А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Остается рассмотреть случай, когда а > 0 и Ь > 0 одновременно. Если 0 < Ь < -4-, то оба корня Лг и Л, отрицательны, поэтому у -+ 0 при х — +со. Если Ь > -4-, то корни Лг, Л, комплексно сопряженные и имеют отрицательную действительную часш, поэтому у — 0 при х — » +ос. Э» 338. Прн каких действительных а и Ь кахшое решение уравнения ух+ ау'+Ьу = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? м Исходим из представления решений (1) и (2) уравнения из примера 336. Ясно, что формула (1) не определяет колеблющихся решений, которые при некотором а обращались бы в нуль на бесконечном множестве точек х.
рассмотрим решения (2). Если Л, и Лг — действительные корни, то, как известно, сумма двух экспоненцнальных срункций может обратиться в нуль только в конечном числе точек х. Пусть !48 Гл. 2. Диффереииивльнме уравиеива высших порядков Л, = — ч + 1~/Ь вЂ” ад-, Л2 = — ~ф — 2)/Ь вЂ” ад-, т.е, 4Ь > ат.
Тогда 2 2 22 ( 2 р= С, соз)(Ь вЂ” ~~-х+ Сзйп)~Ь вЂ” -~- х( е 2* = Асов !1)~Ь вЂ” -4- х — (а е 2*. Как видим, все решения (при произвольных значениях А и х) в атом с22У2ас обращаются в нуль на бесконечном множестве точек (хь), где ~+Ья+ф хь —— (/с Е а.).
м а2 ~(ь-- !пп (у(х)е') = О. Если а = 4Ь, то согласно (1) имеем Ош ((С2+С,, )ен' ") =К Ясно, что это соотношение может выполняться лля произвольных С2 и С2 только прн условии Ке (! — Та) < О, или реп > 2. В случае, когда Л, ~ Л,, условие (1) принимает вид: (С 2л,.~-п* ! С 222+12 ) О которое лля произвольных С, и С, зквивалентно соотношениям 1пп е'~си!* = О и !1гп е'2'"и* = О. (2) а ах Отсюда следует, что последнее возможно лишь в случае, когда одновременно выполняются неравенства Ке(Л! + 1) < О и Ке(Л2+ 1) < О. Если а н Ь вЂ” действителыеые параметры, то последние неравенства можно записать более конкретно.
а2 Пусть Ь < -4-. Тогда Л, н Л2 — действительные корни и если Л, < О, то и Л, < О. Следовательно, имеем два условия: а а (аз Ь< —, --+!+)~ — — Ь<О, 4' 2 2(4 (3) при которых выполняются соотношения (2). Решив совместно неравенства (3), получаем следующее условие выполнения соотношения (1): а а>2, а-1<Ь< —. 4 Пусть Ь > -4-. Тогда Л, 2' = -ч х 2)2Ь вЂ” -4- и соотношении (2) будут выполнены, если — у + 1 < О, или а > 2.
Таким образом, если а и Ь действительные параметры, то указанное в условии задачи соотношение выполняется при а > 2 и Ь > а — 1, т. е. при 2 < а < Ь+ 1. м 340. Для заданного Ь > О подобрать такое а, при котором решение уравнения на+ар'+Ьр = 0 с начальными условиями р(0) = 1, у'(0) = О возможно быстрее стремится к нулю при х — +сю. а2 а Рассмотрим три случая.
Пусть Ь = -4-. Тогда решение задачи имеет вид: р,=(1+ — )е 2 339. При каких а и Ь все решения уравнения уа+ар'+ Ьу = О удовлетворяют соотношению у = о(е ") при х +со? м Мы должны найти такие значения параметроа а и Ь, чтобы при всех значениях С, и С, (произвольных постоянных в решениях (1) иля (2) уравнения нз примера 336) выполнялось условие: 0 3. Линейные диффереащиальные урааиещщ с пастааииыми ааэфг(апгиентами 149 Ясно, что а должно быть положительным, иначе уг не будет стремиться к нулю при х +со.
Следовательно, а = 2чгЬ. Далее, пусть а > 2г/Ь. Тогда задача имеет решение аг ы=)г — — Ь. -1/4 уг = (-Лге"*+ Лге *) — е (2) Наконец, если О < а < 2ъгЬ, то / а а' Уг —— (Х вЂ” э!пыгх+соэыгх) е г, ы, = г((Ь вЂ” —. 'х2ыг \( 4 (3) Осгается сравнить решения (1), (2), (3) при досгаточно больших х > О. Пусть х — ь +со. Тогда для решений (!), (2), (3) соответственно имеем аснмптотические формулы Уг =0(хе * ), У, =0(еы гь*), Уг — — 0(е г ), (4) Так как !но ., = Вш хе *( гг =О нри а<2ьгЬ, то хе '~-ь О быстрее, чем е г . Далее, всилутого, что -*,Гь 1!ш -, = !ап хе *(~~~" г) = 0 при а > 2гГЬ, ( ь), е Рьье.
гб то хе *~ -ь 0 также быстрее, чем е( г)*. Таким образом, из (4) следует, что решение (1), полученное при а = 2ьгЬ, стремится к нулю при х -ь +оо быстрее ссыльных решений. М 341. Найти периодическое решение уравнения у+х+4х = е' ' и на комплексной плоскости С начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении ьи от Ода+со. и Заметим, что обозначения х, х используются в механике и имеют смысл первой и второй производной по времени. Поскольку характеристическое уравнение Л +Л+4 = О имеет корни Л, г = — 2хг-2-, то срез дн решений однородного уравнения нет периодического решения, отличного от тождественного нуля.
Далее, так как гьь и' — х г, то частное решение ищем в виде х = Ае~'. Имеем: ьа и=в 4+ йи — мг 1 А= — — —, 4+ йи — ыг' Отделяя действительную и мнимую части, лля множителя А получаем выражение А= А~+!Аз, 4 — гиг г,=,г,= — .~ц= .ь« (4 — и ) 4 и (4-и ) +ьь (4 мг)гп г ' Исследуя обычным способом функции Аг, А, и !А~ на экстремум, находим: Аг —— Т при 1 гиг = гГ2 и А, ь — — — ч при ыг = гг'6; Агы„щ -0,5 при ыз = !! — к — щ 1,94; (А(„щ 0,51 при ы = г/Зь5. Вычисляя еще Аг(ыг) щ -0,23, Аг(гиг) щ -0,22, А,(ьиг) - 0,1, 1!щ А, = Т, йп А, = О, +О и +ьь 1пп Аг = О, Пщ Аг — — О, полУчаем необходимые данные дла постРоениЯ эскиза гРафика кРивой и +ь и + на пльюкостн С (рис, 26), м.
150 Гл. 2. Длв(гферевциальиме уравнения ааюпик иарилиов 342. дано уравнение ун+ау'+Ьу = у(х), причем (у(х)) < гп ( — со < х < оо), а корни харак- теристического уравнения удовлетворяют неравенству Лл < Л, < О. Найти решение, ограниченное при -оо < х < +со. Показать, что: а) все остальные решения при х — +оо неограниченно приближаются к этому решению; б) если У периодическая функция, то решение также периодическое. «Исходя из общего решения однородного уравнения у = С, е '* + Сле '* и применяя метод вариации произвольных постоянных С, и Сл, для общего решения неоднород- ного уравнения получим выражение ел'* л,* у = С1е '*+ Слеп*+ — 3 (х)е '* да — — у(х)е л* ах.
(1) л — л л,— л Так как несобственные интегралы / ((в)е ' дз, / Г'(з)е ' дз Х -и сходятсл абсолютно в силу оценки / ~У(з)е ""~ дз < пл / е "" дз, то решение (1) можно записать более компактно: л лг лн о Далее, поскольку справедливо неравенство Г елп еллл ~ +г л|л елл гп гл .«.-/" Л~ — Лл Л| — Лл ЛлЛл Ь о о то пз (2) следует, что частное решение данного уравнения, ограниченное при х Е (-сс, +оо), имеет вид л,л л,л у = / У(х — 1) — дт. (3) Л,— Л о Ясно, что С,ели + С,ем* -л О при х — +оо, позтому из (2) вытекает, что все решения стремятся к частному решению (3) при х — +оо.
Наконец, полагая в (3) х+ Т вместо х, где Т вЂ” период функции Г", получаем чы е' — е лл ллл г е — е ллл у(х+т)= ~у(Х+т-1) Ф= / У(х — 1) Ж = у(а). Л,— Л, Л,— Лл 0 О Следовательно, функция у также Т-периодическая.
М % 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами 4.1. Лввейвое дифференциальное уравнение тз-го порядка с верввеивыии иозффвцнеитвмв. Линейно звиисимые Щувицив. Определитель Вроиеипго. Пинейным ди44еренашмьным ураннением и -го нарядна с неременнымн коз44иннентамн называется уравнение вида ат(х)у'ю+ ал(х)ум "+ ..
+ а„,(х)у'+ а„(х)у = 4(х), б4. Лииейяые лиффереишщльиые ууаввешш с перемеииымв казффицвевтамв 151 где Эи, а; (1 = 6, х) — известные функции. Если у,(х) — частное решение уравнения (1) при р и О, то посредспюм замены у = вгз(х), «'(х) = и(х) порядок уравнения (1) при з» н О можно понизить. Функции у; (1 = 1, и) нпываотся линейно эасасимыми на сепаенте [а, Ь], если существуют такие постоянные сп (1 = 1, и), одновременно не равные нулю, что на [а, ь] выполняется тождество а,у(+а)У)+ ... + а»У» Ы О.
(2) Если тождество (2) справедливо лишь при а, = аз = ... = аи = О, то укаэанные Функции называются лилейла лезависимими на сегменте [а, Ь]. Определитель У( Уз У У) Уз Ув (3) )г(х) = )У(ун Уз~ " 1У») = М-1) ( -О (»-1) У) Уз " У» называется алределителем Врсяскага. 4.2. Критерий ляиейцой везависвмости функций. если (и — 1) раэ ш(фференцирусмыс Функции У1, уз, ..., У» линейно зависимы на сегменте (а, Ь], то Щх) ш О на [а, Ь].
Если линейно независимые функции у„у„..., у» являются решениями линейного спнорспного уравнения У +Р)(х)у + ''' +1»(х)у (4) где Р; (3 = 1, и) непрерывные на сегменте [а, ь] функции, то )и'(х) та О на [а, ь]. л Общее решение уравнения (4) при х Е [а, Ы есть линейная комбинация у = г., "С;у;(х) ли(=1 пейна независимых частных решений у; этого уравнения. 4.3. Фуидамевтальвяя система решений. Совокупность и линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения п-го порядка называется его фулдамевгвалы(ой сисмемой. Фунцаментальная сисгема решений вполне определяет линейное однородное уравнение (4).
Такое уравнение имеет виа У) Уз " У у У) Уз Ул У (5) (в-1) (и-1) (и-1) (л-О у) Уз . У» У (») (в) (») (в) 4.4. Формула Остроградского — Лиувилля. Если в (3) у(, уз, ..., У» — фундаментальная система решений уравнения (4), то двя опрелеаителя Вронского справедлива е)орм)иа Оаироградского — Виуаилля »1 1= » 1»1 и)(-'1'»ииа), *и где хв Е [а, Ь], х Е [а, Ь]. 4.5. Общее решение неоднородного линейного двффереицивлыюго уравнения с переменными козффицвеигвмя.
Если известно общее решение однородного уравнения, то общее решение неоднородного пмвнения с непрерывной на [а, Ы правой частью можно найти, применяя метод вариации произвольных постоянных (см. б 3). 152 Гл. 2. Двйиуереиивальиые ураввенвя высших порадков Р (! — х )у — ау+и у=О называется уравнением гуеймгиева. Заменив аргумент х по формуле х = созг, получим уравнение д'у — +ау=О.
д( 4.7. Дифференциальные уравнения второго иорвдка. Среди уравнений высших порядков, часто встречающихся в приложениях, важное место занимают диукйеренциальные уравнения ваорого порядка ун + Р,(х)у' + Рз(х)у = О, (7) где Р, и Р, — непрерывные на (а, Ь) функции. С помощью замены 1 у = ехр ( — — / Р,(х) дх) Я(х) 2./ его можно привести к каноническому виду 42 — + д(х)х = О, (8) дх2 где 1, 1 Х(х) = Рз(х) — — Р1'(х) — — Р, (х).
2 4 При этом считакн, что Р, Е С'(а, Ь). Функция Х называется инвариангпои уравнения (7). Любое уравнение второго порядка Ря(х)у" + Р,(х)у'-> Р,(х)у = 0 (9) с непрерывными на (а, Ь) коэффициентами можно привести к так называемой самосопрязкенной дорис д 7 ду~ — (Р(х) — ) + а(х)у = О д 7' путем почленного умножения уравнения (9) на функцию о, где 4.8. Связь между линейным дифференциальным уравнением второго ворцмга в уравнением Эйлера — Ривжати. Если в (7) положим у' = ук(х), то получим уравнение Эйлера — Риккати 2 — = -х — Р,(х)х — Рз(х). дх Обратно, уравнение Эйлера — Риккати у = Р(х) + (г(х)у + В(х)у (10) (12) с помощью замены и ий(х) можно привести к линейному уравнению второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
