А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 4
Текст из файла (страница 4)
> Примечание. Точнее говоря, мы получили дифференциальное уравнение всех окружностей, в каждой из которых выколоты две точки, лежащие на концах горизонтальною диаметра. 7. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой у = 2х. < Согласно условию задачи, в предыдущем примере следует положить Сг = 1, Сг = 2С,.
Тогда уравнение (1) из примера 6 примет внд (х — Сг) + (у — 2Сг) — 1 = О. Получили однопарамегрическое семейство окружностей. Дифференцируя тождество (х — Сг) +(у(х) -2Сг) — 1 = О по переменной х (считая при этом, что у — непрерывно дифференцируемые функции от х), находим: х — Сг + (у(х) — 2СПу'(х) ы О. Из двух па чуланных тождеств путем исключения Сг имеем окончательно ( — у)'(у' + 1) — (2у'+ П' = о. м Ввеяв иве 8.
Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной оси ()у, касающился одновременно прямых у = 0 и у = х. М Семейство парабол с осью, параллельной оси Оу, имеет вид у = С, х'+ Сзх+ Сз, где С;— произвольные параметры (у = 1, 2, 3). Из условия касания прямой у = 0 вытекает, что у' = 2с~хь+ Сз = О, С~хь+Сзхь+Сз = О, ще хь — абсцисса точки касания. Отсюда следует, что Сз — — — (С~ Ф 0).
(1) 4С~ Из условия касания прямой у = х вытекает, что должно быть Р 2 С у = 2С1хь+Ст = 1; хь — — у~', уь = С~ха+ Сзхь+ —. 4С~ Отсюда находим, что Ст — — 2. Подставив значение Ст в (1), получим Сз тцгС— . Таким образом, 1 1 искомое семейство удовлетворяет уравнению х 1 у=с~я + — + 2 16С~ ' где С, — произвольный параметр. Исключив его из тождеств 2 у = 2с~х + †, у = С~х -ь — -1- получим требуемое дифференциальное уравнение семейства ху' = у(2у' — 1). » 9. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых у = 0 и х = 0 и расположенныл в первой и третьей четвертях.
М Ясно, что центры таких окружностей должны лежать на прямой у = х. Отсюда следует, что С, = Сг (см. пример б). А так как окружности касаются координатных осей, то С, = ~с~~. Таким образом, рассматриваемое семейство окружностей удовлетворяет уравнению (х — С~) ь (у — С~) — С, = О. 2 2 2 Из тождеств относительно кс (х — С,)' + (у(х) — С,)' — Сз = О, х — С, + (у(х) — С,)у'(х) ив з О следует требуемое дифференциальное уравнение г Р т у (х — 2ху) — 2ху + у — 2ху = О. » 10. Составить дифференциальное уравнение семейства циклона х = С(à — з!п(), у = С(1 — сов(). М Дифференцируя функции х и у по Г и разделив у'(() на х'((), получим г(у у'(Г) па Г 1 — г = 2агсгк(-т) +2йх, й е х.
йх х(Г) 1- Г Г 2 (В) Подставив значение Г в равенство (à — з(п()у — х(1 — соа() = О, после некоторых преобразований получим требуемое дифференциальное уравнение =а *+у~ у =агу ( ).» 11. Показать„что дифференциальное уравнение кривых 2-го порядка имеет вид 9у'"у"-45у»умун+40У»Р =О.
м пусть в общем уравнении семейства кривых второго порядка ах'. + 2ьху + сут + 2«х + + 2еу+ у = 0 выполняется условие а Ф О. Тогда, не умаляя общности, мджно считать, что а = 1. дифференшгруя 5 раз, получим: (2) (3) (5) по и требовалась показать. м 12. Показать, что дифференцируемое семейство кривых агс1а — — 1п С)(хат т+ у' = О У удовлетворяет дифференциальному уравнению (е + у) «х — (х — у) «у = О. М Взяв полный дифференциал от тождества агс,й — ".' ( ~+уз(х) =-Ь,С, я(хз получим «( гкд(52-ю /~+р~>) = — О, откуда х«у — у«х х«х+у«у +у х +у 7+ т 2 т ( +д)«х — (х-д)«д=О. м 13.
Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касающихся оси Ох. М Если в уравнении семейства окружностей (см. пример 6) положить Сз — — !Ст(, то получим уравнение семейства окружностей с требуемыми свойствами: (а — С,) +(У вЂ” Ст)т — Ст = О. (1) Определив С~ и Ст из тождеств х — С~+у(у — Сз)мО, 1+у +(у — Ст)у" мО Ф и полставив их значения в (1), получим дифференциалыюе уравнение У'У» + 2У(1 + у'Р)у" — Уг(1+ У'з) — О, х+ Ь(у + ху') + суу' + «+ еу' = О, (1) 1+Ь(2у+ху )+с(у +уд )+еу =О, Ь(ЗУ»+ хух) 4- с(ЗУ'у»+ уу'») + е ум = О, Ь(4У '+ау ) +с(ЗУ +4У'у»'+уу ) +еу| = О, (4) Ь(5У +ху )+с(10У»дмЬ5ууу'"+уу~)+еу =О, Из уравнений (2), (3), (4) находим ЗУ»дьт — 4дай Ч~д»+ Ч~» — Зу'у»у" г Ь=, с= (6) Исключив из уравнений (2) и (5) е и подставив в результат исключения значения Ь и с из (6), получим окончательно Введение Найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств.
14. ах + з = Ь, уз + зз = Ьз. Представив параметрические уравнения кривой в виде х = х, д = у(х), з = з(х), где у и з — непрерывно дифференцируемые функции, и подставив их в данные уравнения, получим тождества относительно х ах+ з(х) г— я Ь, у (х) + з (х) гв Ьз, (ц Продифференцировав эти тождества по х, получим а + з (х) ш О, у(х)у (х) + з(х)з (х) гв О, откуда а = -з'. Подставив значение а в первое из тождеспз (ц, имеем Ь = з — хз'. Это соотноз з з з шение совместно со вторым тождеством из (ц приводит к равенству у + 2яя х-х з' = О.
Таким образом, искомая система уравнений имеет вид у +2хзз — хе =О.и з з уу +за =О, 15. х + у = зз — 2Ьз, у = ах+ Ь. и По аналогии с предыдущим примером имеем 2х + 2уу' = 2зз' — 2Ьз', у' = а, откуда находим а = у', Ь =,~, (зз — х — уу'). Подставив значения а и Ь в исходные уравнения, пол!чин: Ь = у — хд', з'(у — ху') = зз' — х — уу', х + у = з — 2з(у — ху'). Последние два соотношения и есть требуемые дифференциальные уравнения. и 1б. Найти частное решение некоторого лифференциального уравнения, если его общее ре- шение имеет вил у = С,совах+ Сзззпах и у(0) = 1, у(0) = 1.
М Дважды лифференцируя у по х, легко находим соответствующее дифференциальное уравнение: у +ад=О. и з Для отыскания частного решения этого уравнения следует воспользоваться начальными условиями, чтобы найти постоянные С, и С,. Имеем у(0) = (Сз сапах+ Сз оп ах)ь-е = С, = 1, у (0) = а(-Сз илах + Сз сапах)(,=е —— аСз = О. Итак, Сз — — 1, Сз —— О, у = ошах — частное решение, и 17. Найти частное решение дифференциального уравнения, если его общее решение имеет вид у = Сз+ Сз!пх+ Сзх и удовлетворяет следующим начальным условиям: д(Ц = 1, д'(Ц м О, дп(Ц = 2.
< Исходя из условий примера, имеем В(1) = (Сз+Сз1пх+Сзх )1 =1, д(1) = ( — +ЗСзх ) =О, У (Ц= (- — +ЬСзх) =2. (,=г Ьмз Отсюда находим, что Сз — — — 9, С, = — т, Сз — — у. Осталось записать частное решение: 2 2 2 2 2 2 з у = -- — — 1пх+ — х . 9 3 9 Сосшвить соответствующее дифференциальное уравнение предоставляем читателю. И 10 18.
Пусть некоторое частное решение удовлетворяет задаче Коши у = х+ уз„у(0) = 1. Может ли оно удовлетворять другой задаче Коши да=(+2хр+2р', „(О)=1, р'(О)=П < Если частное решение двюяды непрерывно дифференцируемо, то из первой задачи Коши находим: у" = 1+ 2рр' = 1+ 2р(х Е р') = 1+ 2хд+ 2у', а также у'(0) = 1. Следовательно, это возможно.
М 19. Пусть общее решение некоторого дифференциюзьного уравнения имеет вил р = Сзх+ С,е*+ Сз(х Ч х ), — оо < х < +ос. Может ли функция р = х + 1 быть частным решением этого уравнения? ~ Нет, не может, поскольку ни при каких значениях произвольных постоянных (в том числе и хсо) из формулы общего решения получить ее нельзя, м Упражнении дли самостоятельной работы Путем исключения постоянных С) найти дифференциальные уравнения следующих семейств кривых: 3 ,з 1. У вЂ” \В(Сзх) = О. 2. Р = Сзесз. 3. )--„-С + фС- — 1 = О. 4.
р= Сз з)пр(х)+Сзсозаз(х), Зз(х) = ~~(1)М. 5. р= СзЗз. о б. р + (з~ — С, = 0 (р, р — полярные координаты). С,У вЂ” Сззз+ Сзх = О, Сз р + Сз з + Сз х + Сз = О, С,з(пу+4Сзе' — 2Сз =О. ( С~У +Сзз +Сзх 52С, =О. Глава 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 5 1. Уравнения с разделяющимися переменными 1.1, Дифференциальное уравнение е разделдннцимисн переменными. Уравнение аида у1(х)уз(у) Ых + д~(х)дз(у) Ыу = О, (1) где ~;, д, (К = 1, 2) — заданные непрерывные функции, х 6 (а, Ь), у Е (с, Ы), называется ди4ференииал ьным уравнением с разделяющимися переменными Для того, чтобы проинтегрировать уравнение (1), следует сначала обе его части разделить на произведение Гз(у)д,(х) (Уз(у)д,(х) и О), а затеи, пользуясь формулой и (/ у(х)дх+ / д(у) Ыу) = З(х) Ых+ д(у) Ыу, записать / — Ых + / д— У Ыу = С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
