А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 8
Текст из файла (страница 8)
и Согласно второму закону Ньютона имеем Гл. 1. Диффергнциальиьм уравнения первого порзшюс 250 л(1) = во+ — (а~сок((С вЂ” 1)~/012)(г лс = сопл!. 3 (3) Формула (3) выражает закон движения мяча. Полагая в (3) я(0) = О, находим 250 ло —— — — 1и ) соз (С)/0,12) ~. Если же в (3) полохсить 8 = С, то получим наибольшую высоту подъема мяча 125 лвы = лс га — 1п 1,48 м 16,3 м. 3 Случай Ь = 0 предоставляем разобрать читателю. м 50. Пусть жидкость вытекает из некоторого сосуда через отверстие в нем со скоросп ю, равной 0,6 1/2дЬ, где д = 1О м/с, Ь вЂ” высота уровня жидкости над отверстием.
2 За какое время вся жидкость вытечет из цилиндрического бака с диаметром 2Н = 1,8 и и высотой Н = 2,45 м через отверстие в дне диаметром 2г = 6 см? Ось цилиндра вертикальная. м П)сть Ь(!) — высота уровня жидкости в баке в момент времени 1 > О. Через промежуток времени Ж уровень жидкости понизится до значения Ь(1 + 28!). Следовательно, из бака вытечет количество жидкости, равное (Ь(1) — Ь(1 + 25!))яЛ .
С другой стороны, через отверстие в баке вытечет гг~«(8,)гх! жидкости, где 11 6 (1, 1+ гх!), «(12) — некоторое промежуточное значение скорости вытекания жидкости па интервале (1, 1+ 288). В силу закона сохранения массы имеем равенство: Гкгг Ь(8+ 2!1) — Ь(1) = — ~ — ) «(!1)сзк ~Н/ Разделив обе части этого равенства на тм и предположив, что функция ь дифбгеренцируема, а функция «непрерывная, устремим 251 к нулю.
Тогда получим дифференциальное уравнение г(Ь 2 г — = -Ь «(С)г Ь = —, « = 0,6./2дЬ. М ' В' Решение этого уравнении имеет вид Ь(1) = (С вЂ” 0,3(/2дЬ~1) г С = сапа!. и через Г (г«смм-сны) овознсчычся гскннчсскея елннняя силы, 1 Г = 1 г ° у и 0 0098 н, гле у = 9,8 му — ускорение с свсЬ«мого падения; 1кГ= 1000Г.
49. Футбольный мяч весом 0,4кГл брошен вверх со скоростью 20м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0„48 Г при скорости 1 м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятся эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха? ц По второму закону Ньютона имеем г(« 2 ш — = -тд — Ь« . (1) г?! В нашем случае и = — = -ф, Ь = 0 00048 — '2 —, поэтому уравнение (1) принимает вил Р 04 кГс и г(« г — = -10 — 0,012« . гй Разделив переменные и проинтегрировав, получим ага!8(/000!2« = /012(С вЂ” 1), « = 18 ((С вЂ” !) /0,12). 10 (2) Таккак «(0) = 20, та из(2) слелУет, что С = „ага!8(2,/Ог!2).
Из(2) также следУет, что « = 0 чг«,12 при ! = С ге 1,75 с (это, очевидно, соответствует наибольшей высоте). Принимая во внимание равенство «(1) =,й, после подстановки ега в (2) и интегрирования полученного дифферсццнллй) ального уравнения, имеем 25 в 2. Задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными Поскольку Ь(0) = Н, то отсюда слелует, что С = тгН. Очевидно, й(!) = 0 при )ОгН Н вЂ” !050с = !7,5 мин.
м 3ьг2д г' 51. Решить предыдущую залачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра. м Как видим из рнс. )2, при понижении уровня жидкости за врелгя гхг на гхй через отверстие Е вытечет 2Нггй(2Н вЂ” йод+о(2гй] жидкости. Поэтому выполняется равенство -2Нхг й(2Л вЂ” Ь)гуй+ о(гЗЬ) = яг'е((,,)Ь(, М нз которого, как и в предыдущем примере, получаем дифференциюгьное уравнение — 2Н4Ь(2Н вЂ” Ь)г)й = яг'Огб,г2дйг((, Ь ~ О.
Решениелг этого уравнения является функция г г г'3яг',гдгг г Ь(!) = 2Н вЂ” (0,3! + С)! ( ), С = сопят. (!) Г2Н ) гвс ы Поскольку й(О) = 2Н, то отсюла следует, что С = О. Полагая в (!) й = О, находим время, за которое вытечет ася жидкость: 40 ЯгН (, = — —, = )040 . ю дя' гг гд 5л. Воронка имеет форму кругового конуса радиуса Н = бсм и высоты Н = !Осм, обрашенного вершиной вниз, За какое время из воронки вытечет вся вода через круглое отверстие диаметра 0,5слг, сделанное в вершине конуса? м Из рис. )3 видиль что количество воды га(г, содержашееся в заштрихованном слое, с точностью до лошых о(2гй) равно яг' Ьй.
С другой стороны, через отверстие О вытечет яг;е(г,)Ь! волы. Таким образом, имеем равенство А — яг 2хй = яг, и((,уд(+ о(ЬЬ), где г, = 0,25см, (> б (г, ! + гх!), из которого предельным переходом при Ь! 0 получаем дифференциальное уравнение г г(й ч- гги(г) г(! = О, е(!) = О,б г2дй. (!) Из подобна треугольников АМО и СО,О следует соотношение г = -)7-. Позтолгу уравнение (!) записываем в виде ьл г йг г(Ь -(- Ь г(! = О, Ь = 0,6 — г, )(2д. г г г Н г Нг Интегрируя, получаем С = сопя!. 5 — йг 4-Ь(=С, г .гз ! Так как й(0) = Н, то отсюда следует, что С = ТНг Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид 5 йг — Нг =--Ь !. 2 Полагая здесь й =- О, нахолим 2 Нг (= —— 5 Ьг — время, за которое вытечет вся вода из воронки. Вычисления лают ! ю 27 с.
М 26 Гл. 1. Днффереицваяьвые уравнения первого порядка 30 — = (!2 — 0,01)/2дЬ), с(! проинтегрировав которое, найдем: 6000 !с 1200 ° с= — ---(Сг~ — г ггг-гаг,г гг~. (2) з/2д д[, ьг?д Пусть Ь(0) = О, тогда из (2) следует, что С = — 3600 !и 12. Подставив в (2) Ь = 80, найдем время 1,, за которое наполнится бак: 3 1, = 1200 (3!и — — !) гэ 260 с. > 2 54. Резиновый шнур длиной 1 м лод действием силы У кГ удлиняется на й У метров. На сколько удлинится такой же шнур длины 1 и веса Р под действием своего веса, если его подвесить за один конец? м Пусть У(х) — удлинение шнура длиной х, а У(х + г)гх) — удлинение гннура лднной х+ гйх.
Тогда удлинение элемента длиной гаях равно разности (г(х+ 15х) — (г(х) (рис. 14). На элемент шнура гьх действует растягивающая сила У, равная весу шнура длиной 1 — х — В!ьх, т. е. Р Г' = — (1 — х — Вгбх)г ! где -1- — удельный вес шнура, 0 < В < 1. Согласно условию, указанный Р элемент должен удлиниться на й У сгх метров. Таким образом, получаем уравнение Р Лх) Щх+ гЬх) — (Г(х) = й — (1 — х — Вйхййх, (1) где величина В введена с целью учета влияния силы, действующей на элемент 28х, обусловленной весом самого элемента. Далее, известным пугем из (1) получаем дифференпиальное уравнение сШ ЬР— = — (! — х) г(х из которого следует, что йР (Г(х) = С+ — (2! — х)х. 2! Увс.
14 Поскольку (Г(0) = О, то С = О. Следовательно, йР (Г(х) = — (21 — х)х. 21 Из последней формулы получаем удлинение шнура длиной 1: ЬР1 (гг(!) = —. В. 2 53. В прямоугольный бак размером 60см к 75см и высотой 80см поступает 1,8л воды в секунду. й дне имеется отверстие плошадью Я = 2,5 см . За какое время наполнится бак? М Пусть Ь(!) — высота уровня воды в баке. Тогда !ь)'г = (Ь(1 + гьг) — Ь(1)) 60 ?5 — приращение се объема за время от 1 до 1+ гзг.
Это увеличение (или уменьшение) объема происходит за счет поступления з8)'з воды и ее утечки в количестве гб(гз через отверстие. Таким образом, имеем уравнение гз!сг = Ь)гг — г)г)сз. Поскольку г5г)с, .= !800гбг, Ь)сз = 2,5 Огб,,/2дй(гг)2Ы, 1, Е (1, 1+гьг), то последнее уравнение можно представить в виде 4500(Ь(1+ г51) — !гЯ) = 1800гзг — 2,5 0,6)(с2дй(гг)гьг, д = 1О'см/с~. (1) Разделив в (1) обе части на !81 и совершив предельный переход при 18! — О, получим дифференциальное уравнение и 2. Задачи, ириводяввю к уравнениям с разделяюигимися переменными 27 55. Найти атмосферное давление на высоте й, если на поверхности Земли давление равно 1 кГ/см' и плотность воздуха 0,0012 г/см'. и Пусть Р(х) — давление воздуха на высоте х от поверхности Земли.
Тогда разность давлений Р(х) — Р(а + хьх) равна весу столбика воздуха с площадью основания 1 см' и высотой ххх, т. е. равна величине р(х+ 02ьх)д. Ьг, где р — некоторая средняя плотность воздуха, 0 < д < 1. Поэтому имеем Р(х) — Р(х+ хьх) = р(х+ дз52)д. Ьх, откуда предельным нерехалом при хьз -~ 0 получаем дифференциальное уравнение оР— = -др(х) г(а Согласно закону Бойля — Мариотта, плотность воздуха при постоянной температуре пропорциональна давлению, т.
е. р(х) = йР(з). Используя это равенство, из (1) находим -км — = — йд, Р = Р е м кГ/см . Р Так как при г = 0 Р = 1 кГ/см, то Р = е М", а поскольку 0,0012г/см = 1ОООГ/см' й = 1000г/см дй, тле д = 9,8 м/с' = -1-; — ускорение свободного падения, то йд = 0,12 10 ' см ' = 0,12(км) ' Таким образом, на вйсоте Ь км давление воздуха Р = е ц кГ/см . > 56.
Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг столба, коэффициент трения каната о стш|б равен 5, и рабочий на пристани тянет за 1 свободный конец каната с силой 10 кГУ м Пусть Т(р) — сила натяжения каната, соответствующая его углу наматывания )з на столб, /ьР— нормальная реакция столба на участок каната ллипой хьЯ = Вгьр (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
