А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 10
Текст из файла (страница 10)
~ бб. (бе+ д — И (х+ (Ьх+ у — 2)г(у = О. И Это уравнение вида (2), и. 3.2. В данном случае а, =б, Ь, =1, ог -— 4, Ьг — — 1, аЬг — агЬ, =2ИО. Следовягельно, можно применить замену х = и+ а, у = е + )у. При этом получим г(х = Ые, Ыу = 4е, (бе + е + ба + )5 — 1) ли + (4е + е + 4а + )у — 2)де = О. Полученное уравнение приводится к однородному, если положить ба+)у — 1 = О, 4а+ )у — 2 = О.
Решение этой системы имеет вид а = -2, Д = 4. Таким образом, после замены х = и — 2, 1 у = е + 4 исходное уравнение приводится к однородному: (бе+ е) 4и+(4и+ е)г(е = О. Теперь восггсльзуемса уже извеспюй заменой и = е(, Ии = е 46+ 6 4е. Следовательно, (б( + 1)е 4( + (66 + 56 + 1)г(е = О. Разде!ил переменные и интегрируя, отсюда получаем (( Ф вЂ” 2 и ( га — у !: 1 11 6(+! 4е 1 ! 6(+1 (26 + 1) = С вЂ”. 3(+ 1 Возвращаясь к переменным х и у, окончательно имеем г 5'! (2х+ у — 3) = С ~Зх+ у — -7! . 2) Решения 2х + у — 3 = 0 !6 = -2 ! и Зх + у — 2 — — 0 (( = -у ! можно включить в полученное 5 г 11 семейство кривых соответственно йри С = 0 и С = со. гь 67. (5х — 7у+ 1) г(у + (х + у — !) г(х = О.
и Поскольку прямые 5х — ту + 1 = О и х + д — 1 = 0 не параллельны, то проводим замену х=и+а, у=в+)5, где постоянные а и )у удовлетворяют системе уравнений 5а — 7)3+1=0, а+)у †1. из которой находим а = )у = 2. Таким образом, после замены х = и+ 2, у = е+ 2 получаем 1 1 дифференциальное уравнение (5и — 7е)йе+(и+ с)г(и = О. Как и в предыдущем примере, пользуемся заменой и = бе. Тогда Ж = е г(6+ б Ж, (с~ + б( — 7) х х г(с+е((+ 1Щ = О.
Разделяя переменные и интегрируя„находим з (6 — 1)((+ 7) (б + !) г(б + )и(!е)С) = О, — )п |6 — Ц + — МТб-Ф 7! + )и |еС) ге О, 1 3 откуда (б 1)(б+Л е =С или (х — уКх+7у — 4) =С. ~ й 3. Однородные уравиепия и ураапения, прпаодащнеси к нам зз 68. (2п+ у+ 1)г(х — (4х+ 2у — 3) г(у = О. < Так как прямые 2х+у+ 1 = О и 4х+ 2у — 3 = О параллельны, то замену, которую производнлп в предыдущих примерах, здесь проводить нельзя. Однако, в силу того, что козффициентм при переменных х и у пропорциональны, можем положить л = 2х+ у.
Тогда оу = г(э — 2г(а и исходное уравнение принимает внд 5(л — 1) Ых — (2л — 3) г(э = О, Интегрируя зто уравнение и возвращаясь к переменной у, получаем 2* + у — 1 = Се'"-'. > 69. у'=2( ",) . м Посредством замены а = н+ 3, у = е — 2 приходим к однородному уравнению йс — = 2 —. г(и (и+ е)' применяя еще одну замену с = ис(н), получаем уравнение с разделяющимися переменными о( 2(э йн (! +с)э Интегрируя это уравнение, находим Г г(и Г ( + 2(+! ' — + з( г(( = С, 1п(и('(+ 2агсгйС = С, н ./ ((1+('з) илн (после возвращения к переменным а и у) у+2 Се з > 70. (у'+1))н — = —. у+а у+и а+3 я+3 ° а Замена х = и — 3, у = е + 3 приведет к однородному уравнению применение к которому замены е = н!(н) позволяет получить уравнение с ран!сдающимися переменными (н( +(+ !)1п(1+0 = 1+4, нС 1п(1+О = (1+0(! — 1п(1+0)- Разделяя л ггосэгеднем уравнении переменные и интегрируя, находим: йн )' )п(1+с)г(( н .Г (1+С)(! — $п(1+!)) или 1п)н~+ )п(1+() + 1п11 — )ц(1+ ()! = 1пС.
Отсюда, потенциируя и возвращаясь к старым переменным, окончательно имеем и+у С 1п — = 1+ —. > *+з *+у' Замечааае. Длл решения уравнения (2), и.3.2, прнненяют еще н замену ага+ 61у+ с1 аз а + азу + сэ юпорая сразу прнаолнт к уравненшо с разлеляющнннся переменнымн. В данном случае можно вклсльэоааться укаэанной заменой. Тогда получим уравнение Р у+а (э + (и + З)э ) йг э = а, где а+3' 1п)а+31+!аз+1а11 — 1пз1 =1пС, 1л — =!+ —. а+у С а+3 *+у' Гл. 1.
Дифферевциальвые ураввеиии первого порядка 34 аз 'х'2(х = (хм+ х ) г(х приводится к однородному, если выбрать а = 2. Полагая в (1) х = хи, имеем (н' — !) 2(х = 2нх2!и. Разделяя переменные и интегрируя, получаем ! 1и!х)+ — — = С, н2 или 2 1~)*)+, =С. м у — х' (2) Заьмчавпе. В данном случае мм получилн решение лля у > О, поскольку у = г ) О.
Лию2огично ыожно установить, что и лля у =. — 2 < О семеистео репюний описмаается формулой (2). Решение у = х г , 2 входит в это семейспю при С = со. 73. 2*ту' = у' + ху. м Положим у = а'. Тогда получим 2ах г г =г +ха,2ах г" дг — (з +хх') 2(а=О. Отсюда следует, что функции 2ахта' ' и хзе+ х»' однородны яишь при одном условии: а+ 1 = 2 = За = а+ 1, т. е.' при а =;. Таким образом, в случае у > 0 применяем замену у =,/г, Тогда исходное авнение п имет вид ур Р х 2(а — (2+ х)х2(х = О. Замена а = хн(х) преобразует последнее уравнение в уравнение с разделяющимися переменными хЖ- н22(х = О.
Интегрируя его, получаем -„'+1пЦ = С, или — +02)х) = С. у2 Решение у = 0 входит в полученное семейство при С = оо. > Заначавие 1. В рассмотренном, н в некоторых других примерах мы включали "пошрянные" решения в семейство интегральных кривым при синг)парных значениях С. Однако такое включение вызвано не существом дела, а лишь формой записи решения. Покажем это на п)2еяегщем примере. Имеем х+у 3п!х)=Су, — (х+у !и!е!)=у, С2(х+у 1и!х!)=у, С2 = —. 2 2 ! 2 2 С Положив в последней формуле С2 = О, получим у и О. у+2 у — 2х 71. у'= — +гд х+1 х+1 М Уравнение привоаится к однородному с помощью замены х = и — 1, у = е — 2: 2(е е е — 2н — = — + )д 2(Н и и Далее, как и в предыдуших примерах, применяем замену е = пь(н).
Тогда получим пе' = гд(С вЂ” 2), Разделение переменных и интегрирование дает; 2(Ь" 2(н — — (п )н) - 1п ! з)п(Π— 2)) = 1и С. ГИ(С - 2) н ' Потенциируя и возвращаясь к прежним переменным, окончательно имеем х+ 1 = Сюп (~ — +-1-). Заметим, что решения х+ 1 = О (и = О) и у~ — * = )гх, д Е Е (гб(1 — 2) = 0) нхщят в полученное семейство решений соответственно при С = О и С = оо. М 72.
х'(у' — х) = у'. < Уравнение не является однородным, однако, применив замену у = (х(х))', замечаем, что уравнение 35 я 3. Однородные уравнения и уравнения, ярююляягиеся к внм Зивечавве 2. Замена У = -г/г (дш У ( 0) вРиаодвт к такомУ же РезультатУ. 74. уйх+ х(2ху+ 1) йу = О. < Применив замену у = г', получим уравнение г йх+ х(2хг" + !)аг" г(г = О. Так как функции г' и ахг '(2хг" + 1) однородны н имеют одну и ту же степень при а = -1, то данное уравнение приводится к однородному с помощью замены у = г . Однако его можно ! привести к уравнению с разделяющимися переменными, если воспользоваться заменой у = и(х! (в общем случае заменой у = х'о(х)).
Таким образом, получим уравнение -2и йх + х(2и + 1) йо = О, откуда йх йв яи 1х1 1 — = — + —, )п~ — !+ — =!пС, х и 2ог' ~и~ 2о 2ху = 2 де * =С. !и С!д(' Заметим, что последняя форма записи решеггий исключаег такие, как х = 0 и д = О, в то время как ей предшествующая включает решение х = 0 (при С = оо). Легко показать, что никакие преобразования формулы семейства интегральных кривых не позволяют включить в их состав решение у = О.
М 75. 2у'+ х = 4 /у. ч Проверка на обобщенную однородность данного уравнения показывает, по показатель однородности а = 2. Следовательно, замена у = хгв(х) (и > 0) приводит к уравнению с разделяющимися переменными 2хйв+(1+4и — 4з/в)г(а=О (х > О). Проинтегрировав его, получим: 1 1 х(1 — 2ття) = Се' "'-г в =— 4' нли г (х — 2,~ус*-" г = С, у = —. Если же х ( О, то вместо уравнегшя (1) получим уравнение 2х г(в + (1 + 4в+ 4чги) г(х = О, интегрирование которого приводит к уже полученному результату шгя уравнения (1). и 76. 2 ~,/хтуУ+ ! — х'у) йх — х' йу = О. ° Полагая у = г, получаем уравнение 2(14ъ Ь! ',)йх „„' -!лг — О Отсюда следует, что функции при дифференциалах однородны и имеют одинаковую степень только при а = -2.
Поэтому замена у = У(~2 приводит к уравнению х 2~/ц~ + 1 йх — х г(в = 0 *' = С (н+ /вг+ !), *' = С ~х'д+ ф+ хгдг) . !и й 3. Одворедвме ураввеяия в ууаавеявя, врааюдюпвеся к ввм 37 Таким образом, искомое семейство кривых имеет вид — )7'х + у' = С. Случай х < 0 предоставляем разобрать читателю. м 80. Найти кривую, зная, что треугольник, образованный нормалью к ней н осями координат, равновелик треугольнику, образованному осью Ох, касательной и нормалью к этой же кривой. М По условию„треугольники КМ)У и Обгь( (рис.19) равновелики, поэтому равновелики также треугольники КОР и РМй.
Поскольку последние еще и подобны, то они конгруэнтны. Следовательно, )ОР~ = !РМ!. Из уравнения касательной г' — у = у'(Х вЂ” х), где Х, У вЂ” текущие координаты точки, лежащей на касательной, следует, что Л !РО! =- у — у'х. Длину отрезка РМ находим по формуле расстояния между точками М(х, у) н Р(0, !РО)): М(х, у) г Р (РМ! = )( хг + у' хг. а Таким образом, получаем дифференциальное уравнение ьг г г ь г К О )ьг х (у — уьх) = х + у' х, нли у — 2уу~х — х = О.
Полученное уравнение однородное, поэтому воспользуемся заменой у = хи(х), которая после ее проведения дает возможность разделить переменные. Имеем из+ 2ии'х+ 1 = О, откуда интегрированием находим: х(1+ и ) = 2С, или (х — С) + у = С . м 81. прн каких а и 19 уравнение у' = ах'+ьул приводится к однородному с помощью замены у ььг м Применив указанную замену, получим тх~ 'г' = ах~+ба~а (т ~ 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
