А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 12
Текст из файла (страница 12)
у йх' 42 Гл. 1. Дифференциальные уравнения нервно порядка Полученное уравнение линейное относительно «. Пользуясь мепщом вариации произвольной постоянной, получаем » г / »2 «(х) =С(х)е'У, где С(х) = ~ х~ е Т+е ) г(х+Сз. Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид )и у и е з ~ — ~х — - ! е — е т + С) . М *— '-з» г'1 1 2» Ы 93. " — У + ф+ ! = х' у»ут+ 1 а'х < это также уравнение вида (3), п.4.3, следовательно, произведем замену «(х) = ч'уз + 1. Тогда получим ! «~=, «+«=х +1. гу»+ ! Проделав всю необходимую процедуру, требуемую в методе вариации произвольной постоянной, найдем: « = С(х)е *, где С(х) = е* (х — 2х+ 3) + Сз. Итак уз+1 = хт — 2х+ 3+ Се * Р— общее решение исхолного уравнения.
М , г(у 94.е* У вЂ” е"=е". ох ° Умножив обе часты рассматриваемого уравнения на е*, получим уравнение вида (4), и.4.3« йу ††. ох Следовательно, применяем замену «(х) = е ". Тогда получим последовательно — » Р »» г » «(х) = -е "у(х), -е"« — 1 =е е", — « — « = е . Полученное уравнение линейно относгпельио «. Его решение имеет вид: 1 « =Се * — — е*. 2 Осталось записать общее решение исходного уравнения: 1 е "=Се» вЂ” — е~.м 2 95. 3 ау + (1+ е*+'») йх = б. и Преобразовав уравнение к виду йу 3 — +! = -е*.е г(х замечаем, что оно относится к виду (4), п.4.3. Поэтому воспользуемся заменой «(х) = е з". Тогда последовательно получим » «(х)»» — Зе з"у', — — +1=- —, «' — «=с*. « «' Общее решение линейного уравнения находим известным способом, в результате чего имеем «(х) = Се*+ хе*.
Осталось запиазть общее решение исходного уравнения: 1 х у= — -1п(С+х) — —. м 3 3 $4. Лввейвме уравнения в уравнения, врваадяагвеев к ввм 43 96 "У+ ф~ ~з у з(х 3(х + 1) ° Уравнение относится к виду (3), п.4.3, поскольку Следовательно, произведя замену з(х) = 3 Дйу)г, получим линейное уравнение 2 з х+ — =1, х+1 общее решение которого имеет вид: 1 С з = — (я+1)+ х+1 Окончательно общий интеграл запишется в виде С р((лу)з (.+ Ц+ > 3 2 я+1 97. (х+ ц(у'+ у') = — у.
1 Считая, что х ~ -1, делим обе части уравнения на х+ 1 и записываем его в виде з У 2 у+ = у. х+1 Это есть уравнение Бернулли. Разделив абе его части на уз, затем производим замену у ' = з(х). Тогда последовательно получаем х'(х) = -у зу', х' — = 1, х+1 Полученное линейное уравнение решаем методом вариации произвольной постоянной.
При этом находим з = С(х)(х+!), где С(х) = $п(х+ Ц+Се. Окончательно решение исходного уравнения принимает вид 1 у= (х+ 1)бп(х+ Ц+С) 98. хуз(х+ (*'+ у'+ 1) Иу = О. ° а Произведя замену хз = и(у), получим линейное уравнение первого порядка 1 йи — у — + и = -(у' + 1). 2 4у Сг з / 3 Его общее решение имеет вид в = — щ, где С(у) = -у ~$- + 1) +сопи. Таким образом, имеем У все решения исходного урзвиения: у + 2хзуз + 2у = С. ° 99. (х'у — Зх'у+ у') <Ых -ь 2х' г!у = О. ° Разделив обе части уравнения на Их ~ О (х = Π— очевидное решение), получим уравнение Бернулли 2х — +(х — Зх )у= — у.
зау з з з Фх Счишя у Ф О (у = Π— тривиальное решение), делим абе части посдеднего уравнения на — уз и полагаем = я(х). Тогда получим 1 — = я'(х); х з' — (х — Зх )з = 1. Гл. 1. Дифферевпиальвые ураввшия первого порядка Решая это линейное уравнение, находим х = С(х)х зе*, где С(х) = -е *+ Се Теперь запишем все решения исходного уравнения. Суе — у — х =О; х=б; 2 ь 2 3 у=б.м 100. 2у' — — = м Умножив обе части уравнения на у и положив у = и(х), получим линейное уравнение и — и = х.
х (1) хз — 1 Ищем решение в виде и = у(х)в2(х). Подставив и и и' в (1), имеем (.('-,*' ) +-'~=*. Функции 1 и в2 находим из уравнений хг =О, в2) =х, х2 — 1 Из первого )равнения получаем ( = СДхг — Ц. Из второго уравнения следует, что 1 2 и = — )) х' — Ц зап(х — 1) -Ь См С Следовательно, и = !х — Цзян(х~ — 1) + СДхт — Ц = х — ! + СДм~ -Т~, откуда у' = х'-1+ Сф*з — Ц. ~ 101. у'х'мну = ху' — 2у. < Разделив обе час~и уравнения на у' Н О (у = Π— очевидное решение) и приняв х за функцию от у, получим уравнение Бернулли 2(Х 3 2у — — х = -х йпу.
2(у Используя замену х ' = х(у), приходим к линейному уравнению уг +х = 3!пу, общее решение которого вырывается формулой С позу у у Все решения исходного уравнения имеют вид: ! С сову г 2 У=О; — 2= — — —, илн у+х созу — Сх =О.м у у 102З, (х + у + 2х — 2У)Их+ 2(у — 1)2(у = О. М Преобразовывая уравнение следующим образом: ((х + 1) + (у — 1) — 2) 2((х + 1) + 2((у — 1) = О н полагая х+ 1 = и, (у — 1)' = е, приходим к линейному уравнению г †+в=2 в а 2 г с его общим решением в = Се "— и + 2и. Все решения исходного уравнения описываются формулой х'+ у' — 2У = Се '.
> 45 $4. Лиыейыые уравыеыиы и урашеыыя, нриводящыеся к ыым 103. (е" — у')х = 2. < Полагая е" = е(х), получим уравнение Бернулли 2 х+ — т=х. х Его обшее решение имеет вид 1 х(х) = х(1+ Сх) Общее решение исходного уравнения запишется в виде у = — (п(х ь Сх ). (и 104. д(х) = ~ у(1) 41 ч- х + 1. о и Взяв от обеих частей равенства производную, получим линейное уравнение общее решение которого у = Се Исходя из очевидно~о начального условия у(0) = 1, находим С = 2. Следовательно, у =2е' — 1. м 105. '( (х — 1)у(1) 4( = 2х Ч- ~ у(1) г(1.
о е ~ Дважды дифференцируя левую и правую части равенства, имеем последовательно у(() 41 = 2+ у(х); у(х) = у'(х), е откупа находим у(0) = — 2 и у(х) = Се*. Из начального условия следует, что С = 2. Итак, функция у(х) = -2е* есть решение поставленной задачи. м 106. унх 4 х 4у+ у~(яду — ус(х) = О. м Это уравнение Мнндинга — Дарбу, поскольку функции М(х, у) = у и тт'(х, у) = х однородные и имеют степень 1, а функция Я(х, у) = у' однородная и имеет степень 2. Следовательно, применима замена у = их(в), Имеем их йх + х(и йх + х йи) + из хе(х(и йх + х Ыв) — их йх) = О, или 2идх Ч-х(14 х'нз)ди = 0; х = О.
.(1) Разделим обе части полученного дифференциального уравнения на йи. Оно превратится в уравнение Бернулли Их 2 3 2н — +х= -и х . йи Полагая х ' = е, приходим к линейному уравнению 3 ве — е=н Легко проверить, что его общее решение представляется в виде е = и'+ Си.
Последовательно возвращаясь к старым переменным, окончательно имеем у +Сху — 1=0. Решения х = 0 и у = 0 входят сюда при С = со. м 46 Гл. 1. Диффереицвальвью урввиеииа первого порядка 107. (х'у+ у' — ху) ба+ х'!(у = О. М Записывая уравнение в виде О уз ву + (в~у + у~) г(х + х(х г(у — у вх) = О, замечаем, что оно есп уравнение Миндинга — Дарбу. Поэтому, полагая у = их, получаем х (и+ и )!(х+х Ии = О, !(и х= О; +Ых=б; и=б. и(1+ и!) Отсюда следует, что + — = Се *. Возвращаясь к переменным х и у, окончательно получаем ъ/и'-~1 у~=Сне ~(х +у~); х=О.
Гь 108. уг(х+ а) а*+ х(*~ — у) йу = О. и Это уравнение Миндинга — Дарбу, поскольку оно приводится к стандартному вшгу у хг(х+ х~г(у+ ау(уг(х — хг(у) = О. Произведя замену у = их(и), получим линейное дифференциальное уравнение йх х а — + !(и и(и+ 1) и+ 1' для решения которого применим метод вариации произвольной постоянной. Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид и+1 х = — С. (!) и Считая С = С(и), получаем дифференциальное уравнение решение которого имеет внд о С(и) = о 1п(Се(в+ 1)) + —, Се = сола!. и+1 Подсивнв значение С(и) в (1) и принимая во внимание, что и = кх, запишем общее решение исходного уравнения в виде 109.
(2ху — хгу — уз) <(х — (х'+ ут — хз — ху') йу = О. М Это такие уравнение Миндинга — Дарбу, поскольку (2ху — х у — у )<(х — (х +у — х' — ху )г(у = 2хувх — (х +у )ву — (х +у )(у!(х — хву). Полагая у = их(и)„получим уравнение с разделяющимися переменнымн (и — из) вх + х(1 + и')(х — 1) ви = О, из которого следует, что х — 1 и = С. иг Следовательно, в старых переменных имеем у(х — 1) = С(х~ — у ). > Решить спе!!ующие задачи.
110. найти кривую, которая имеет следующее свойство: отрезок оси (гх от начала координат до пересечения с касательной к этой кривой в любой точке пропорционален ординате этой точки. Н Из уравнения касательной к искомой кривой в точке М(х, у) Р— у = у'(ь — х), $4. Лвиейвые ураанеивг и уравнения, врвавдаивеея к ивм 47 где Х, à — текущие координаты касательной, следует, что абсцисса точки пересечения ее с осью Ох равна х — лг. Согласно условию, имеем уравнение у у ах х — — = йу, или у — — х = -йу. у ау Все решения полученного уравнения имеют внл *=у(С-й) ~у1).п 111. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есп величина постоянная, равная За .
г м Из уравнения касательной (см. предыдущий пример) находим длину отрезка ОК: 10К) = = у — ху' (рис. 21). Пуси Б — площадь трапеции КОММ. Имеем (КО( + 1М1(г! 2 у Согласно условию задачи, Я = За'. Следовательно, 2 За = — (у — ху + у)х. 2 М(х, у) Полученное уравнение линейное относительно у: а баэ К ху' — 2у = — —. Его общее решение имеет вид 2а у = — +Сх. ~ х га. эг ~ЛЧ~ = -' (1Одг!'+ !МЛг~') .
Рассмотрим треугольник М)тЬ и найдем длину катета ФЬ. Имеем (ЛЬ| = уу'. Таким образом, лнфференциальное уравнение искомых кривых имеет вид 2уу' = х + у'. Полагая в нем уэ = н, получим линейное уравнение в'-и = х'. Решая его, находим и = Се*-х~ — 2х-2. Окончательно имеем у =Се — х — 2х — 2.п э 113. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг сали. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток вэщкости иэ него выливается. Копи каличеспю соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно? м пуси, 121(1) и Щг) — количества соли в кг соответственно в первом и втором баке в момент вРемени 1 ат начала пеРеливаниЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
