А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда, по теореме Пикара, через каждую точку ОГ 1 Уд (хо, уо) Е Ж, где уо Ф 2хо, проходит единственная интегральная кривая. в) Воспользуемся теоремой п.8.2. Функция Г(х, у, у') = (х — 2)у' — /у+ х удовлетворяет условиям: 1) она непрерывна при у > 0; 2) частная производная — „-г = х — 2 ~ 0 при х Ф 2; др ду' 3) ЧаСтяая ПрОИЗВОдиая  — — — -ч„-,- ОтраинЧЕНа Прн у > Е > 0; 4) уо « -' 5 Х вЂ” ЕдИНСтВЕННЫй Ог" 1 2су х — 7 действительный корень уравнения х.(х, у, у') = О. Следовательно, через кюкдую точку (хо, уо) плоскости хОУ, где хо ~ 22 .55( (уо > о > О, проходит единственная интегральная кривая уравнения в).
г) ясно, по при у и' ~т + Бог, й Е Е, правая часть уравнения непрерывна и имеет ограниченную частную производную по у. Следовательно, по теореме Пикара, через кажлзчо точку плоскости хОУ, эа исключением прямых у = от+ух, проходит единственная интегральная кривая рассматриваемого уравнения. И $8. Сув!еетповввие и сдиихшевиасеь ршиешш 91 Пввиечевве. Если функпня т в задаче Коши имеет в прямоугольнике и ограниченную частную производную ч»е, то она автоматически удовлепюрвет условию Лившица. дг 204. При каких неотрицательных а нарушается единственность решений уравнения у' = (у)" и в каких точках? м При неотрицательных а функция у(х, у) = !у~' непрерывна, поэтому уравнение имеет решения. Если у ~ О, то частная производная н- = а1У~' збпу существует и ограничена в у каждой конечной части плоскости хОУ.
Следовательно, по теореме Пикара, если у ~ О, то при любом а существует единственная интегральная кривая, проходяшдя через заданную точку. Если у = О, но а > 1, то функция у удовлетворяет условию Липшица: !У»(' = !у,!' ')У,) < Ь|у,~ (здесь у! — — 0). Поэтому, согласно теореме Пикара, единственносп решения и в этом случае гарантирована.
Остается проверить случай, когда 0 < а < 1 н у = О. Возьмем произвольную точку !!у(хе, 0) на оси Ох. Очевидно, что через эту точку прохолит 1 — » интегральная кривая у = О. Однако через эту точку проходит также кривая ?' — »бп у = * — хе, являющаяся решением рассматриваемого уравнения.
Таким образом, при 0 < а < ! в точках (х, 0) б Е' наруцшется единственность решений данного уравнения. в 205. С помощью необходимого и достаточного условия единстиенности для уравнений вида у' = у(у) исследовать дифференциальные уравнения: а) у =(у — 1)(г!у'; б) у =агссозу; (О, д=О м Согласно указанному критерию, если непрерывная функция у ~ О, то решение уравнения существует и единственно. Если же у(у) = 0 при у = С = сопл!, то вопрос о единственности с ! ле решается с помощью исследования на сходимость несобственного интеграла з! -у(-) . Если этот »» ннтв»рал расходится, то у = С вЂ” частное решение, в противном случае через кажлую точку прямой у = С проходят другие инте»ральные кривые.
В случае а) имеем С = 1 и С = О. Функция г'(у) = (у — 1)тгу' непрерывна прн у > О. Поскольку несобственные интегралы ! о йд »(у (У» > 0; у» х !) и / (О < уо < 1) (у-1) гу ~» (д- !)ьгд' расходятся, то через каждую точку полуплоскости д > 0 проходит единственная интегральная кривая даннопз дифференциального уравнения.
1 В слУчае б) С = 1 и несобственный интегРал з! — „их»до»у (-1 < У, < 1) сходитса„так как л „= О ~~ — ) при у -» 1 — О. Поэтому через каждую точку (х, у), где -! < у < 1, ~»Г1-у проходит единственная интегральная кривая, а через каждую точку прямой у = 1 — любое число имгегралънъ»х кривых. В случае в) С = 0 и С = 1. Так как несобственный интеграл е »» / » = / — (0<у»<1) сходится, а несобственный интеграл = / —, (у.>О, У,~П »» и»» Гл.
1. Дифференциальные ууавнеивв верного порядка 92 расходится, то через кюкпую точку верхней полуплоскоспг, за исключением прямой у = О, проходит единственная интегральная кривая. Предлагаем читателю выполнить геометрическую иллюстрацию рассмотренных случаев. С» 206. При каких начачьных условиях существует единственное решение следующих уравнений и систем? а) у" = !уу+ то/хх; в) у — уу' = тз/уу' — х; б) (х+ 1)у = у -Ь т/у; ох з г) — =у +!п(С+ !), гй о(у о х — = чгу — С. дС ум = - (уо - о уу' - *). у г) Так как функции С!(С, х, у) = у~-Ь(п(С+!), Ст(С, х, у) = — (гу — С и их частные производные Ь 'г б Си = О, -д — ' —— Зу, д-'- = — — 'С вЂ”, д — =, — непрерывны при х ~ О, С > — 1, у Ф С, то через каждую точку (Са, хо, уо), где Со > -1, уо ~ Со, хо ~ О, проходит единственное решение (х(С), у(С)).
Заметим, что в случае системы уравнений -~С- — — 2, ВТ = С, и т.д., ее решение лх да является вектор-функцией с координатами х(С), у(С) и т. д. С» 207. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости хОУ пересекаться в некоторой ~очке (х,, уа) а) для уравнения у' = х + у'? б) для уравненил у" = х + у'? < а) Так как функция ~(х, у) = х + у непрерывна вместе со своей частной произволной 2 Х = 2У в любой конечной части паоскости хОУ, то, согласно теореме Пикара, через каждую д у точку (хо, уо) проходит единственная интегральная кривая уравнения у' = х+у', т.
е, пересечение графиков двух его решений в этой точке невозможно. б) В силу непрерывности функции 1(х, у) = х + у и ее частных производных ча-. = 2у, 2 дг дг г — т = О, через каждую точку (хо, уа, уо) проходит единственная интегральная кривая. Последнее, ду однако, не исключает того, что через точку (хо, уо) проходят две различные интегральные кривые с различными угловыми коэффициентами касательных к ним, т.е. пересечение графиков двух решений в некоторой точке (хо, у,) возможно.
Этот факт можно установить и непосредственно, дважды проинтегрировав данное уравнение и приняв во внимание, что у(хо) = уо. Тогда получим 3 2 з хох хо l 2 У(х) + уах -Ь Уо Уоха + + (х С)у (С) дС. б 2 3 оо Очевидно, что любая кривая у(х) проходит через точку (ха, уа), однако кажлая из них имеет в этой точке "свою" кнсательную с угловым коэффициентом уа. М М Воспользуемся утверждениями п.8.4. В случае а) имеем ?(х, у, у') = гйу+ Кх. Функция Г' и ее частные производные -д- — — — т —, —, —— О непрерывны при у и' Т + йя, й Е К, ! дг я У сао у' ду полому в достаточно малой окрестности каждой точки (хо, уо, уо), где уа ~ Т + ля, существует х единственная интегрыьная кривая, проходящая через эту точку.
б) Функция С (х, у, у') = — -Д- и ее частные производные уа- = - — -1-+ 2 — ~; — ~, —,. — — О дг ?~уй+П д,. непрерывны при х Ф -1 и у > О. Следовательно, через каждую точку (ха, уо, уао), где хо ф ! и уа > О, проходит елинстаенная интегральная кривы. в) Поскольку функция С(х, у, у', у') = — ! у" — тУУ вЂ” х) вместе с частными производными у~ = --т(у — ьГУ' — х), ~ = — - о, — ~ = — непдепывна цпи У» О и У ~ х, то через каждую точку (хо уо, уо, уа'), где уа Ф О и уаг Ф хо, прохолит единственная интегральная кривая уравнения я 8. Сущеепюввяие и едяиствеииееп, решения 93 208. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости лОу касаться друг друга в некоторой точке (яо, уо) а) для уравнения у' = я+ уз? 6) для уравнения у ' = я + уз? в) для уравнения уо' = х+ ут? м а) касание двух различных интегральных кривь1х в точке (ло, уо) невозможно в силу теоремы существования н единственности (см.
пример 207, а)). 6) Касание двух различных интегральных кривых означает, что через точку (ао, уо, у„') проходят две интегральные кривые уравнения уо = я+у~. Последнее же невозможно в силу теоремы сущеспювания и единственности решения. (см. пример 207, 6)). в) Теорема единственности решения гарантирует существование в окрестности каждой точки (ео, уо, уо, у~~) единственной интегральной кривой уравнения ум = а+ у . Она гарантирует также существование единственного решения и в окрестности точки (ао, уо, уо, уо',). Следовательно, графики двух решений, проходящих через указанные точки, имеют общую касательную.
м 209. сколько существует решений уравнения уье = я+ уз, удовлетворяющих одновременно лвум условиям: у(0) = 1, у'(О) = 2? Рассмотреть отдельно случаи и = 1, 2, 3. < При и = 1 имеем у'(0) = (а+ у )), о — — у (0) = 1 оо 2. Следовательно, если и = 1, то уравнение не имеет ни одного решения с указанными начальными условиями. Так как функция 7(х, у, у') = а+ у' непрерывна вместе со своими частными производными = 2у, т = 0 в окрестности точки (О, 1, 2), то согласно теореме существования (см. п. 8.4) зад дг ' ду лача уо = а+у, у(0) = 1, у'(0) = 2 имеет единственное решение в достаточно малой окрестности точки (О, 1, 2). В силу теоремы единственности (см.
п.8.4) зааача уо' = а + у~, у(0) = 1, у'(0) = 2, у"(О)— произвольное, имеет единственное решение в окрестности точки (О, 1, 2, у"(0)). Следовательно, в достаточно малой окрестности точки (О, 1, 2) имеется однопараметрическое множество решений задачи уо' = я+у~, у(0) = 1, у'(0) = 2.
М 210. Сколько решений уравнения уа' = 7'(а, у) (7 и Х непрерывны на всей плоскооу сти аОу) проходит через точку (ао, уо) по заданному направлению, образующему угол а Ф ч с осью Оа? Рассмотреть случаи и = 1, и = 2 и и > 3. м пусть и = 1. Тогда задача у' = 7(х, у), у(ао) = уо в силу непрерывности функций / и 8гь.- имеет единственное решение в допаточно малой окрестности точки (ао,уо).
Если к тому дг же у'(ео) = 18 а, т, е. 18 а = У(ао, уо), то поставленная задача имеет единственное решение. если же 18а ~ У(а„ро), то зта задача Решений не имеет. Пусть и = 2. Тогда зааача у' = )'(а,у), у(ао) = уо, у'(хо) = 18а, в силу непрерывности функций 7, то, 2уг = О, имеет единственное решение в достаточно малой окрестности точки У' ду (ао~ Уо,18 а).
Наконец, если и > 3, то задача уа! = /(а, у), у(хо) = уо, у'(яо) = 18 а имеет бесчисленное множество решений вследствие того, что задача у!"! = 1(а, У), У(ло) = Уо. У (ао) = 18 а У (ао) = = У1, ..., Уа '1(хо) = Уоа о! имеет единственное Решение в достаточно малой окРестности точки (хо, Уо,ггка, Уо, ..., Уоа !1). ДР)тими словами, в силУ пРоизвольности чисел Уо, У8',, У~ ! задача у" = 7(я, у), у(яо) = уо, у'(хо) = 18 а (п > 3) имеет (и — 2)-параметрическое множество решений.
Последний вывод можно отнести и к предыдущему примеру ддя случая и > 3. м 211. При каких и уравнение у'ю = 7(я, у) (7 и В~~ непрерывны на всей плоскости яОу) дг может иметь среди своих решений две функции: у! = х и уз — — х + х'? М В точке (О, 0~ имеем о(~(0) = уз(0), у((О) = уз(О), у1(0) = у~з'(0), у~"(0) = узо(0), у~~(0) = О, уз" (0) = 24, т.е. у, '(0) оо уз (0). Видим, что я не может быть равно единице, поскольку через точку (О, О) проходит шм различных решения, а теорема единственности (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
