А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 47
Текст из файла (страница 47)
4. 8+ у+х+ Зу+ х — 2у = О, х — Зу+ 54+ 8У+бе — 4у = О. 211 Методом неопределенных коэффициентов построить общее решение систем 5. (О 0)у" +у'+(! 0)У=О, уеС.б. (2 4)У +(1 !)У=О, Улье, 1 0 1') гг 3 0 1) 7. — 1 1 О~у" + — 1 0 2) У=О, УЕС'. 8. 1 ! 0 у" + О 1 ! у'+ -! 2 3 У=О, УЕС', Построить частные решения систем: 9. 328+8у — бе=к+них 2 — +бу — 5х=е +е .18. — у+у+а =хыпх, — 7-бу-8е=х+х .
4 аг к и аз 2 х х ах лх Построить общие решения систем: П. 0 1 0 у+я~ -2 1 4 у= О, УЕС~. 12. (! — х)~О 1 0) у" — я~О ! 0~9'+ ~ — 1 1 0~ У=О, уб~с. 0 1 1 0 1 1 — ! 2 1 Привести к системам с постоянными коэффициентами и построить общее решение следующих уравнений: 13.х'( ! 3)у +х (О 2)у +(1 2)У=О. 14.х'(О 5)у +х( 3 1)У+( 4 5)У=( т)- 15. х' -1 1 0 ум+а~ -2 0 1 ук+ -2 3 0 У=О. 0 -1 1 3 0 -1 1 — 1 ! 17 (4х+5)з — 1 2 3 ух+(4х+5)з 0 — 4 5 ук.~-(4х+5) -2 2 3 у'=О. '1 — 2 3 1 — 3 ! 1 0 1 4 Построить решения задач: 18. У(' — уг = х, уг'+16у~ — — х~, 0 < х <+со, 1цп (у, з(х)е у ) = О, у~(0) = 1, уг(0) =О. 19.
х~у1' + хуз + Зу| — — О, х уз'+ 4ху1 + Зуз — — О, ! < х < +со, у|(1) = О, уз(1) = 1, уьз = 1т =О(*8), * + Проинтегрировать следующие нелинейные системы; 20 ~ х Ф х 21 Р 2 ~ й 2 22 ю ю й( + Построить первые интегралы систем: 2 Построить общий интеграл систем: 27 е = я = х = —.28.— г-= — ~= — г= — 7-.29.--г= — "— г= —. йх еа ае яи йх 4 Их 4и ях и Нх х у х е ' х ху — 2г Глава 4 Уравнения в частных производных первого порядка ф 1. Линейные и квазилинейные уравнения 1.1. Основные понятна.
1.2. Решеппе квазплнпейиого уравнения в частпыл производных первого порядка. Для решения уравнения (1) поступают следующим образом. Составляют систему уравнений Ых~ дхз дх„ д« Х, Х ' Х„ й ' интегрируя которую находят и независимых первых интегралов: Ф2(хн хы ., х„, «) = С2, Ф2(х! х2 хч «) С2 (2) (3) Ф„(Х2, х2, ..., х, «) = С . Общий интеграл уравнения (1) записывают так: Ф(Ф2, Ф2, ..., Фч) = (), (4) где Ф вЂ” произвольная дифференцируемая функция.
При этом считается, что функции Х„1(в непрерывно дифференцируемые, не обращавшиеся в нуль одновременно в рассматриваемой области изменения переменных х„х„..., х„, «. 1.3. Задача Коши. В приложениях часто требуется найти решение уравнения (1) Р(Х2 ХП Хв-Н Хвм ~ ° . Юг=*и Схема решения задачи Коши такова. Фиксируя в (3) переменную Ф2 (Х2~ Х2) ... ~ Хв-2~ ХН1 Х2Ч2 ~ ..., Хч~ 2р) 'рз (Х2, хз, ..., Хв 2, хвы ив+2, ..., х„, чз) при условии, что х) хв, получаем (5) Ф„ (х2 хз, ..., Хв-н Хвв> «в+и " . ~ ач, 'р) = б'ч.
Квазивинвйным уравнением первого порядка в частных производных иазыввегся уравнение вида ч д Х2(Х2~ хг~ ° ° 1 Хч2 «) )2(х! Х2~ . 1 Х ) «)1 (1) где хн 21 — известные функции, « = «(х„х„..., х„) — функция, 22ошгежашая определению. Гели функции х2 от «не зависят и )2 гв О, то уравнение (1) называется линейным однородным в частных производных.
й 1. Линейные и авазилввейвые уравнения г!3 Исключив, если это возможно, из (5) переменные х„ хм ..., хь „ хьь„ ...,х„, имеем зависимость Р хм,С(,С(,...,С„=О. (6) ( ) Подставляя С; = Ф(, г = 1, и, взятые из (3), в (6) вместо С(, имеем окончательно г( „, й,, й„..., й„) = о. Иногда начальное условие задается неявно: Ф((х( хн ° > хч~ х) = 0~ рг(хц хм. ° ., х„, г) = О. Тогда, исключив переменные х„хн ..., х„, л из систем (3), (8), получим уравнение ,Р(С(, Сз, ...
> С„) = 0 Наконец, подставив в (9) значения интегралов из (3), имеем: .Р(й„й„..., й„) =О. (7) (8) (9) (10) 1.4. Уравнение Пфаффа. Уравнение вида Найти общее решение или общий интеграл для каждого из следующих уравнений: да дл 466. (:+ гу) — — у — = о. дх ду м Согласно формуле (2), п. 1.1, составляем систему уравнений: ах ду да а+2у -у 0 Р(х, у, г) Ых+ ('„)(х, у, з) ду + )((х, у, х) дх = 0 (11) называется уравнением Пфаффа. К нему сводится задача о нахождении семейства поверхностей и(х, у, а) = С, ортогональлых векторным линиям поля Р = (Р(х, у, х), (е(х, у, х), ц(х, у, а)) . При этом дх, ду, Ыа — координаты вектора, лежащего в касатеяьной плоскости к искомым по- верхностям.
Если поле Р по(енциально, т.е. Р = д-, (Г = д —, й = д —, то искомая поверхность (Г да ди да х' у' х' находится с помощью криволинейного интеграла: и(х, у, а) — / Р((х+()ду+ Лдл. (! 2) (м м.ч) Если поле Р не потенциально, то в некоторых случаях можно подобрать множитель р = р(х, у, а) так, что потенциальным окажется поле РР. Следовательно, ди ди ди РР= —, д() = —, РЛ= —. дх' ду' дз Необходимым и достаточным условием существования семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям, является равенство (Р, го(Р) = О, Если зто условие выполнено, то урав- нение (11) можно интегрировать как с помощью интегрирующего множителя, так и с помощью следующего метода.
Считают некоторую переменную в уравнении (11) постоянной и интегрируют оставшуюся часть уравнения. В полученном интеграле постоянную интегрирования принимают за неизвестную функцию от ранее зафиксированной переменной и подбирают ее таким образом, чтобы интеграл удовлетворял уравнению (! 1). Если (Р, го1 Р) = О, то говорит, что уравнение (! 1) интегрируется одним соотношением. Если же (Р, го(Р) г( О, то уравнение Пфаффа интегрируют двумя соотношениями, т.е.
ищут не по- верхности, ортогонааьные векгорным линиям поля Р, а линии, облаааюшие тем же свойством и лежащие на заданной поверхности и(х, у, з) = О. Исключив оцну нз переменных из уравне- ний (11) и и(х, у, а) = О, получают обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. 214 Гл. 4. Уравнения в чаегиых иранзводвых иервого порядка Из вгорого уравнения получаем первый интеграл а = С,. Первое уравнение удх+ (а+ 2у)ду = О является уравнением в полных дифференциалах, поэгому у дх, + ( 2у, ду, = ау+ уз = С вЂ” его интеграл.
Общий интеграл данного уравнения имеет вид (см. (4), п. 1Л): р (», *у + у') = О. Разрешив последнее уравнение относительно а, получим общее решение = ж(*у+ у ) где р — произвольны дифференцируемая функция. Ь ди ди ди 467.
(х — л) — +(у — а) — + 2а — = О. дх ду да ч Составляем систему уравнений: дх ду да (1) х — г у — е 2а (и = С| — первый интеграл — очевидно). Из системы (1) получаем две интегрируемые комбинщши: г((х + е) Ж~ д(у + г) Ж х+а 2а' у+а 2е' откуда находим два первых независимых интеграла (х+ а) (у+ а) =С, =С,. Таким образом, общий интеграл представляется в виде: ж(и,(Р—;1)-,-(У+ — ") = О, откуда следует общее решение ((х +г)~ Зу +е)) где р — произвольная дифференцируемая функция. ~» еда 2 да 468. е* — + у — = уе*.
дх ду ч Составляем систему Ых Ну да е* ут уе* Из первого уравнения находим один первый интеграл — „— е * = С„а из второго с учетом равенства е* = Т-у-С- следует еще один первый интеграл у )и |у) — х = С,. е* — у' Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет ФЯ вЂ” е, =.)У) — ~~. — а) = О. ' е *-у Общее ие решение его имеет вил а =,, +ге(у — е *).
И 1п (у! — х $1. Лине(шые и ваазилилейвзае уравнения 469. (х'+ут) — +2ху — +х'=О. д Уу и Из системы 215 ех йу ох х +уз 2ху -х находим два первых независимых интеграла: хт — -У=С„ У Следовательно, общее решение имеет вид: =„*..+ (*. )' х 1 — + — = Сз хт уг дх дз 470. ху — + (* — 2з) — = ух. дх ду и Система уравнений дает два независимых интеграла: з — = С„2х — у — 4з = Ст. х Следовательно, общий интеграл данного уравнения имеет вид: Ф(х, 2х — у — 4х) = О. и ди ди ди 471.
(у+ з) — + (з + х) — + (х+ у) — = и. дх ду дх и Находим первые интегралы системы: ех еу ея ~й~ у+х х+з х+у и Из этой системы образуем три интегрируемые комбинации: й(х — у) яи е(х — з) йю о(х + у + з) у — х и ' з — х и ' 2(х + у + я) интегрируя которые получаем три независимых первых интеграла: х+у+г и(х — у) = Сн и(х — х) = Сз, А тогда общий интеграл данного уравнения представится в виде: Ф~и(х — у), и(х — х), ~-~ууч — х) = О.
М и откупа следует первый интеграл х — у — =С. х ди ди ди 472. (и — х) — + (и — у) — — з — = а+ у. дх ду дх и Аналогично прелыаущему примеру имеем: еу ех еи и — х и — у -х х+у На основании свойства пропорции получаем интегрируем)то комбинащпо г((х — у) ох х — у х 216 Гл. 4. Уравнения в частных производных первого порядва Аналогично имеем еше одну комбинацию з((х+ у+ 2и) з(х 2и — (х+у)+2(а+у) з ' з((х + у+ 2и) з(г 2и+х+у а' откуда интегрированием находим (х + у+ 2и)а = Сз — первый интеграл. Остается найти еще одни первый интеграл. Для этого с помощью последнего интеграла исключим сумму х + у из третьего уравнения системы.
Тогда придем к уравнению дя з з(и г 2из — Сз Интегрируя это уравнение, имеем еще один первый интеграл Сз 2 и — х — у +Сза =ь = Сз. За Зх2 Таким образом, общий интеграл имеет вид: Ф( — -й, (х+у+2и)а, — т ~) =О. и Найти решения следующих уравнений, удовлетворяющие указанным условиям: да , дг 473. — + (2е* — у) — = О; х = у при х = О. дх ду м Согласно п. 1.2 сначала мы должны найти общее решение. Из уравнения Ых з(у 1 2е* — у находим первый интеграл уе — е =С. й Зз Следовательно, общее решение будет х =)з(уе* — е ). Теперь найдем функцию р, пользуясь начальными условиями. Полагая здесь у -1 = и, получаем уз(и) = и + 1. Таким образом, з=уе' — а*+1 есть искомое решение. Ь ди ди ди 474.
— + — + 2 — = О; и = ух при х = ! . дх ду дх м Из системы уравнений Ых ду дх 1 1 2 легко находим два первых независимых интеграла: 2х — з = Сз. у Сзз Следовательно, общее решение и = р(х — у, 2х — х). Начальные условия дают: уя = р(! — у, 2 — з). Полагая здесь 1 — у = б, 2 — а = г), получаем выражение лля функции уз(б, г)) = (1 — Г)(2 — О). Таким образом, и =(! — х+у)(2 — 2а+х) есп, решение зщшчн.
М $1. Ламейиые и ввазилииейиые уравнения ди ди ди т 475. х — +у — + ау — = б; и = хт+у при з = б. дх ду дз и Аналогично предыдушему имеем дх Ыу Ж х у ху 217 Отсюда получаем первые интегралы х — =с, и у ху-2 =С, и записываем обшее решение и = р( — *„, ху — 2з). Вид Функции р, отвечающей начальным условиям, находим из уравнения: х + у =(е( — „, ху). Положив вием — * =(, ху =г), имеем У (е(ь г)) = +(г). г) Стало быль, и=(х +у)(1 — — ).» Отсюда легко получаем: 2 2 у — — — — х =Ст. 2 4 т у. =с„ Следовательно, обшее решение имеет вил: х у е = — — — + (т(ух ).
Функция р, согласно начальным условиям, удовлетворяет уравнению: хт ! Е' 1 х = — — — +у(х) при хЯ= — +-. 2 4 2 4 Следовательно, р(ух) = + ухт 1 2 4 А тогда из (1) находим требуемое решение х у ух 1 з= — — — + — +-.в 2 4 2 4 477. х — — у — = х (х — Зу), х = 1, уз+ ! = О. да дс дх ду < Находим первые интегралы системы: дх ду дз х у зт(х — Зу) Из первого уравнения получаем сразу ху =Со Найти поверхносп,, удовлетворявшую данному уравнению и проходящую через данную линию, если: да дз т г т 476.х — — 2у — =х +у; у=1, з=х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
