А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Наконец, палсшвшш решения (1), (2) в первое уравнение системы, находим к = С~е + Сзе — (Сз + Сз)е — (Сч + Сг)е 417. У+х+у-2у=О, У-у+х=О. м Складывая почленно оба уравнения системы, имеем У + 2» + х = 2у, откуда находим 1 у = — (У + 2У + х). 2 (П Подставляя значение у нз (1) во второе уравнение системы, получаем дифференциальное уравнение относительно ф)шанин х: (2) '» +2У вЂ” У вЂ” 2» = О. Решив его, будем иметь х = С~е '+ Сзе'+ Сзе '.
Учитывая полученное решение, из (1) находим 1 У= — С,е и+2Сзе'. м 2 415. х = Зх+ 4у, у = -х — у. М Определив» из второго уравнения системы и подставив его в первое уравнение, пол)чим (-У- у)"= 3(-у - у) +4у, у" -2у'+ у = О. Решив последнее уравнение, будем иметь у = (С~ + Сзт)е' + (Сз + Счг)е '.
Наконец, из второго травнения находим х = — у — у = 2(Са — Сз — Сгй)е ' — 2(Сг + Сз+ Сдт)е'. > 416. »=Зх — у — з, у= — х+Зу — а, У=-х — у+За. М Дифференцируя первое равенспю дважды и учитывая все три уравнения системы, получаем х~ = ЗУ вЂ” у — з = 3(Зх — у — з) — ( — х+ Зу — з) — (-х — у+ Зг) = 11х — 5у — 5» = 11»+ 5(У вЂ” 3»), 187 $1. Лииейвме системы 418. У вЂ” 2у+ у+ х — Зу = О, 4у — 2У вЂ” х — 2х+ 5у = О. < Умножив почленно первое уравнение на 2 и сложив со вторым, приходим к равенству 2у †х †. (1) Дифференцируя (1) и учитывая первое уравнение системы, получаем х = Зу. Подставляя значение х в (1), имеем дифференциальное уравнение у + у = О, из которого легко находим у = Се А тогда у = 2х — Сзе' — Сзе ' в первое уравнение системы, будем иметь дифференциальное уравнение лля функции х: У вЂ” 4х+ ЗСзе' — Сзе ' = О. Общее решение этого уравнения ! х=Сзе +Сзе +Сзе — — Сзе ~.
3 Наконец, подставив (2) в (1), имеем у = 2Сзев+2С„е в+С,е' — — Сзе '. м 3 (2) 420. 2У+ 2х+ х + Зу+ у+ у = О, У+ 4х — х + Зу+ 2у — у = О. м Разрешив систему уравнений относзпельна старших производных, имеем х = 2У+у — 2х — 2у7 у = — 2х — у+а+у. (1) Дифференцируя последовательно даа раза первое равенство системы (1) и пользуясь при этом ее уравнениями, можем записать: х = -у — Зх — Зу, х = -х — 2у — х — у. ш (2) Разрешив систему (2) относительно у и у и подставив их значения в перюе уравнение системы (1), получим уравнение Ши функции х: х — х+х — х = О.
ы При этом 1г ш у = — (х — 2 х +х — 5х) . 5з Интегрирование последнего уравнения дает х = Сз + Сзе' + Сз созг+ Сз йп 1. Наконец, подпилив значение х в (3), окончательно находим 1 1 у = — С, — Сзе + — (-4Сз + ЗС ) сзж( — — (4С4 + ЗСз) ив 1. м 5 5 (3) Применяя метод Эйлера, решить следующие системы уравнений: 421. *' = х — у, у = д — 4х. ° Сопзасно метоау Эйлера частные решения системы ищем в виде х = Ае, у=Во, А, В, Л вЂ” постоянные. и и Подставив (1) в систему, имеем алгебраическую систему АЛ=А — В, ВЛ= — 44, из которой в силу нетривиальности искомых решений следует, что определитель (2) 4 Л вЂ” 1! х= ЗСе з, м 419.
У+ 4У вЂ” 2х — 2у — у = О, У вЂ” 4х — у+ 2у+ 2у = О. м Сложив пачленно эти уравнения, получим (2х-у)" = 2х-у„откуда 2х-у = С,е'+Сзе '. Подставив значение Гл. 3. Системы дифбюревщильаых ураавевий 188 или (Л вЂ” 1) — 4 = О. Корни характериспзческого уравнения Л, = 3, Лз = — 1 — простые. Следовательно, частные решения, им соответствующие, имеют вид: 3! -» 3» хз — — А,е, хз — — А,е, у, =В,е, уз =Взе Связь между постоянными А», В» мы найдем, воспользовавшись системой уравнений (2).
Имеем А,Л, = А, — Вп Л,А» — — Аз — Вз (вторые уравнения являются следствием записанных),. откуда находим В, = -2А„В» = 2А». В силу произвольпости А, и Аз можем, например, положить, что А, = А, = 1. Тогда В, = -2, В, = 2. Таким образом, фундаментальная матрица запишется в виде: е е'з ' =(- .-) Общее решеиие в векторной форме, согласно (5) п. 1А, будет *() ( ) ~(~) — ( 2 з» 2 -») (С ) — ( 2С в+2С Отсюда следует„что у= — 2Сзез + 2С»е '.
> х=Се +Сзе ', 422. х = * — у+ з, у = х + у — з, 3 = 2х — у. и Ищем решения в виде х = Ае"', у = Ве"', з = Се '. Подставив (1) в систему, имеем (2) А(Л вЂ” 1) +  — С = О, — А+ В(Л вЂ” 1) + С = О, -2А+ В+ СЛ = О. Поскольку мы ищем ненулевые решения, та должны положить Л вЂ” 1 1 -1 -1 Л вЂ” 1 1~=0, -2 1 Л, откуда Л' — 2Л' — Л+ 2 = О. Корни этого уравнения Л, = 1, Лз —— 2, Лз — — -1 — простые. Поэтому частпые решения представляются следующим образом: зз *, = А,е, хз — — Азе, хз = Азе 3 х -( у, =Взе, уз =В»с, уз =В»с зз — — С,е, зз — — Сзе, зз — — Сзе '.
в Для установления связи мелгду пастоянпыми А», В», С» пользуемся системой (1). Имеем А»(Л» — 1)+В» — С» — — О, -А»+В»(Л» — 1)+С» =О, — 2А»+В»+С»Л» =О, 8=1,2, 3. Нетрудно получить решения цоследней системы: Вз =Аз =Сз; Аз =С», В» =О; Вз =-ЗАз, Сз = -5Аз. Поскольку часть из иайдеиных посимнпых произвольна, то можно положить Сз —— 1, Сз — — 1, Аз — — 1. Тогда Вз — — Аз = 1; Аз — — 1; Вз = -3, Сз = -5. Таким образом, фунаамеитальпая матрица рассматриваемой дифференциальной системы имеет вид: зе' е' е'з» Х(1) = ~е' О -3 -'~. ез» -5е»~' Общее решение будет у = Х(1) Сз = Сзе' — ЗСзе х = Сзе'+Сзе +Сзе ', у= С»с» — ЗСзе», л = Сзе +Сзе — 5Сзе .
»» () 1, Линейные системы 189 423. х = 2х+ у, у = х+ Зу — э, э = -х+ 2у+ Зэ. и Действуя аналогично предыдущему примеру, имеем Л< — — 2, Лг = 3+ в, Лэ = 3 — в. При этом частные решения будут ха=А<ев, хг-Аге' «> хэ=Аэе'-'а, гв <э»<э <э->эа У, = В,ег', Уг = Вге<э>'х> Уэ = Вэе< э, = С,ег', зг = Сге<э»<Х ээ = Сэе<' " Для определения постоянных А», В», С», й = 1, 2, 3, пользуемся системой алгебраических урав- нений; А»(Л» -2) В» = О, -А»+В»(Л» — 3)+С» = О, А» 2В»+С»(Л» — 3) =О, й = !> 2, 3. Решив систему уравнений относительно А», Вк, С», получаем: В> — — О, А< = С< = 1; Аг = 1, Вг = 1 + в, Сг = 2 — з; Аэ = 1, Вэ = 1 — в, Сэ = 2 + в.
Следовательно, фундаментальную матрицу можно записать в виде: /е е (созС+аяпС) е (созС вЂ” Сэ!пС)>( Х(С) = О (!+ в)е '(сов!+ аз!пС) (! — в)е (созС вЂ” вяпС) е (2 — в)е (созС+вяпС) (2+ в)е '(созС вЂ” аяпС) А тогда согласно (5), п. !. 1, х = С ен + С е" (соз С + а яп С) + Сэе (соз С вЂ” в яп С), у = С»О+в)е (сов!+вял!)+Сэе (1 — а)(созС вЂ” аяпС), з = С<е '+ Сг(2 — а)е (созС+ Сяп() + Сэ(2+ в)еи(созС вЂ” вял С), где С<, С„Сз — произвольные (вообще говоря, комплексные) постоянные.
В частности, если положить Сг = С, + вС„Сэ = С, — вСэ, где Сг, Сз — действительные постоянные, то из (2), считая что С, — действительная постоянная, можно получить общее решение данной системы дифференциальных уравнений уже в действительной форме: х = С,е + 2ен(СгсозС вЂ” Сэипз), у = 2е ((Сг — Сэ)с<из — (Сг+ Сэ) япС), э = С<е + 2е '((2Сг+ Сэ)созз+ (Сг — 2Сэ)з!пС).
я 424. й = 2х+2» — у, у= х+2», з = — 2х+у — э. М Нетрудно найти корни характеристического уравнения Л вЂ” 2 1 -2 — 1 Л -2 =О. 2 -1 Л+1 Они имеют внд: Л, = 1, Лэ = в, Лэ = — в. Поэтому, как и в предьшуших примерах, можно записать частные решения данной системы: х< — — Аэе', ха =Аге, хэ =Азе ", а у<=В<с> уг=Вге, уз=Взе я э хэ = Сэе, эг = Сге', ээ = Сэе а -а где постоянные Аы Вк, С», й = 1, 2, 3, связаны соотношениями А»(Л» — 2)+Вк — 2С» = О, — А»+В»Л» — 2С» =О, 2А» — В»+С»(Л»+ 1) =О, у = 1, 2> 3. Решив эти алгебраические системы уравнений, имеем: 1 1 А< =0> В, =2С<! Аг=Вг, Сг = — (-Аг+СВг)! Аз — — Вз, Сз = — (-Аз — аВэ).
2 В частности, С<=!> В>=2; Аг=Вг=2, Сг=в — 1; Аэ=Вз=2> Сэ=-1 в. Гл. 3. Системы дмфферевциальвык уравнений 190 можно сформировать так: 2е " 2е " -(1+г)е " А тогда из (1) следует, что фундаментальную матрицу 0 2еа Х(1) = 2е' 2еа е (з — 1)ез а общее решение данной системы будет х = 2Сзеа 42Сзе ", у = 2Сзе'+ 2Сгеа+2Сзе ", Положив здесь Сг = Сг + зСз, Сз = Сг — зСз, где Сг, решение можно получить в дейстшпельной форме: х = 4(Сг сот(-Сзипг), у = 2Сзе+4(С!сох(-Сз з(п(), з = Сзе'+ Сг(! — 1)еа — Сз(1+ з)е ".
Сз — действительные постоянные, общее з = Сзе'-2(Сг+Сз)соз( — 2(Сг-Сз)нпй В. хг — — (Е+Г(Лг)1)Аге ', где /1 О О( 1' -2 — Лг 1 -2 Е= О 1 О, Г(Лг)= 1 -2 — Лг 2 О 0 1 3 — 3 5 — Лг/ /аз '( а вектор Аг — — аг удовлетворяет уравнению: аз / — 4 4 -8 зз ззазЛ Ра(лг)Аг — — О, нли ~ 4 -4 8 аг = О, 12 -!2 24 аз что соответствует одному скалярному уравнению а, — аг + 2аз = О, или аз — — аг — 2аз (аг, аз— произвольные постоянные). Таким образом, приняв во внимание равенство Р(Лг)А, = О, соглас- но (1) имеем вектор-решение (2) Вектор-решение, соответствующее корню Л,, имеет вид х, = В,е, где постоянный вектор В, зз удовлетворяет уравнению (см.(14), п. 1.4): Р(Лз)вз = О или ! -5 2 Ьг =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
