А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда общим интегралом уравнения (1) будет (р,(х, д) — С,) ((в,(х, у) — Сз) ... ((в„(х, у) — С„) = О. 7.2. Общий интеграл уравнении Р(у') = й. Уравнение Р(у') = О имеет общий интеграл Р (~ — — ) = О, причем, если Р(д') = О на некоторых частях области определения функции Р, то отношение д — — будем считать произвольной функцией от х со значениями на зтнх же частях. Гл. 1.
Дифференциальные уравнения верного порядка Найти общие интегралы уравнений. 173. Уа — (Зх — 2у)у'+ 2х — ху — Зу = О. и Решая зто квадратное уравнение относительно производной, получаем два лнфференциальных уравнения первого поряака: у' = 2х — Зу и у' = х + у. Оба уравнения линейные, позтому их общие решения находим без труда: 2 2 у = Сзе + — х — — и у = С,с* — х — 1. 3 9 Общий интеграл исходного уравнения можно записа гь в виде (3)„п. 7.1: 2 2з зз (у — — х + -) е * — С,) ((д + х + 1)е — Сз) = О.
м 3 9) 174. Уо — (хз + ху + уз) д'+ хд(х + у) = О. м Уравнение допускает очевилное решение д' = х. Остальные решения находим из квадрат- 2 ного уравнения у' + ху' — (х + у)у = О: у=у и у=-х — у. Общие решения полученных дифференциальных уравнений соответственно имеют вид х у= — +Сз, У=Сзе*, У=Сзе * — х+1. 2 Общим интегралом исходного уравнения будет с з г-е— -с)(зг -с)Ь *-Пà — а)=о ° 2 175. у' нпх — (уз(па — соз'х)у' — (усох'х+ япх)у'+ уз(ох = О. и Очевидное решение д' = ни х позволяет найти другие два решения кубического уравнения: д' = у и у' = — — „„. Решив полученные дифференциальные уравнения, имеем 1 у = — сов х + Сз, д = Сзе, у = 1п ~сзя — ~ + Сз.
2 Следовательно, общий интеграл данного уравнения записывается в виде (у+ созх — С )(уе — Сз) ~д — 1п~сгб — ~ — Сз) = О. > 2'1 Найти решения уравнений. 17зз хздР + х'уу'+ а = О а Решив уравнение относителыю д а У ауз зу вводим параметр р по формуле д' = р. Тогда из (1) следует, что а у = — — — х(з. (2) хзр Для выражения х через р воспользуемся равенством з(у = рак. Дифференцируя (2) и принимая во внимание указанное равенспю, получаем: 2а а рах = — з(х+ г(р — х з(р — рг(г, х'р хзрз 75 й 7.
Уравнения, ве разрешенные отиосителыю производной откуда ( — — 2р) йх+ ( — — х) Нр= О, или ( — — х) (Йр+ — йх) = О. Очевидно, последнее уравнение имеет решения х = э/ат и х = ч-~. Подставив их в (2), С Р Л~~' находим у = -2ээграэ и у = — — ьт ькп р- стэй(. получили все решения в параметрической форме. С Исключив параметр р, получаем эти же решения в явном виде: 4о а с х= — и д= — +-.М э с х 177. 9уу' +4хэд' — 4хэу = О, и Полагая у' = р и разрешая уравнение относительно у, получаем: 4х'р У= 4хэ — 9рэ Яифференнируя (1) и принимая во внимание равенство йу = р э(х, находим: (12 4р 27хэрэ я ~) э( ° + (4 5+9рэ 1) йр раз — 4 (4х' — 9рэ)э или 9р' э(х = 4хэ э(р (считаем, что 4Х'+9р' и' О), Из последнего уравнения следует, что 4х'-9р = = 4СХ'рэ, поэтому из (!) окончательно получаем: 9 у' = Сх'+ — С'.
> 4 178. д' — ху'у' — у' = О. м В данном случае уравнение удобно разрешить относительно х: ,2 У У х = — — —. У У Полагая в (1) у' = р и продифференцировав полученное, имеем Ну 2рг(р 4рээ(у Иу у Йр Р У~ У Р Р Из этого уравнения находим: э) дэ р = Су и р ы -д)1 —. (г' 2 Подставим значения у' = р в (1). Получим 2 э'э 1ээ э х=С вЂ” — и а=~Л+-Э вЂ” (у э.м Су ) эГ4)) 179.
х = у'ьэп у'. < Уравнение разрешено относигельно х, поэтому можно ввести параметр р = у'. Тогда ь = р япр и остается'выразить у через р. Воспользовавшись связью йу = р Нх, имеем э(у = Рэ((рь(пр) = р(ьэп15+)эсоьр) й)ь. отсюда интегрированием получаем у = рэь(пр+ рсоьр — ь(пр+ С. Гаким образом„имеем общее решение в параметрической форме: х = уз(пр, у =рэьшр+рсоьр — ьтр+С.
> 7б Гл. 1. Дифференциальные урааееиия первого порядка 180. у = (2 + у ) з/Т вЂ” у'. < Как н в предыдущем примере, вводим параметр д' = р. Тогда д = (2+ р)з/1 - р. Так как ь(х = — ь(д, а ь(д = ь( ((2+ р)з/\ — р), то Хх = — ь(((2+р)~/! — р) =— О!сюда интегрированием находим х = З~Л вЂ” р+ С. Если исключим параметр р из вырюкений для х и у, то получим общее решение з д= х+С- — (х+С) . и 27 181.
х'+у' -Зху' =О. и Полагая у' = !х(!), где ! — параметр, находим 3! , 3!г х(П = —, 1+!зь 1+!з Из последнего равенства следует, что ь!у = — з-ь!х. Поскольку ь(х = 3: — з-ть(1, то ь(у 3! 1 — 2С ! ь! (1+! ) = 9 ~-(ь:згьз2 Ф. Интегрируя, получаем (! -!-! ) 3 4!+1 у(!)= 2 ! +С 2 (1 + !з)г — общее решение исходного уравнения в параметрической форме. И р ,» р ,г 182. у' — од' +9у' — 7д' +бд'+1=0. м Пусть а„(й = 1, 5) — корни уравнения а' — ба'+ 9а' — 7а + ба+ 1 = О. Тогда у' = а» и у = а»х+ С, или — = а».
Поскольку ໠— корни указанного уравнения, то долл»но быть ь — С (У ) — В(~— ) +9(д ) — 7( ) об(д )+!=О. Это и есть общий интеграл данного уравнения. И 183. у' = 1Оз!ну'. М Поскольку у' = а», где ໠— корни уравнения а = !оипа, то у = а„х Ь С, и общий интеграл днфференпиального уравнения имеет вид: , д-С у — С = 10хип —. > 184. д'+)д'! = О. и это уравнение выполняется для всех у' < О.
поэтому, полагая у = р(х), где !г — любая неположительная функпия, имеем: у = ~уь(х) йх+ С = — /~уь(х)(ь)х 4- С. Следояателыю у = — / (ьр(х) — ((е(х)() ь(х + С 1 есть решеьше дан)(гого уравнения. Ьи 185. хФ= у". г М Уравнение имеет одно очевидное решение у' = х; д = С+ -Г. Кроме того, имеются и другие решения, которые представим в парамегрнческом виде. Для этого положим у' = х'. Тогда подучим ь ь х =!г-т у =ггт (! гз 1), 77 $7. Уравнения, ие разрешенные относительно производной гз! 1~=~ /! 1п! х ~(д = ! — г(х = Е» ~ б ( ! — ) = — ( - — — ~ ~(!. С вЂ” 1 ! С вЂ” 1 Интегрируя последнее соотношение, находим д = / 1= (- — —,) —, + с.
м 18б.у'=е т -*К м Разрешив уравнение относительно * и полагая у' = р, получим х = к !пр, Так как и бд = р г(х, то Нд=рг(( — !пр~ = — г(р+!прНу — — !пррр, или (1 — 1пр) ~бу — — бр) =О. /у ! у у / д Р Р Р р — и Сх =!пСд. > д е 187. д" — уд" ч-)=О. м Полагая здесь у' = р, разрешаем уравнение относительно х; ур' - 1 у Р Р Р Из равенства бу = р ох, а также (1) следует, что /д 1) д Збр бу=рп(-- — ) =йу--йр+ —. Р Р Р Р Из (2) находим р = С и у = -г.
Подставив зти значения в (1), получим 3 Р (2) у 1 з з х= — — — и 27х =4у.> С С' 188. у' +2уд'с!бх — у' = О. м Разрешая уравнение относгпельно у', у =у!б— 2 Их соответствующие решения имеют вид с, у= стиг х 2 получаем два дифференциальных уравнения х и у = -дс!б-. 2 С, д зх'~» 5!и ч 189. д(д — 2ху')' = у' . М Умножив обе части уравнения на у и обозначив д = и, получим 2 т 4(и — хи')' = и' . Полагая и' = р и разрешив последнее уравнение относительно и, будем иметь г и =хр+ ( — ) Поскольку г(и = р Их, то, дифференцируя обе части равенства (1), найдем г 1 3 /Р~ У'1 рих=с((хр+ (- ! =хор+рая+ — Н г(р, илн х+ — ( — ) ар=О. (, 2 ! ,( Из последнего уравнения находим р = е и р = Су, Таким образом, решения данного уравнения имеют вид Гл.
1. Днфферевциалытые уравиевшт первого порядка Отсюда имеем р = С, или р = — — з-. Поделана значения р в (1), окончательно получим: 2 27х у =2Сх+Ст и у = —,> т т 1 27хз' 190. (Зх + 5)у' — (Зу + х)у' + у = О. и Положив у' = р и разрешив уравнение относительно у, имеем 5р у = хр— 1- Зр' Продифференцируем обе части равенства ( 1), приняв во внимание, что Оу = рая.
Получим 5р 5р(2 — Зр) Ор / 5р(2 — Зр) ! рдх=8 хр — ! =хт(р+рйх— 1 — Зр 7' (1 — Зр)т или ~х— П-Зр») ~ Ор=о. Из этого уравнения находим (2) 5р(2 — Зр) Р=С и (1 — Зр)' Подставив (2) в (1), получим решения исходного уравнения: 5Ст 5р(2 Зр) 5р 1 — ЗС " * (1-Зр)' ' " П вЂ” Зр»' Последние два из них являкпся параметрическими уравнениями решения, не входящего в семейство интегральных кривых ни при каком С. и. 191. у = ху' — уг. и Попаши здесь у' = р и дифференцируя обе части равенства у = рх — р, получаем рт(х = и'(хр — р ) = хор+ров — 2рт(р, (х — 2р) ор = О.
Отсюда находим р = С и р = т . Таким образом, решения исходного уравнения имеют вид 2 т х у =Сх — С и у= —. > 4 т 192. у = 2ху'-4у' . и Введение параметра у' = р с последующим дифференцированием обеих частей уравнения приводит к следующему соотношению; рт(х = т((2хр — 4р ) = 2хдр+ 2рйх — бра, или 2хт(р+рйх 8рт(р = О. Полученное уравнение можно рассматривать как линейное относительно х = х(р): т(х р — + 2х = 8р. Ор Его общее решение имеет вид С 8 х = — + — р. рт 3 Таким образом, общее решение исходного уравнения запишется в виде: С 84з2С т+ Р~ У= Р+ Рт 3' 3 Р' Кроме того, име я еще одно решение у = О, не входвщее в это общее решение ни при каком С.
и Пввмечиме. Здесь и далее рассматриваем ураелеявя Гттирахих и Хаеро, которые соотаетспынно имеют ввд: у= р(в'Ъ +Р(у') (р(в) те у') в = у в+Р(в). 79 й 7. Уравнения, не Разрешенные отяоснтельно производной 193. у = худ — 2У". м По аналогия с предыдущим примером имеем у'=р; у=хр — 2р; рйх= 4(хр — 2р), р ((р — 1) 2(х + 2(х — Зр) 2(р) = О. Отсюда следует, по р = ! „р = О, а также (р — 1) 2 — + 2х = Зр.
Интегрируя линейное уравнение, 2(Х получаем Р С х= + 2р + 1. (р — 1)2 Таким образом, все решения данного уравнения описываются формулами: С Ср' У=О; у=х — 2; х= +2р+1, у= +р.М (р-1)2 ' (Р-1)' 194. 2У' (у — *у') = 1. М Разрешая уравнение относительно у и полагая у' = р, получаем 1 У=яр+ 21Р2 ' Используя равенство ду = р Ых н дифференцируя обе части (1), находим 1 2 1 рдх = 4(хр+ — ) = хдр+р2(х — — Ир, 2рз,) з (х — —,) 2(р = О.
Отсюда следует, что р = С, а также х = -2-. Подставив полученные значения в (1), окончателыю ! Р имеем бу =27х и У=Сей —.Ш 3 2 2С2 195. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площадью 2а'. м Из уравнения касательной к кривой в точке М(х, у) 1' = у+ у'(х)(Х вЂ” х), где Х, à — текущие координаты касательной, следует, что абсцисса точки пересечения касательной с осью Ох равна х„= * — лг, а орднната точки пересечения ее с осью Оу у„= у — ху'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
