С = со, пояучнм решенно д = О. Таким образом, если допустить, по постоянная С может прнннмать сингулярное значение, то решенне у = О можно не ямпнсмеать отдельно. Полагая а (!) х = 1, у = 1, накопим С = О. Тогда нз (1) получим частное решение х = у . т 90. (2е" — х)у' = 1. дй ! < Предложенное уравнение линейное относительно х. Так как з- — — -~-, то его можно ет записать в виде 2е" — х = х'.
Общим решением однородною уравнения х'+ х = О явдяется функция а=Се ". (2) Считая С = С(у) и подставив (2) в уравнение (1), !!слупим последовательно 2ез — Се "= С'е "— Се ", С' = 2ез", С(у) = е "+ Се. Окончательно имеем х = Сс " + е". )ь 91. (я(п'у+хсгбу)у'=1. < Уравнение линейное относительно переменной х, поэтому представляем в его в виде х — хсгбу=ип у. Применив метод париации произвольной постоянной, получим х(д) = С(у)ипу, где С(у) = — сову+сопи. > 14у / 92 — — + (2 — х)1пу = х'(е ~.1-е т ) у 4х И Это уравнение вила (3), п. 4.3, поэтому применяем замену 1п у = л(х). Имеем — — — х + (2 — х)л = х~с + е т у1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
