А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 29
Текст из файла (страница 29)
< Замена у" = з(х) приводит к линейному уравнению первого порядка х з'+2х а — 1=0, 4 3 обшее решение которого имеет внд з = -т + — у. Следовательно, ! х х С, откуда двукратным интегрированием находим 1 у = — — С, 1п!х!+ С х+Сз. м 2х 277. у" +2уу" = О. М Уравнение не содержит явно переменную х, ноэтому в соответствии с п.2.2 полагаем у'=р(у). Тогда у" = р~ и уравнение запишется в виде йа Рв р +2ур — =О. "р г(у Отсюда находим р = О и р+ 2уйй = О. Из первого из двух последних уравнений получаем у = С, и у ,3 С а из второго имеем р = г, или у = — г, откуда у' = ~~( —, или хс! — д ~ — ) = з(х (Сз й О). Гс, ( у г' у 'з ')/С, (,С,) Интегрируя, находим 2С! Ру!з у Зх ЗСз'г 9 3 ~ — 1 — ) =я+С„или у =С!( — + — ) = — (х+С,) .
З (СУ' з, 2Сз 2Сз,) 4С! Окончательно имеем у = С,(х + С,), у = С, з 2 где Сз — новая произвольная постоянная. м 278. уу" = у" — у". м Как и в предыдущем примере, полагаем у' = р(у). Тогда у" = РЯ и у пр з з УР =Р Р йу Полученное уравнение распадается на два: '(Р Р=О и у — =р — р. Из первого уравнения следует, что у=С, и из второго — что у С!+ у Интегрируя последнее уравнение, имеем х = С, 1п ~у(+ у+ С .
° Гл. 2. Ди$$ерелиивививе уравнения высших порядков 126 279. ув+у~ = 2е ". М Согласно п. 2.2, после замены у' = р(у) получаем 1 бз р — + р = 2е ", или — — + з = 2е ", бу ' 2 ау где з = р'. Последнее уравнение линейное и его общее решение имеет вид в=Се "+4е ". Подставив сюда з = у, получаем уравнение у =Сге "+4е ", или у =х Сзе 2" +4е ", интегрируя которое, находим бу * =х+Сг, 1 или ж — ззгСз + 4ет = х+ Сг, 2 у =!п(С, +(х+ Сг) ), где С, — новая постоянная. 2ЗО. у'-М-'1=0. М Уравнение не содержит х, поэтому полагаем у' = р(у). Тогда ув=р —, у'в=р(р' +ррв) и р'р' — 2р'(р' -1-ррв)+1=0. бу' Отсюда следует, что г(и 1 р =и —, и +2рии' — — =О, или гзр р2 где и = иг.
Общее решение последнего уравнения имеет вид: с, ,2 Сз 1 г Р Р Р Р 1 ю+РФ р2 откуда /с, Р = х р Интегрируя уравнение (!), получаем Р г(Р 2 г —— =у+С„или х —,згСр — ЦС,Р+2) = у+Сг. / ГСР-1 зс2(( Воспользовавшись соотношением 2(х = и уравнением (1), имеем Дн Р бр бх = ж ,УС,Р-1' откуда интегрированием находим 2 г —— е = ш — з/Сзр — ! + Сз. = с)( Наконец, исюночив параметр р из выражений для х и у, окончательно будем иметь: !2(С У вЂ” х) = С (х — Сз) — 12(Сз+ Сгсг), или 12(С У вЂ” х) = С (и+ Сг) +Сз, где Сг и Сз — новые произвольные постоянные. (ь Првиечваае. данное уравнение не содержит явно переменной у, поэтому начать решать его нощно было бы с замены у' = з(х). Предавшем читателю убелитьсв в том, что такой лугь также лрншмит к полученному ответу., ,г в ! р +2рр — — =О.
,г Так как полученное уравнение явно не содержит аргумента у, то производим замену р' = и(р). Имеем д 2. Уравнения, допускающие иавюкеиае нарядив ! 281. уу" +у~ = Л+ху Ы Замечая, что левую часть уравнения можно записать в виде (уу')' и полыая уу' = х(х), иолучим уравнение 127 тг1+ ху переменные в котором разделяются. Проинтегрировав его, находим; х = С, (х+ гх'+ 1) .
уу' = С, (х+ ь'Р+ !), Таким образом, опсуда следует, что уз = С (хз + хъ/хз + ! + !и (х + ъ/хз+ 1)) + Сг. ы 282. 'уух — 2 'у' + уу'+ у' = О. М Поскольку функция Р(х, у, у, у) = ' уух — 2х у +худ +у хи +и+ х= О, из котоРого следУет, что н = -2 + — хь. Отсюда, и из подстановки У' = Ух, пслУчаем УРавнение х С у' С, +х' у х(С, — хз) где С! — новая постоянная. Проинтегрировав его, окончательно находим С,х у= С! — хз 283. хуу" — ху' — уу'+ У, = О. М Это такхге однородное уравнение. После замены у' = ух(х) получим уравнение ххз хх — х+ =О, з/1 — х' которое можно зависать в виде х — = -У1 — х'+С Интегрируя уравнение х или у х С! — Л вЂ” х ' вследствие тождества х(у(ул — 2х'(гу)'+ х(у(У + (1 у)' = Г' ( г уу™ — 2х'у' + хуу'+ у') однородная относительно переменных у, у', у", то данное дифференциальное уравнение однородное.
Следовательно, согласно п.2.3 порядок такого уравнения можно понизить, применив подстановку у' = ух(х). Тогда получим уравнение х х' — х х +хе+1=0. Это уравнение Эйлера — Рикхати. Неносредственной проверкой можно убедиться, по х =— 1 есть его часпюе решение. Поэтому посредством нодстановки х = — -ь — „приходим к линейному 1 1 уравнению Гл. 2. Двффереяцвальиые ураввевил высшик иорядков 128 окончательно имеем (п)у) = А — аз+ С31п~С3 — ь31 — аз~+С,.
~ 284. хуу'+ худ — зуу' = О. и Полагая в уравнении у' = уз(х), получаем: х(22 4 з') — Зз = О. 2 Решив зто дифференциальное уравнение, имеем х = — 2 —. Далее, интегрируя уравнение х +С3 У3 2хз *+с,' находим: У = С2 ФС3+ х4!. ~ 285. У(ху" +у') = ху' (1 — х). м используя однородность уравнения, полагаем у' = уг(х). тогда получим (хз)'4-(хз)' = О, откуда (хз)' — = -1. (хз)2 ИнтегРиРУЯ, находим ху = х 4 С„откУда з = -(- + С-), илн у х(х+ С3) Интегрируя еще раз, окончательно имеем 3 1 4хуу — (х+1 ы((4хуу — х+у).
Очевидно, что такое тождество выполняется лишь при условии 4яг = 2, т.е. при гл = 2 (и при 1 этом а = 2). Следовательно, данное уравнение обобщенно однородное и, согласно п.2.4, лля ! начала его и1пегрирования пользуемся заменой х = е, у = е 3 и(1). Имеем ет (ур+ и'(1)), ги =е 1( — +и), ег (,2 е — (е 2 (и ьи)) =е 2 (и — — ), 4'У у Подставив значения производных, х и у в исходное уравнение, после некоторых преобраюваний получаем: 4и'и" = 1. Последнее уравнение явно не содержит переменную 1, поэтому посредством замены и' = р(и) понижаем его порядок на единицу: 3йР 4ри — = 1. йи 286.
4хзузуь = хз — У4 м Проверим уравнение на обобщенную однородносп . С этой целью вместо переменных Х, у, у'. у" ПОдСтаВИМ В ВЫрЮКЕНИЕ дпя фуНКцИИ р(Х, у, у', у") = 4Х'узуь — Х'+ у' СООтастетасино (х, 1 у, 1 'у', 1 зу" и, если это возможно, подберем значение лз таким образом, чтобы выполнялось тождество 129 82. Уравнения, довускшшцве иовиагевве порядка Проинтегрировав последнее уравнение, находим // ! нли р = ш/„7С, — —.
4иг ! 4р + — =С2, и2 Далее, интшрируем уравнение и' = ш)/С, — — т .' / !, 4н ш — )/'4С2и — ! =!+ С, 2С, и 7(и +2 / =1+ Сг, или ./ ь/4С~ нг — ! откуда и = Сг(/+ Сг) + —. 7 2 С/ Окончательно получаем решение уравнения в виде Х = Е, У = е ~с/(1 + Сг) 4- †// . !н 2 Г / 2 4С~ ! Замена и' = г в последнем уравнении приводит к уравнению с разделяющимися переменными Зг' = г' — Зг, интегрируя которое, находим г — 3/ 3 1п~~ ~=/+Си нли х= =и. 1 — С,е' Интегрирование последнего уравнения приводит к следу/Ощсму рЕЗУльтатУ: 4(е ) ) 3! — 31п)1 — С2е'!+ Сг, если С2 конечное, /' е'(1 — С~ег) ! Сь если С, = оо. Таким образом, общее решение исходного уравнения записывается в виде п-с,*! Зх 1п — * 4- Сгх, если С7 конечное, С,х, если Сг — — ос.
в Прнгшчинш. В примерах 286, 287 мы нашли общие решения при х > О. Дхя получения общего решешш прн х < О следует применить гамену х — -ег, у — е гн(г) н нроаеегн аналогичные ныкеадкн. 288. хе(ун 2уугг) = 4х'уу'+ 1. м Проверяя уравнение на обобщенную однородность, получаем уравнения 4-!- 2(т — 1) = 4+ гн+ (т — 2) = 3+ нь+ (т — 1) = О, совместные, эквивалентные одному уравнению 2пг+ 2 = О.
Следовательно; уравнение обобщенно однородное. Решаем его для случая, когда х ( О, полагая х = — е', у = е 'и(!). Имеем у' = е н(и — и'), у" = е ' (2и — Зи'+ иа), 2ииа — и' — иг -'г 1 = О. Полаган и' = р(и), получим уравнение 77(Р) г г или и — — р =и — 1. 7(и 2ир — -р — и +1 = О, г/Р 2 2 би 287. — +у' =зхуч+ —. 2 х2 х м Как и в предыдущем примере, проверяем уравнение на обобщенную однородность. Для этого должны быль совместными следующие уравнения опюсительно т; 2нг — 2 = 2(т — 1) = 1 + (т — 2) = т + (гп — 1) — 1, эквиналентные одному уравнению 2нг — 2 = т — 1, имеющему решение т = 1. Следовательно, данное уравнение действительно обобщенно однородное.
полагая х = е', у = е и(г), получаем: 2 у =и+и, у~ =е (и ч-ие), Зи 4-Зи — и =О. 1ЗО Гл. 2. Дифференциальные уравяеивв высших ворядявв Это линейное уравнение относигельно р'. Его общее решение имеет вна р' = и'+ 1+ С,и. Тогда и' = х н'+ 1+ С~и. Разделяя переменные и интегрируя, находим: йи сн +ч ГГ ~l-'~с, ~(=м+чс.
.*~а,.+ и « =- . =~\ч б преобразования, будем иметь , г 2Сзх у = (Сзх+ — ) — 1. / С~'( (1) 2( Кроме того, при замене и' = р(и) мы потеряли решения и = х1. Поэтому к интегралу (1) следует присоединить еще решения ху = х1.м 289. ху" — х'ру' — у' = О. и Это уравнение также обобщенно однородное, поскольку уравнения 1+ (гн — 2) = 2 + ш+ (яз — 1) = т — 1 совместны и гн = -2 — их решение. Однако, решение данного уравнения проще найти, поделив обе его части на х (х и' О).
В результате получим: = уу, или Отсюда следует, что р = — + — х. Интегрируя это уравнение, находим: 2 р х — -агсгй — = — +С„если С, ) О; ,/С;,/С-, 2 1 р —,/:7,', х' — 1п = — +Сз, если С, <О; ъ/-(ч у + ч'-("~ 2 2 х — — = — +Сн если С, =О. и р 2 Понизив порядок данных уравнений, свести нх к уравнениям первого порядка. з 290. у" -р'ди= И Уравнение не содержит явно функцию р, поэтому произведя подстановку у' = з(х), получим уравнение второго пордлка з з — хзя= Н Это уравнение однородно относительно переменных з, з', х", поэтому паюжив х' = хе(х), будем иметь уравнение первого порядка с+ — =О и х=бчЬ г 1 х 291. р'(р'р'а — 2р" ) = р'. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
