А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Легко получить одно из решений этой системы: Ьз=-1, Ьг= 1, Ь3= 3. Произвольная линейная комбинация вектор-решений есп общее решение х данной системы дифференциальных уравнений, поэтому 1' -С,е" С,(аг — 2а,)е ' -С,е '+ Сг(аг — 2аз)е х = Сгхз + Сгхг = Сзе + Сгаге = Сзе + Сгаге л -з М ЗС,е зз Сгазе -3 ЗС С ,е + газе Полохщв здесь С,аг = Сг, С!аз = Сз и приняв во внимание, что х = (х, у, я), окончательно имеем: *= — Сзе +(Сг — 2Сз)е ', у=Се" +Се ', з =ЗСеи+Сзе '. м 425.
х = -2х+у — 2е, у = х — 2у+ 2г, 3 = Зх — Зу+ 5з. и Поскольку среди корней характеристического уравнения имеются кратные (Л, = 3, Лг = = Л, = -1), то, согласно формуле (16), п. 1.4, частное вектор-решение, соответствующее этому корню, ищем в виде: 191 426.х=2х-у-г, у=2х-у-2, х=-и+у+2 . и Характеристическое уравнение данной системы имеет лишь один трехкратный корень Л = = — 1, поэтому, согласно формуле (16), п. 1.4, можем записать: х = (В+ Г(Л)1+ — Р (Л)1 з'Ае „ 2 где 1 -1 -1( )'0 0 О( Р(Л)= 2 -2 -2), Р(Л)= ~ 0 0 0) .
0 0 0 Вектор А удовлетворяет уравнению гс(Л)А = 0 (см. (17), и. 1.4) и в силу тождества лс(Л) = 0 является произвольным. Таким образом, общее решение в векторной форме имеет вид: /1+! -1 — 1 Зз зГС '1 х = (х, У, г) = (Е+Р(Л)1)Ае' = 21 ! — 21 — 21 ) ~Сг) е'. — 1 1 1+8 Сз Отсюда находим х = е'(Сз(1+1) — (Сг+Сз)1), х = е (Сз+(Сз — Сг Сз)1), у = е'(2Сз(+ Сг(1 — 21) — 2Сзз'з), г = е'( — Сзз+ Сг(+ Сз(1+ 1)) ~ у = е'(Сг+2(Сз — Сг — Сз)З) х = е'(Сз+(-Сз+Сг+Сз)1) > х = (х, у, г) = (Е+ Р(Л)1+ — Ф(Л)1 ) Ае, )'С, ( где А = Сг — произвольный постоянный вектор, 'з,с,) з' 2 -! ОЛ з'1 Г(Л) = ~ 3 — ! — 1), Е~(Л) = ~2 -2 2), Ф(Л) = О.
1 0 -1 1 -1 1 (2) Из представления (1) на основании (2) следует общее решение в скалярной форме: и 1 х = е (С, + (2С, — Сг)1+ — (Сз — Сг + Сз)1 ), 2 у =е (Сг+(ЗСз — Сг — Сз)1+(Сз — Сг+Сз)1 ), гг з ! гй г =е ~Сз+(Сз — Сз)1+ — (С, — Сг+Сз)( ~. м 2 4гз. У вЂ” х+2у — 2у=О, х — х+у+у=О. чз Ищем частные решения в виде х = Ае"', у = Ве~. Подстановка их в систему дает А(Л вЂ” 1)+ 2В(Л вЂ” 1) =О, А(Л вЂ” 1)+В(Л+ 1) = О. Отсюда в силу условия А Ф 0 и В ~ 0 следует, что !' Л вЂ” 1 2(Л вЂ” 1)( Л вЂ” 1 Л + ! иви (Л вЂ” 1)(3 — Л) = О.
Таким образом, Л, = 1, Л, = — 1, Лз — — 3 — простые корни характеристического уравнения (2). Им соответствуют следующие частные решения: г -з М х, =А,е, хг =Аге, аз =Азе, (3) уз=Взе~, уг=Вге-,' уз=Взе -г (2) 427. й = 4х — у, у = Зх+ у — г, г = х+ х. и Нетрудно убедиться, что Л = 2 — трехкратный корень характеристического уравнения, позтому, согласно формуле (16), п. 1.4, общее решение данной системы имеет вид: 192 Гл. 3.
Снстнвы дифференциальных урагшенгйг Связь межлу коэффициентами Ао, Во, Ь = 1, 2, 3, мы найдем, последовательно лонставляя корни Лг, Ь = 1, 2, 3, в систему (1). Имеем Аг(Лг — 1) + 2Вд(Лг — 1) = О, Аг(Ло — 1) + Вг(Ло + 1) = О. Отсюда находим В! — — О (А! — произвольно); Аг — — О (Вг — произвольно); Вз = -1, Аз = 2. Учитывая зти соотношения и полагая, например, А! — — Вг = 1, из частных решений (3) комбинируем общее решение данной системы дифференциальных уравнений: х =Стхэ+Сгхг+Сзхз = Сзе'+2Сэе ', У =С>У! 4СгУг -ЬСзрэ =Сге ' — Сзе '.
М 429. й + 5А + 2у + у = О, Зх + 5х + у + Зу = О. < Полагая х = Ае"', у = Ве"', как и в предыдущем примере, имеем А(Л + 5Л) + В(2Л -ь 1) = О, А(ЗЛ + 5) + В(Л+ 3) = О, (1) откуда, учитывая условие А и' О н В зе О, находим Л! — — Л, = 1, Лэ = -1. Частные решения, соответствующие простому корню, имеют шщ: -! -! хз = Азе, уз = Взе Связь между Аз и Вз находим из системы (1) известным способом: Вз — — -4Аз. Поэтому, по- ложив, например, Аз —— -1, имеем Вз — — 4.
Следовательно, частные решении, соответствующие корню Л, = — 1, будут аз = -е ', уэ —— 4е '. Далее, в силу того, что Л = 1 — двукратный корень, мы должны искать чаем!не решения, соответствующие этому корню, в виде: х = (а+ И)е', у = (с+ >(1)е > (2) где а, 6, с, >( — пока неизвестные постоянные. Для их определения подставим (2) в данную систему уравнений. После некоторых упрощений, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений: ба 4 76+ Зс 4 2>( = О, 2Ь+ >( = О, 8а + бЬ+ 4с+ т( = О, из которой находим >г = -2Ь, с = -2а — Ь, где а, Ь вЂ” произвольные постоянные. Таким образом, общее решение предсташшется следующим образом: х = (а+ И)е' — Сзе ', у = (-2а — Ь вЂ” 2И)е + 4Сзе ', а Применяя метод вариации, решить следующие системы: 2 3 430.
х = -4х — 2у+ —, у = ба+ Зу— е' — 1 е' — 1 М Прежде всего решаем однородную систему уравнений, соответствующую данной системе: х = -4х — 2у, у = бх+ Зу. Подставив значение у = -2х- 2 х во второе уравнение, получаем й+й = О, откуда х = С +С е 1. А тогда у = -2С! — 2Сге '. Для определения общего решения неоднородной системы, согласно методу вариации произвольных постоянных, считаем С! и Сг некоторыми дифференцируемыми функциями. Зги функции мы найдем из системы уравнений, которая получается в результате подстановки значений х и у в неоднородную систему.
Таким образом, мы имеем: 2 . 3 ., 3 С! + Сге = —, -2С! — — Сге е' - 1 2 е' — 1 Отсюда находим Сг = -э —, С, = О. Интегрируя последние уравнения, получаем 2е' е — 1' С! = С!о, Сг = 2)п!е' — Ц+ Сто> где См, См — произвольные постоянные. Наконец, подставляя значения С, и Сг в общее решение однородной системы, имеем общее решение данной системы; — Ст+ Сге '+2е '(п)е' — Ц, у = -2С! — — Сге — Зе 1п)е — Ц -! ! 2 где С„Сг — новые произвольные постоянные. м 193 () 1.
Лвиейвые свстемы 1 431. х = *- у — — 4 = 2» — у. сгп! < Легко найти (хотя бы методом исключения) общее решение соответствующей однородной системы х = С, в!и ! + С, сов(, у = (С, + Сг) яп(+ (Сг — С) сов!. (1) Считая (в согласии с методом вариации произвольных постоянных), что С, и Сг — некоторые дифференцируемые функции, и подставляя значения х и у нз (1) в данную систему, будем иметь 1 ... 1 С, сов( — Сг яп! =, Сз яп(+ Сг сов! = —, сов( сов! откуда находим с, = 1+ гй(, Сг = 1 — зйг.
интегрируя эти уравнения, имеем С, =! — (в|сов!!4Сн, Сг=!+!п!сов!!+Сго. (2) Наконец, подставляя (2) в (1), получаем обзцее решение предложенной системы: х = Цйп!+ сов!) 4(сов! — япг)!в|сов!!+ С, яп(+ Сгсов(, у = 2(в!п!+ 2сов(+ !и |сов!!+ (Сз + Сг)яп(+ (С, — С )сов(, где С„С, — новые произвольные постоянные. м Решить следующие системы: 432.
(х+ 2(х — у) = 1, !у+ х+ 5у = !'. < Производя замену аргумента 1 по формуле т = 1п |!), ! Ф О, приходим к неоднородной системе с постоянными коэффициентами: Ах Ау г — + 2(х — у) = хе', — + х+ 5у = е '. з!т з(т Определив иэ второго уравнения системы г г(у »=е — 5у —— г(т козфф у= Ае +Ве . Подставляя у в неодноролное уравнение и приравнивая в полученном тождестве коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, будем иметь: А = 75, В = »20. Таким образом, 2 у = Туев' х 2бе'.
А тогда общее решение -м -и' 2 гз у=Сзе +Сге + — е х — е'. 15 20 Подстаюшя значение у в (*), получаем -м -з~ 7 и 3 х = -Сзе — 2Сге + — е ~ — е'. 3 10 Вернувшись к аргументу 1, имеем окончательно Сз 2Сг (г ЗЩ Сз Сг 2 г 1 х=- — — — + — ~ —, у= — + — + — !гх — !!(, !4 !!(з 15 10 (з Щз 15 20 1~0, м 433.
Ву+ бх — у — 3» = О, (у+ 23х — бу — 9» ы О, Б+ х+ у — 2» = О. м Аналогично предыдущему примеру имеем: т = 1п !!!, ! ,-в О, и г(» г(у да — + бх — у — 3» = О, — + 23х — бу — 9» = О, — + х+ у — 2» = О. згт з!т з(т и подставив его в первое уравнение, получаем у 4 7у+ 12у = 4ег' ~ е'. (1) Характеристическое уравнение Л' + 7Л+ 12 = 0 имеет корни Л, = -4, Лз — — — 3, поэтому общее решение однородного уравнения у+ 7у+ 12у = 0 запишется в виде у = С,е "+ С,е ".
Частное решение у рассматриваемого неоднородного уравнения ищем, используя метод неопределенных ициентов, в таком виде: Гл. 3, Системы двффереициальвых уравнений 194 сЬ 434. — = ар(!) + рр(г), А! < Полагая * = о(!)У(!), и = ))(!)У(!), получаем оу + ау' = аур+ )уууЗ, )з у+ ))у' = — ур + у)ур. Пусть у' = У(с за О. Тогда система (2) примет вид; а =Дй, 1) = -ар, а, )) — неизвестные функции. Производя замену аргумента по формуле т = !' тз(!)Аз, систему (3) приводим к системе с постоянными коэффициентами: Аа А)У вЂ” =Д вЂ” = -а. (5) Ат Ат Решив систему (5) и вернувшись к переменной Г согласно (4), а также приняв во внимание (1) и выбрав функцию у = ехр()' р(!) А!), окончательно имеем (2) (3) (4) Првмечавае. В примерах 432-434 мы пользовались заменой аргумента г = ( Г(!) Ш, катсрая прнмеюится а общем случае х системе уравнений вида Аэ — = у(1)Ая, Ф где А — псстсанная матрица.
Указанная замена преобразует приведенную систему х системе уравнений с постоянными коэффициентами: йе — = Аз. Ат 435. Е некоторой области пространства одновременно имеются однородные и стационарные электрическое и магнитное поля с векторами напряженности Е и Н, угол между которыми П олученную систему уравнений с постоянными коэффициентами будем решать методом Эйлера, положив я = Ае"', у = Ве"', з = Се"'. Тогда относительно постоянных А, В, С получим линейную сисюму А(6+ Л) —  — ЗС = О, 23А + В(Л вЂ” 6) — 9С = О, А+ В + С(Л вЂ” 2) = О, из которой в силу условий А и О, В ~ О, С ~ О следует„что определитель 6+Л -1 -3 23 Л вЂ” 6 -9 =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
