А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Произведя указанную подстановку, имеем ау г '1 У вЂ” = а (()и+ а(1)и, — = а и + 2а и -!- аи, 41 ' 4(г аив + (2а' + аЬ)и' + (ав + а Ь х а) и = О. (1) Следовательно, мы должны положить 2а'+ аЬ = О, откуда находим 1 а = Секр ~ — — / Ь(1) Ф) . Поскольку 41 = Д-,, Ь(1) = -„— ",(т)'(х)), то (2) принимает вид а = Сехр ( — — ) — — (р (х)) ! = Сехр ~ — ) ) = Ср(х) (у)(х) > 0). 2) йх Р'(*)) = Полагая С = 1 и вычисляя требуемые производные, приводим уравнение (!) к виду (2) г и + 1) — х1 и=О, у=у)и.!ь ! з4Ф 4х (3) '(е) = созе ь О Я, из(е) = з(п(+ О (1) В следующих задачах исследовать асимптотическое поведение при х — +со решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля и утверждениями п.
4.10. Звг. у +х У=О. и Принимая во внимание решение предьиущего примера, имеем 1 и(1) р(х) = — (хзе0), у= —, х х ' — + ~1+ — ) и=О, С=)' — =)'х'йх= — (С=О). 4(г (, хв) ' ) фз(х) ш,/ З Осюда х = зУЗ( и дифференциальное уравнение для и(1) примет вна: йзи У 2 ) и(!) — +(1+ — )и=О, у= —, 4(з ~ у(з ) ' з',ГЗ( (1) Далее, поскольку в обозначениях п.4.10 у(1) = йт, то, согласно этому пункту, уравнение (1) имеет решения Гл.
2. Даффереацвальвьзе урааиенвх аысапш нарядное 16б Следовательно, обшее решение уравнения (1) будет и = С, сзмй+ Сз и!п(+О(Т), 1 — +со. 1х Переходя в этом решении от и и ! к у и х, можем написать: з з) у = — Сз соз — + Сз яп — + О ~-т~, х — +со. и х~г 3 у =и(1)Я, — +(1 — — )и=О, 1=) — =) — =2,УХ. 41 ~ 1бх) = =/Рз(х)=/„х- р(х) = ъ/х (х > О), Следовательно, х = — и 44 4 а'и У 3 1 лгеи(1) — +(1 — — )и=о, у1 — — —. 411з 1 44' ) 2 В силу и.
4.10, частные решения последнего уравнения имеют вид: и,(Ф)=сох(+О(Т), из(1)=з!пФ+О(Т), Ф- +со. А тогда обшим решением данного дифференциального уравнения будет 1 у(х) = — з(Сз сш 2з/х+ Сз яп 24Х) -ь О ! -з-1, х — +со. м Х4 З,Х4 / 384. у" +(х'+1)у= О. ° а Применив преобразование Лнувилзш, получим (см. пример 381): ф(х)=(х +1) л, у=о(х)и(й), ин(Г)+ 1-(- и=о Г= (1+ 4)у,(х, (х+1) ) =/ з Так как ! = ) (1+ х ) з 4(х = ) (х + О (-Г) ) 4(х = * — + О ( — ) при х -л +оо, то х = О (1 з ) при 1 -+ всо.
Следовательно, 4 , =О(-т)=О(-т), ! +, А тогда, согласно п. 4.10, можем написать, что и(1) = С1 соа1+ Сз эшли+ О (Т), 1 - +со. Наконец, воэарашаясь к старым переменным х и у, получаем: ('1 11 з з) у(х) = — С, соэ — + Сз яп — + О ! -у 1, * — +со. м х~1 3 Прмаечавве. Слеаует врюепь во внимание, по -( —,+ (у))=- —,+ ~!) Аналогично, Газ 1 хз -~ э "(-*)) -- 3 "(-.) 383. ху" + 2у'+ у = о. < Полагая у = а(х)у,(*), подбираем функцию а так, чтобы в уравнении относительно у, отсутствовала первая производная у',. Тогда получим 1 4 1 а(х) = -, уз + — у, = 0 (х Ф О).
х Теперь воспользуемся примером 381. Имеем в4. Лввейиые дифчмреввиальвме ураавеввя е иеуемеаив|ми козффигимвгаавг 167 385. (ха+!)у"-уш О. м Применив преобразование Лиувилля, получим уравнение ! и (1) — — 1 — и — О, у — (1+х ) п(С), 4 ~ 5(!+х|)) где г 4х г бх 2 ! = / — = / =1П(х+52Г!+х'), х = О(е ), 1 +со. / Чг(х) / Л вЂ” х Полагая т = -3-1, приводим уравнение для функции и к виду: ъ'5 4!|и / 3 — — (!в ) иш О, Гдс Х = О(Е545), т-~+Ос.
5(!+ Хг)) Отсюда, согласно п.4.10, имеем и,(т) = е" 1+0 —, и|(т) = е ' 1+0 2 — 545 1 У=(1+Х)4 С|ЕТ™+С2Е 2 ~ +О =С|я 2 +С|Х 2 +О 2 здесь воспользовались тем, что (1+ х )4 = х2 +О ~ —;~, х -~ +со. ь 5Х! Г Пгммхшаяа. ПЕРВЫЕ даа ЧЛЕНа ПспуЧЕННОГО рЕШЕНИя ЛЕГКО Найтв яа ураапспяя Хгуе — у = О, яепяЮШЕ- юея "грубым'" прнблвженнем данною уравненвя 386. х'уе+ у)п'х = о. М Имея в вняу преобразование Лнувилля, можем написать (см. пример 381): г 3 — !и х'5 4(1п х)4,~ 4)(х) = Ч !'"х~ х у = Ч! — и(!), где Ч |)пх( !п2 х т.е. ! = — 5 — * при х > 1. Так как 3 — )и'х 3 — 32 то непосредственно воспользоваться здесь результатом примера 381 нельзя, однако к уравнению (1) можно применить преобразование Лиувилля.
Тогда получим: 2 !2 24 452(1) ш 3 2 ), п2(!2)+(!+ у(!))и2(22) =О, где з 33(~ 145551~ + М 445 у(!) = 4)2'(1)4)2(1) = 8, ' ', и(Ф) = 822(1)и2(12), 1| — / =~(! — — + 2) 4(|=~(! — — +О(уг)) 41=1 — — )пФ+О(у), Возвращаясь к переменным х и у и принимая во внимание асимптотическое равенство 1 = = О(1п х), х — +со, окончательно получаем 168 Гл, 2. Дигбфереициагванае урюшевия вмсших порядков Поскольку /(С) = О (~) = 0 (-г), С, — +со, то, согласно и.4.10, общее решение последС, него дигрференпиального уравнения представляем в виде: и,(С,) = С,иц(С,)+ Сгигг((г), где иц(С )=сов!, +О -т, игг(С ) =яп(!+О -г, С! -«+со. М/' 1,1«,У ' Далее, принимая во внимание соотношения 1 г 1 1п2 / С, = — 1п х — — 1п1пх+ — +О( — г — ), х — +со, 2 8 16 г!и») ' О® =О® =О(-„' — ), х +о, сов(г —— сов7(х)совС вЂ” яп7(х)япС«япС, =в!п7(х)совС+совт(х)в!пС« где у(т) = ч 1п х — 8 )п)п х, С = !6- + О ( — г — ~, а также то, что !п2 / ! ~! х)' япС = яп — + О ( — г — ), сов С = сов — + О ( — т-), 16 г,!и»)' 16 ~вг х)' рг(С) = 1+0® =1+0® при!, — +со, и включая в произвольные постоянные яп — 6-, сов — 6-, окончательно получим: 1п2 1п2 Р = (УУ (1+0 ( г — )) (С«сов У(х)-1-Сгнп У(х)+О ( г — )) / — С,совр(х)+Сгв1пу(х)+О( — г — ), х«+ос.
М =~( 1пх «, Ь*,))' 387. Применяя преобразование Лиувилля два раза, получить более точное асимптотическое представление решений уравнения р" — 4»~р = О. и Применив указанное преобразование, получаем и (С) — (1 — — х ) и(С) = О, р = — х ги(С), ««3 -4 1 16 ) 'г/2 г г г =/' р'(*) 1 Так как Т6» = !6С = О (-т/)г, то, согласно п.4.10, для частных решений имеем вырюке- 3 -в 3 -г (, С,/' ння иг(С) =е (1+ 0(уТ)), иг(С) = е '(1+0(Т!)), С вЂ” +со.
Теперь применим преобразование Лиувилля к уравнению и (С) — (! — — ) и(С) = О. 3 16С / Имеем 3 «4 фг(С) = (1 — — С ), и(С) = «/гг(С)иг(т) 16 — ~(1- — С ) СС /(1- С +О( )) 4С С+ — +О( ) С -«+со. 169 Дифференциальное уравнение для и,(т) имеет виш и,(т) — ~1+ — ( — — Ф ) (Ф вЂ” — ) и,(т) = О. 32 (,32 / (, 16/ (2) Поскольку (.—.-') ("--) ='(-) -'(-.) то лля частных решений уравнения (2) получаем: ип(т) = е' (! +О(-~)), ип(т) = е ' (1+О ( — г)) .
Далее записываем асимптотические выражения для и(1), е', е 3 и(Ф) = (1+ — + 01-т 11(С,ин(т)+ Сзи„(т)), 64(з (Г // Подставив (4) и (5) в (3), находим: и(1) = (1+ 6 о+0(-ь.)) (С,е* (1+ —, + „+О( — т)) + (4) Наконец, используя (6), на основании (1) имеем для частных решений данного уравнения такие асимптотическне представления: ъ/2х х(, 32хз 2048хо Ь / $5. Краевые задачи 5.1. Определение краевой задачи. Задача вида < ду1 — (р(х) — ) + а(х)у = у(х), дх ~ д*/ оу (хо) + ))у(хо) = ыо ту'(х~) + бу(х|) = ын хо ~ х тчхн где д, у — известные непрерывные на интервале (хо, хг) функции, р Е С'(хо, хг), р(х) р О, а, ;6, 'у б.
ыо. ыо — заданные числа, называется краевед задачей для функции у. В отличие от задачи Коши она не всегда имеет решение. Если ыо = ыо = О, то краевые условия задачи (1) называются едаарадямхи. Гл. 2. Дифбтреициалъиые урааиеиив высших иорядюа 5.2. Функция Грина враевой задачи.
ФУнкциЯ С = С(х, в), где х Е (хв, х~), в Е (хз, х,), как фУнкциЯ пеРеменной х, Удовлетворяет следующим условиям; 1) она непрерывная; 2) при х ф в она является решением дифференциального уравнения — (р(х)С',) + о(х)С = О, йх а также удовлетворяет однородным краевым условиям задачи (1); 3) ее производная при х = в имеет скачок, равный -(2)-, т.
е. справедливо равенство 1 1 * *=~-о Если такая функциа сугцествует, то решение краевой задачи (1) при ыв —— ьч — — О также существует и имеет вид у(х) = ~ С(х, в)г'(в) Ив. *в В случае неоднородных краевых условий задачи (1), т.е. при »вы + »1 ф О, следует ввести в рассмотрение новую функцию «по формуле у(х) = «(») + и(х), где вспомогательная функция и выбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла неоднородным краевым условиям задачи (1) (часто это линейная функция). Тогда относительно функции «получается краевая задачи вила (1) с однородными краевыми условиями. 5.3.
Задача Штурма — Лнувилля. Задача об отыскании тех значений Л, при которых уравнение б Г ИуЛ вЂ” (р(х) — ) + О(»)у = Лу, йх (, б»Г' где р Е С'(хз, х,], р(х) ф О, д Е С[хе, »1), имеет ненулевые решения у, удовлетворяющие краевым условиям оу'(хв)+)уу(хз) =О, уу(х~)+бу(х~) =О, где аз е )уз ф О, уг -~- бз Ф О, называется юдичвй Штурма — Лиувивяя. При этом числа Л назмвавпся собственными зничениями, а соотвегствуюпгие им функции у — собственными функциями рассматриваемой зазачи. 5.4. Условие зквнвалевтноетн краевой задачи интегральному уравнению.
Если Л = 0 не является собственным значением задачи Штурма — Лиувилля и у Е С(хз, х~) г1 гз йз(хз, х,), то кРаеваЯ задача дла УРавнениЯ И У буй — ( р(х) — ) + с(х)у = Лу+ у(х) равносильна интегральному уравнению у(х) = Л~С(х, в)у(в)йв+ /С(», в)у(в)бж (2) Напомним чИтателю, что символом Ьз(хв, х,) обозначаетсЯ класс фУнкций, интегРиРУемых с квадратом на (хм х,). Решить следующие краевые задачи. 388.
у"-у'=О. у(О) т-), ~(1)-у(1) т2. < Записываем общее решение данного уравнения у = С, + Сзе*. 171 Подставляя общее решение в заданные краевые условия, получаем систему уравнений относи- тельно постоянных Сг и Сгг' Сг + Сг = -1, Сге — Сг — Сге = 2. Отсюда находим Сг — — — 2, Сг = 1. Следователыю, у=-2+с*, 0(х(1.и 389. у" — у' — 2у = 0; у'(0) = 2, у(+со) = О. и Легко находим общее решение данного уравнения: у = С,е *+ Сге*. (1) Так как у(+со) = йгп у(х) = О, то из (1) следует, что С, = О. Из краевого условия у'(О) = 2 следует, что С, = -2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
