А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 30
Текст из файла (страница 30)
< Поскольку независимая переменная явно не входит в уравнение, то произведя замену р' = р(р) „получим уравнение второго порядка (см. п. 2.2): р'(рря - рд) = р'. 131 й 2. Ураваеиия, допускающие понижение пв)ишка Полелнв обе части полученного уравнения на рзуз (ру ~ 0), имеем — =-з, уд — =- — 2+С и р у р у 292. яз <у'уа' — у' ) = 2У'у' — Зхуу' . М Уравнение ошюродное, поэтому замена у' = уз(я) приводит к уравнению второго порядка (см. п.
2.3): я~(ззз'+ х ) = 2з — Зязз. Так как уравнения 2 -Ь >и + (пз — 1) = 2+ (пз — 2) = и> = 1 + 2н> совместны, то полученное дифференннальное уравнение является обобщенно однородным. Следовательно, уместна замена я = е' (я ) 0), з = е 'в(1), в результате которой приходим к уравнению (см. и.2.4) в' — Звв' — Зв = О. Поскольку последнее уравнение явно не содержит независимой переменной 1, то полагая и' = =. Р(в), получаем уравнения первого порядка йр — — Зи — 3=0 н и =О.м >(н ч» —,-ь — =О, или <1п!у"!) +3<1п$у!) =О. У У Интегрируя, находим (п<)у !(у! ) =!и!С>(> или у'у = С, (отбрасывая знак модуля, мы не теряем решений, поскольку постоянная С, произвольная). Умножнв обе части последнего уравнения на Ут, снова получаем уравнение, обе части которого являу ' ются полными производными: ,»з>,' Проинтегрировав его, имеем 2 — 2 у +С>у =Сз, нли у =~ Сз — С>у з. Еше раз интегрируя, окончательно находим з з 2 ж †>г Сзу' — С> = х + Сз, или у = С,(х + Сз) + С„ Сз~ где С, — новая постоянная.
При делении на у" мы потеряли решение у" = О, т. е. у = ах+ )3. и 294. 5У'"' — зу"у" = о. м Разделив обе части уравнения на у у", получим — = — > или <5)п!у"! — 31п!у' !) = О, 5У™ Зу" > откуда находим » С,т (у )> »5 мз у = С,у , Решил уравнения, преобраював их к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. 293.
Уу"'+ зу'у" = о. М Поделив обе части уравнения на уу", получаем 132 Гл. 2. ДиЩюреипиалввме уравнения вмеших поряюгов Интегрируя это соотношение, получаем х 3, 3 —, =--(У )-3+С„ Ст 3 3 3 2 2 х ) — з У = ~ — Сз — — —, = х(сз + Сзх) ~з з -',) где С, и С, — новые постоянные.
Наконец, дважды интегрируя последнее уравнение, имеем 4 — (Сз + Сзх) 3 + Сзх + Со С2 Присоединим сюда еше решение уравнения У" = О, потерянное при делении: у= С,х'+С,х+С,. м 295. У" = ху'+ у+ 1. и Имеем ух = (ху+ х), откуда следует, что у =ху+х+Сз, или (у+1)'=х(У+1)+С,. Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид У+ ! = е 3 1 Сз / е ау 3(х + Сз 296. ху" — у' = *'уу'. м Поделив обе части уравнения на х', имеем Ю =Ю' откуда У У 2 3(У вЂ” = — + С„ияи = хг(х.
х г " у+гС, Интегрируя, получаем 3(У х 2у 2С ./У+ 3 2 или 2 у х — агой = — +Сз, если Сз > 0; Сз чгХ7 2 !и ~"::=~~а~ = — + Сз, если Сз < 0; 3/ — Йсз ~у+ ъ' — %3 ~ 2 2 х — — = — +Сз, если С, =О. у 2 При разделении переменных мы "потеряли" решения уравнения у + 2С3 — — 0 (С, < 0), или у = хчг:2С,.
Нетрудно, однако, показать, что они получаются в результате предельного перехода при Сз — тоо из общего решения при С, < О. 3ь. В слеаующих задачах найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям. 297. Уу" = 2ху'; у(2) = 2, у'(2) = Озб. м Поскольку уравнение однородное, то полагая у' = ух(х), получим х' = хз(2х — 1). й 2. Уравнения, лоиусваююие ионижеиие иорялва 1ЗЗ Интегрируя, находим у' С Чх- ' у' следует, что Сз — — 6.
Интегрируя уравнение (1), получим з(х (х + 2)(3 — х Подставив сюда х = 2 и у = 2, определим С, = ~/8. Искомое решение Из начальных условий откуда у = Сз~Щ уравнения имеет вид 2+х у= 1,(8 3 — х з 298.. 'уе — з у' = У вЂ” 4у; у(П = 1, у'(П вЂ” 4 .з < Это обобщенно однородное уравнение и ш = 2, поэтому производим замену х = е', у = е'зи(П. Получаем уравнение вл — би' = О. Умножая обе его части на и' и интегрируя, имеем и =4и +Сз. з (1) Так как у = 1 при х = 1, то из формул замены следует, что и(0) = 1. В силу топз, что у' = = е'(и'+ 2и) и у'(1) = 4, находим и'(0)+ 2и(0) = 4, откуда и'(0) = 2.
Полагая в (1) ! = 0 и используя значения и(0), и'(0), определяем С, = О. Осталось проинтегрировать уравнение з и =4и. з з Имеем и'= х2иг, *и з з(и = 2г(1, — =!+С,, или ~си х' ()п* — !)' 299. уесгиу+у' япу= у'; у( — 1) = —, у(-1) = 2. м Полагая у' = р(у), получаем уравнение р сову+ рялу = 1, общее решение которого имеет виш р = яп у+ Сз соку, или у' = в!и у+ С, сову. (1) Для определения постоянной Сз воспользуемся условием, что у'( — 1) = 2 при у = ~~. Находим С, = з/3. Далее, интегрируя уравнение (!), получаем ! Г г(у -/', =а+С„или -1п~гвЯ+~)~=х+С,. 2,/ сги(у — $) ' 2 Подставив сюда значения х = — 1, у = ~~, находим С, = ! .
Требуемое частное решение выражается формулой *= -!+-,)" (188+ $)). и 1 пввиеч*ззве. зие«1 ° 1 здесь отброшен в силу условия у'(-1) = 2 > о. 1 и= (С+ Сз)' Для определения постоянной Сз воспользуемся условием и(0) = 1, в результате чего находим С, = ~1. Итак, и = — т, однако, в силу условия и (0) = 2, берем только решение и = — т. 1 з 1 (1*1) (1 — 1) Окончательно можем записать Гл, 2. Диффереипналъвые уравиепия высших порвдков 134 3 1 (1 + у' ) ' = й!у" ~(1+ уп) ', или йуе = 1+ у", 1+ у" й' (агс)уу) = —.
й Интегрируя последнее уравнение, находим агсгду'= — +Сп или у'=гйЯ+С~). й Проинтегрировав еще раз, окончательно получим у= -й)п(сокЯ+С))+ Сз. М 301. Доказать, что уравнение движения маятника у" +яп у = О имеет частное решение у(х), стремящееся к а при х +со. < Умножив обе части уравнения на у' и проинтегрировав полученное, будем иметь у' = 2С1+ 2соку. (1) Выберем частное решение так, чтобы у'(х) — О при х — +оо. В силу того, что у(х) — я при х — +со, из (1) следует, что С, = 1.
Интегрируя теперь уравнение = 2(сок у + 1), получаем ду = х+ Сз. з(!~~с Очевидно, что соотношение 1 п( = х+ 1пС, (О ( у ( к) (2) 2 сок 2 также есть частное решение данного уравнения. Выполнив интегрирование в левой части (2), находим 1п (1$ '4 (3 + у)) — х + !и С21 или у = асс(О(Сзс*) — зг, где Сз > О. Очевидно, что у(х) — а при х — +со.
М (3) замечение. Решение (3) описыееет физический процесс веокоисчмо долгого пскъеме мешметическош маятника е аюе наивысшее положение (лри этом перемеииаа х игРает роль времени, а переменная у— роль угла поворота). 301. Определить форму равновесия нерасгюкимой нити с закрепленными концами, на ко- торую действует нагрузка так, что на кюкдую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь.
< рассмотрим равновесие произвольного элемента нити длиной ззЯ (рис. 25). Проектируя силы, действующие иа выделенный элемент, на оси Ох, Оу, получаем уравнения -Т(х) сока(х)+ Т(х+ 1зх)соко(х+ тьх) = О, — Т(х) 5)п а(х) + Т(х + (ах) яп а(х + Ьх) — 1ХР = О, где Т(х) — величина натяжения нити в сечении х, а(х) — угол между касательной к нити и осью Ох, ЬР— вес элемента тзЯ (или величина какой-либо распределенной нагрузки). 300.
Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. м Согласно условию задачи имеем уравнение В = —,, где 51 — ралиус кривизны крий аой, а — указанный в задаче угол, й — коэффициент йропорциональносуи. Посколысу )2 = т 1 (14 ' )з Ь! = — 5г —, а = агсгйу', то написанное выше уравнение можно записать в виде б 3. Линейные дифференциальные ураввевиа с паенмввыми козффощиевтами 135 Из первого уравнения слелует, что Т(х)соо а(х) = То = сапог, т.е.
гориюнтальная составляющая натяжения нити всегда имеет постоянную величину. Из второго уравнения находим, что д(Т(х) з(п а(х)) = дР(х), или То д(гаа(х)) = дР(х), То «(у' = дР(х). (1) В данной задаче «!Р(х) = 1«дх, где й — коэффициент пропорциональности. Тогда из (1) следует уравнение То ду' = й дх, дважды интегрируя которое, получаем форму нити й у= — х +Се+С.ы 2То 303. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием се веса.
< Пользуясь уравнением (1) из предыдущей зздачи н принимая ео внимание соотношение дР(х) = Рдда, где рд — вес единицы длины нити, дд = у 1+у' дх, получаем дифференциальное уравнение Г г формы этой нити: ° Г 2 У 2 2 Рд Тоу =Ругу)ту', или =а, а ч«1+ у" Так как у + у~1+у« = е откуда 1 2 ' о «о+С«г -а «*ос«2) 2 2 Проинтегрировав еще раз, получим (ео «о+с«г 1 е-о «о+с«21 + С нли у с)2(агх 1 С ) 1 С 2аг ' а2 5 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1. Линейное диффереввиагоьвое уравнение ть-го порядка с востоавиымВ коэффнщбеигаьщ. Хараигериспоческое уравнение. Общее решеиве. Дифференциальное уравнение вида аоу + а«у" + ... + а„«у + а„у = у(х), (1) где аг = сапог (о = О, и), у — известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением и-оа нарядна с «нктаянннми коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
