А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 25
Текст из файла (страница 25)
~ Записав уравнение ввиде Р(х, у, у ) = О, где Р(х, у, у ) = 4у'-4уз — (1!х ) у' и исключив у' из системы уравнений 105 Ф Р. Особые ранения Првмечавве. Решение у = Р(х) называется иэогировоннмм, если в некопзрой его окрестности ие проходят другие интегральные кривые. з Полагал в (1) у = 1+ с(х), тле 0 < г(х) < 1, н пренебрегая функцией гз(х), можем юпнсвзь е(х)м 2(г(х)) (2) хЛ+*'' Приближенное уравнение (2) имеет решение г(х) = О, которое, квк следует из примера 224, есть особое. А тогла зьти уравнения (1) решение у = 1 также будет особым. 234. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнения. а) у = Сх' — С', б) ху = Су — С'1 в) у = С'(х — С)'. < а) Так как функция Ф(х, у, С) = у — Схз + С' непрерывно дифференцируема, то согласно п.
9.2 дискриминантная кривая семейства интегральных кривых у — Сх + С = 0 удовлетворяет з 2 систелге уравнений дФ вЂ” = — х 42С= О Ф= у — Сх +С =О, з 2 2 дС дф Ф = ху — Су+ С = О, — щ -у+ 2С = О, з ДС откуда С = $ и у — 4ху = 0 — дискриминантная кривая, распапаюзцвяся на две: у = 4х 2 н у = О. На первой кривой ( ~ — ) + (-д„-) = 17х' ~ О, на второй — (д — ) + (.д — ) = х' ~ О.
Так как кривая у = 4х ни при каком С не принадлежит семейству Ф(х, у, С) = О, то согласно п. 9.2 она является особым решением соответствующего дифференциального уравнения. Вторая кривая у = 0 (х ~ 0) принадлежит указанному семейству, поэтому вопрос о том, является ли она особым решением, остается о~крытым. Для решения вопроса предсщвляем кривые семейства при х Р' С ввиде С' С— (1) Поскольку у'(х,) зс 0 при С ~ О, то кривые семейства (1) не касаются кривой у = 0 (х Ф 0), значит, последняя по определению не является особым решением. в) Искаючан параметр С из уравнений дФ вЂ” = 2С(х — С)(2С вЂ” х) = О, дС Ф(х, у, С) еа у — С'(х — С)' = О, получаем две ветви дискриминантной кривой 4 у= — и у=О.
16 Поскольку первая ветвь данному семейству не принадлежит и на ней то она яввясщя огибающей. Вторая ветвь принадлежит семейству, поэтому несмотря на то, что -д — — — 1 зе О, нельзя утверждать, что она также будет огибающей. дФ у 4 из которой путем исключения параметра С следует, по у = -4-. Получили явное выражение для дискримннантной кривой. Всилутого, что -д — — — — 2Сх = — х, -уй-. = 1, (~--) Ф !.д — ) = 1+х ~ 0 надискрими- ДФ з ДФ ДФ з ГДФ з нантной кривой, и кривая у = -4- данному семейству не принадлежит, то последняя ящшется 4 огибающей, т.
е. у = -4- — особое решение соответствующего дифференциального уравнения. б) Аналогично предыдущему имеем Гл. 1. Диффевенцяюитые уравнения нераого порядка 106 Проверим условия касания кривой у = 0 к остальным кривым семейспи. Пуси хь — произвольная абсцисса. Тогда нз условия касания следует, что должнм выполняться рааенспт у'(хь) = 2Сз(хь — С) = 0 у(хь) = С (хь С) = 0 С ~ О. Легко видеть, что они выполняапся при С = хь.
Следовательно, через каждую точку (хь, 0) проходит по меньшей мере две кривые: у = 0 и у = хь(х — хь), имеющие в ней обшую касательную, з 3 поэтому кривая у = 0 является огибающей. т 5 10. Задачи иа траектории 10.1. Изогоняльвые в ортоговжэьвые трвекторвв. Р(х> у>--') = О (2) есть уравнение ортогональных траекторий. Проинтегрировав затем уравнение (1) нли уравнение (2), получим семейство изогональных нли семейство ортогонавьных траекторий. Если имеем семейство кривых Ф(р, В, С) = О, заданное в полярной системе координат р, В, и Р(р В, р') = 0 — дифференциальное уравнение этого семейства, то изогональные траектории ((ь Х Т) можем найти, проинтегрировав уравнение Р(р,в, Р(в-'+ "Ф) = о. (3) Для отыскания ортогональных траекторий следует проинтегрировать уравнение Р(р,в,-р ) =о.
(4) 10.2,. Эволюта в эвольвевта. Геометрическое место центров кривизны, отвечаюших возмохагым точкам некоторой кривой Г, называется эаалттай К этой кривой. Кривая Г по отношению к своей эвалюте К называется эьальллнтай. Основное свойство, связмваюшее кривые К и Г, состоит в там, что касательная к эволюте являетсл одновременно нормалью к эвольвенте. Таким образом, если известна эвалкпа, то семейство эвольвент можно найти, рассматривая их как ортогональные траектории семейства касательных к данной эволнне.
Пусть 1 = 1(1), О = О(1) — параметрические уравнения эвопоты, Тогда, использовав указанное выше свойство, параметрические уравнения семейства эвольвент х = х(1, С), у = у(1, С) можно определить из системы дифференциальнмх уравнений 1 >(х г)г л > Оизи й > (5) У = И+ (х - ОО'. Расшив первое уравнеггие этой системы н подсшвив найяеннае х во второе уравнение, получим парвмагряческие ураянения эвальвенты.
Линии, пересекаюшне все кривые данною семейства плоских кривых под одним и тем же углом у>, назывюотся изагаиальиыии траектартиии этого семейства. В частности, если у> = ~Т, то нзагоналы>ые траектории называются артагаилльиыии. Для отыскания изогональиых траекторий семейства кривых Ф(х, у, С) = 0 следует сначала составить дифференциальное уравнение ухазанного семейства. Пусть г (х, у, у') = 0 — дифференциальное уравнение данного семейства.
Тогда уравнение Г(х, у, .У-.= †„-,) = О, (1) где гп = гй у> (ь> ~ Т ), является дифференциальным уравнением нзогональных траекторий, а урав- нение !07 $10. Задачи ва траеатории Найти ортогональные траектории семейств линий. 233. у =.*.. < Согласно п.10.1, сначала составляем дифференциальное уравнение данного семейства Ф(х, у, а) = у — ах'. Имеем ОФ Ф(х,у,а)=0, — =у — аах» =О.
Отсюда путем исключения параметра а находим нужное уравнение ху — ау = О. Заменив в последнем уравнении у' на — — „получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий 1 у х — + ау= О. (1) Общий интеграл уравнения (1) имеет внд х +ау =С. Таким сбраюм, если а ( О, то семейство гипербол оргогонально другому семейству гипербол; если а > О, то семейство парабол ортогонально семейству эллипсов; наконец, если а = О, то семейство горизонтальных прямых ортогонально семейству вертикальных прямых.
~в 236. (2а — х)у = х . М Исключая параметр а из системы (2а — х)у — х =О, — у +2(2а — х)уу — Зх =О, получаем дифференциальное уравнение данного семейства: 2У'х — Зх у — у = О. з з з Ему соответствуют дифференциальное уравнение ортогональных траекторий 2х +(Зх у+у )у' = О. Последнее уравнение однородное. Решая его известным способом, находим общий интеграл: Зц+ цз г ах У г(ц+ / — = 1пС, где ц = —, ц»+Зцз+2,/ х х (хз + уз)з = С(2хз Ф уз).
ы 237. х'+ у' = 2ах. М Аналогично проделанному выше, имеем х + у — 2ах = О, 2х+ 2уу' — 2а = О, откуда 2хуу + х — у = О. После замены в последнем уравнении у на — ут получим дифференз з з ! 1 циальное уравнение ортогональных траекторий (уз — х )у'+ 2ху = О. Это однородное уравнение. Полагая у = хц(х), имеем з(х ц — 1 з — + г(ц = О. цз+ц Общий интеграл зтого уравнения имеет вид х(из+1) =Сц, или х +уз =Су. ~ 238.
у' — 2р(х — а) = О. м Искюочение параметра а нз уравнений У вЂ” 2р(х — а) О, 2уу' — 2р = 0 1ОВ Гл. 1. Двфференциальвме уравнения первого порядка с одновременной заменой у на — -т приводит к дифференциальному уравнению ортогональных 1 у траекторий у+ру'=О. Интегрируя его, находим у=Се У.
Таким обраюм, исходное семейство парабол ортогонально семейству экспонент. м Найти семейства изогональн ых траекторий линий. 239. х — у = х + а ~зг = 4) . я Дифференциальное уравнение данных линий имеет вид ! — у' — 2х = О. Отсюда, используя уравнение (1), п. 10.1, (т = 1), получаем дифференциальное уравненце изогональных траекторий у' — 1 1 — — — 2х= О, или 1 — х — ху =О. у 41 Интегрируя последнее уравнение, находим требуемые траектории у = 1и Сх — х. > 240. х + у' = 2ах (уг = Ц. и Заьгеняя в дифференциальном уравнении х' — у'+ 2хуу' = 0 данного семейства производг ную у на Уг — -, согласно (1), и.
10.1, получаем у г1' У (х' — у~+ 2ху) д х — у' — 2ху = О. Интегрируя зто однородное дифференциальное уравнение, находим 1 — 2 где откуда х +у =С(х — у).1ь 241. х' д у' = а' ((з = а). М Если в дифференциальном уравнении данного семейства х + уу' = О вместо у' подставить г -У вЂ” тв — (а Ф ~т), то получилг лифференциальное уравнение нзогонадьных траекторий 1+у Гаа ут — х у =, т = гва.
хга -ь у ' Перейдя к полярным координатам х = рсоа д, у = р яп д, получим уравнение р' д глр = О, откуда р = Се 242. р = а(1 + соз д) ~(е = Я . я Исключив параметр а из уравнений р = — аяпд, р=а(1+совр), получим дифференциальное уравнение данного семейства: ряпд+(1+саад)р = О. Отсюда, согласно (4), и. 10.1, находим дифз$еренциальное уравнение оргогональных траекгорий р'япд — (1+сова)р = О, которое можно записать в виде 1+ созд р' япд р й 1О.
Задачи иа траектории 109 Проинтегрировав полученное уравнение, находим искомое семейство г В р= Сягп —, илн в = С(1 — сояв). ~ 2' 243. р'т)пгвв+с ((с= Я). ~ Заменив в дифференциальном уравнении семейства 1 'п 2В производную р' на — ст, согласно (4), и. 10.1, имеем дифференциальное уравнение ортогональных Р к данному семейству траекторий р' ч- р' я(п 2В = О. Разделяя в нем переменные и интегрируя, находим требуемые траектории: 2 Р С вЂ” соя 2В 2 244. р'= — (о =а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
