А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1, площадь указанного треугольника равна Я = 2~АГК!у. Поскольку 2 !ба = у' (2ПО ВЫтЕКаЕт иэ гЕОМЕтричЕСКОгО СМЫсла пРоизводной), то Я = -"-„у' > О. Таким 2у ' образом, имеем дифференциальное уравнение у — =а у. 2 у = у(х) Считая у ~ 0 и разделяя переменные, получаем 2 ад (х у2 п2' М(х, у) Отсюда находим — — = — т + С, илн 2 х а Р а 2а' О Аг х у= Саг+ х Рис. 1 2 Если у' < 0 (см. рис. 2), то Я = — жт — — аг. Интегрируя это уравнение, получаем 2у 2аг х — Саг 2.2. Использование физического смысла производной.
При составлении дифференциального уравнения, описывающего физический процесс, наряду с применением физических законов используем физический смысл производной, как скорости изменения какой-либо величины. Гл. 1. Дифферевциальиме уравнении первого парилка 16 Наконец, обозначив Са = -С, оба ответа объединяем в один: 2а у= = Сжх 31. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен 2а. М Из Рис 3 видим, что 1КЦ + 12цт"1 = Уг + УУ'.
Таким обРазом, у требуемое лифферснциальное уравнение имеет вид у —, + уу' = 2а. у Разрешив его относительно производной, получаем а )ах *'1( з у у Пусть О < у < а. Тогда из дифференциального уравнения нахо- дим Г .1 уау 0(а — у ) = с(х, — — — = — 2 дх. а х „'ат — уз а ш ь/ат — ут Интегрируя это соотношение, получим а' — у' — а)п /(а ж т//ат — ут) ж х = С.
Случай — а < у < О н у' < О рассматривается аналогично, м 32. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям коорлинат, до встречи с зтилси осями„то площадь полученного прямоугольника делится кривой в опюшении 1; 2, Ш Согласно геометрической интерпретации интеграла имеем (см. рис. 4) г .з У, =/( у(1)б(. о Далее, поскольку Я, + Ут — — ху и Яз = 25ы то, приняв во внилгание (1), получим х ху = / у(1)а(.
о по х, находим Иу ах у, или у 2х' 2 Ят — —— 3 Дифференцируя зто равенство 2 3 -(*у'+у) = откуда у = Сч/х, или х = Сух. Ряс. 5 Очевидно, если переменные х и у поменять ролями, то залача также булет иметь решение у = Сх', р Замечание 1, В процессе решения прсдпслвгалн, что переменные х н р помикнтсяьны.
Оливка, как легко вплоть, они могут быть и отрицательными, т.с. можно считать, что постоянная С в обоих решениях принимает любое действительное значение. Замечание 2. Если вместо Рнс. 4 воснольюватьсЯ Рнс. 5, то пРилсм к такомУ же РезУльтатУ, т. е, во всех случанх получаем семейства парабол с вершинами в начале коорлинат. Прпглвгаем читателю унхчнить рисунки 4 и 5 в соответствии с полученным решенном залечи. %2. Задача, привидение к уравиеюим с рззделяюишмися иеремааимми 33. Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полярным радиусом и полярной осью. < Используя соотношения между углами а и у (см. рис. 6), а также геометрическую интерпретацию производной йр р'(у) р'з(нуЧ-рсозу 1 — — гба, а = — (х — у), дх х'(у) р" сову — р ипу ' 2 после несложных выкладок получим дифференциальное уравнение Р У =18 р 2' интегрируя которое, находим 1п р = — 2 1п ~ сов — ~ + 1п 2С у 2 С 1 + соз у Замечание.
Если вместо рис. б рассмотреть рис. 7, то получим дифференциальное уравнение Р У вЂ” = — сга -, р 2' из которого следует, что С Р= 1 — сов у Эю семейство получим из семейства (1) путем замены у на и+7Г. ТакИм образом, окончательный ответ звписывветев в виде С Р= 1х сову 34. Найти уравнение кривой в полярных координатах, если известно, что тангенс угла 7, образованного радиусом-вектором, проведенным в точку касания, и касательной к кривой в этой же точке, равен полярному углу у. гв.а м используя условие 18 7 = у и соотношение у = а+ 7 (см. рис, 8), можем записать гйу — гйа у = 187 = 18(у — а) = 1+гйугаа' 17 Но гйа = т — —, поэтому из предьибпцепз уравнения после не- Р Ргау сложных преобразований патучаем Р у= Р Решив это дифференциальное уравнение, найдем О С р= — (у уй), и Рве.
9 у Замечмме. Если вмесго рис. 8 рассмотреть рис. 9, то аналогичным пуюм можно получить дифферегщиапьиое уравнение у = .ег, из которого следует, что р = Су. Р 35. Нормаль МГ'„) к некоторой кривой пересекает ось Ох в точке Д. Доказать, что если абсцисса точки г2 вдвое больше абсциссы точки де, то кривая — равнобочная гипербола и Из рис.
10 видим, что Гл. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 18 Используя условие хо = 2х и соотношение у' = !8 а, из (1) получаем дифференциальное уравнение х=уу. Разделяя переменные и интегрируя, имеем уг(у = хйх, у — х = С. 2 з (2). Из курса аналитической геометрии известно, что каноническое уравнение гиперболы имеет один из видов: х' у' х' у' —, — — =1 или — — — =-1, аз Ь' а' Ь' в .го причем, если а = Ь, то гипербола называется равпобочной.
Легко видеть, что второе соотношение в (2) определяет два семейства равнобочных гипербол (для С ) 0 и для С < 0). > Примечание. При С = О из (2) получаем пару пряыык у = Хх — так называемые вырожделлые гилербазы. (у|-уо)8(у,-уо)+(хз-хо)Жх~-хо) =О, (у~ — уо) + (х~ — хо) = С . 2 2 з Таюзм образом, если С ~ О, то имеем уравнение окружности радиуса С с центром в точке Мо. М 37. Сосуд объемом в 20л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд при непрерывном перемешивании кажлую секунду втекает О, ! л азота и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 99% азота? М Пусть (2(1) — количество литров азота в сосуде в момент времени 1 после начала пере- 0,1 СФ мешивания.
То~да в 0,181 литрах смеси содержится — г — че — литров азота. Согласно условию задачи, в сосуд за время Ж поступит 0,!гул азота, а вьпечет — '— 2п — ' л. Следовательно, количе- О,! ° ГЗ 41 ство д(') азота, когрое втекает в сосуд за время 81 и остается в нем, равно 0,1 (! — $) г(1 литров. Получаем дифференциальное уравнение и! 20 — 1'„з 200 ' 8(2=0,! (! — — у!8( () з 20) интегрируя которое, находим -о,воза Для определения постоянной С используем условие ()(1)(, о = 16 л.
Получаем С = 4, вследствие чего зкция фуз (2(!) = 20 — 4е (1) есть решение поставленной задачи. Полагая в (1) С = Т и Я = 19,8л (что составляет 99% от 20д), находим Т = 200 1п 20 с = 599,2 с га 10 минут — через такой промежуток времени после начала перемешивания в сосуде будет 99% 36. Доказаггч что кривап, все нормали к которой проходят через одну и ту же фиксированную точку, есть окружность. м Пусть Мо(хо, уо) — точка, через которую проходят все нормали, и М,(хы у!) — точка, расположенная на кривой. Тогла уравнение прямой, проходящей через зги точки, имеет вид 1 У = — —,— (х — хо) + Уо. у1(х ) Этому уравнению удовлетворяют также коорлннаты точки М,(хы у,), поэтому долмсно быль 1 У1(х,) = —, — (х~ — хо) + уо. у,(х|) Разделяя переменные х, и у~ и интегрируя, получим: в 2.
Задачи, приведвшие к уравнениям с разделяюицввиея переменными 38. В баке находится 100л раствора, содержащею 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5л в минуту), которая перемешивается с имеющимся распюром. Смесь вьпекает с той же скоростью. Сколько останется соли в баке через час? М Пусть СС(С) кг — количество соли в баке в момент времени С после начала истечения смеси из бака. Тогда )бб есть ее концентрация в данном растворе, а ?бб . 5>СС вЂ” количество соли, вытекающее из бака за время >СС мнн. Следовательно, имеем дифференциальное уравнение йс„з = — 0,05 (З >й. Здесь знак "—" указывает на то, что количеспю соли в баке уменьшается. Интегрируя уравнение, получаем ~ = Се ед", Поскольку при С = 0 абаке имелось 10кг соли, то С = 10. Таким образом, С) = !Ое ' " есть решение данной задачи.
Полагая в последнем равенстве С = 60 мин, получаем, что кщзичество соли в баке через час равно 10е кг ы 0,5 кг. Ь 39. В воздухе комнаты объемом 200 м содержится О, 15% углекислого газа СО,. Вентилятор подает в минуту 20м воздуха, содержащего 0,04% СОз. Через какое время количество углекислом газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? м Пусть (2(С) м — количество углекислого газа в комнате в момент времени С после начала работы вентилятора. Тогда -~00- есть концентрация его в комнате в момент времени С. О(С) Следовательно, 20 м' воздуха, которые уходят из комнаты за минуту, содержат 0,1зЗ(С) м' СОз.
Поэтому за время >СС мин из комнаты уйдет 0,1!'„)(С) >и м' СОз. За это же время вентилятор подаст 0,04% з з -' — 20 >СС м = 0,008 >СС м СОС в комнату. Таким образом, приращение 4('„З газа СОз за время >СС равно (0,008 — 0,1( З(С)) >СС, и мы имеем дифференциальное уравнение >С(2 = (0,008 — 0,1Д) >й. Проинтегрировав, получим 12(С) = (0,08 — Се ' ) м . Поскольку при С = 0 1;з = О,Зм' (т.е. 0,15% ст 200м ), то С = -0,22. Таким образом, СЗ = 0,08+ 0,22е "".
Момент времени Т, котла количество СОз будет 0,1 мз, находим нз равенства О,! = 0,08+ 0,22е Лт. Получаем Т = 10 1и 1! - 24 мин. > 40. Скорость остывання (илн нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20'С. Ко~да тело остынет до 25'С, если за 10 минут оно охладилось от ! 00'С до 60 С? м Согласно указанному закону, можем написать соотношение >СТ вЂ” и й(т-тп), (1) >й где Т вЂ” температура тела, Тп — температура окружающего воздуха, й — коэффициент пропорциональности. В нашем случае Т, = 20'С.
Интегрируя уравнение (1), получим Т = 20+ Сез'. Из условия Т(С)зг=п = 1ОО'С находим С = 80, а условие Т(С)!>. зп — — 60'С позволяет определить Сг. Следовательно, й= — 0,1!п2, Т(С)=20+80е 'и'=20+80 2 Полагая здесь Т = 25'С, находим требуемый момент времени Сз — — 40 мин. Ы 41. В сосуд, солерхгащий 1 ю воды при температуре 20'С, опушен металлический предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2сн,о и температурой 75'С. Через минуту вода нагрелась на 2'С. Когда температуры воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1'С? Потерями тепла на назревание сосуда и прочими пренебречь. м По аналогии с предыдущим примером имеем 4Тп 4Тв йп(Тп 2а)> й (Т Зп)> Гл. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 20 где Т„и Т, — температуры предмета и воды соответственно, «„и «, — постоянные коэффи- циенты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
