А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поскольку гогу = О, то поле У потенциально. Следовательно, м,о,о и(х, у, л) = ~ (У, йг) = х'у — Зхул. оо,о,о> Таким образом, х у — Зхуз=С вЂ” искомые поверхности. ~ 501. У = (2х — У)! + (ЗУ вЂ” л)1+ (х — 2У)й. м поскольку (У, пну) = л — х — 4у и функция л = х+ 4У уравнению (У, йг) = О не удовлетворяет, то не существует ни одной гладкой оюверхности, ортогональной ланному векторному полю У.
> 502. Найти векторные линии, векторные поверхности н поверхности, ортогональные векторным линиям поля У= х1+уз — з)г. м Векторные линии в кюкдой своей точке касаются вектора У. Следовательно, К 11 йг, где йг — дифференциал радиуса-вектора линии. В коораинатной форме условие касания в данном случае имеет вид: лх йу йл (1) х у -л Интегрируя уравнение (1), получаем х — = С„ул = Со У Таким образом, пересечение семейств поверхностей — * = С,, уз = Ст дает нам двухпараметричес- У кое семейство векторных линий.
Поскольку векторные поверхности состоят из векторных линий, то в кпхщой точке такой поверхности долило выполняться условие: (Х, Р) = О, где Х вЂ” вектор нормали к поверхности. Пусть и(х, у, л) = Π— уравнение поверхности; тогда указанное условие в координатной форме приобретает вид: ди ди ди й', — + р'„— + р', — х О. *дх "ду *да Подставив сюда значения координат вектора У, имеем ди ди ди х — +у — — л — = О. дх ду дл 22З Гл.
4. Уравиеиия в частвых производных первого порадка Используя интегралы системы (1), попутаем общий интеграл последнего уравнения: и(„, уг) О, откуда где (т — произвольная функция. Итак, векторные поверхности найдены. Поверхности, ортогональные данным векторным линиям, ищем из уравнения: (у, дг) =О, или хдх чуду-яда= О. Интеграл этого уравнения усматривается непосредственно х+у — г =С.М т т 2 $2. Нелинейные уравнения первого порядка 2.1. Нелинейные уравнении в частных производных первого порядка. Уравнение вида Р(хо хт, ..., х„,г,р„рт ...,Р„) =О, (1) где рт = Ь вЂ ;, т = 1, и, называется нелинейным уравнением в частных производных первого порядка.
дг х; Для интегрирования уравнения дг дз Р(х,у,г,р,д)=О, р= —, у=в (2) дх' ду применяется метод Лагрлнхса и Ширли, заключающийся в следующем. Соответственно уравнению (2) подбирают уравнение ф(х(1), у(1)т г(1), а, Ь(а)) = О, дф , дф , дф , — х (1) + — у (1) + — г (1) = О. дх ду дл (б) После того, как функция Ь будет найдена, искомую интегральную поверхность определяем, ис- ключая параметр а из системы уравнений: т( ф(х, у, г, а, Ь(а)) =О, — ф(х, у, г, а, Ь(а)) =0 и(х у г Р ч)=а, а=сопят, (3) таким образом, чтобы оно Удовлетворяло двум основным условиям; 1) систему авнений (2) (3) можно разрешить относительно переменных р, рб 2) уравнение Пфаффа дг = р(х, у, г, а) дх+ д(х, у, г, а) ду интегрируется одним соотношением Ф(х, у, г, а, Ь) = О, Ь = сопя. Тогда интеграл Ф = О будет также интегралом уравнения (2) (интеграл ф = 0 носит название полного).
Функция и удовлетворяет уравнению дР ди дР ди т' др дР~ ди УОР дР'т ди т'дР дР'т ди — — + — — +(р — +д — ~ — — ( — +р — тт — — ( — +д — ~ — =О. (4) др дх ду ду т, др дд ) дг (, дх дг т' др т, ду дг ! ду 2.2. Решение задачи о находи(евин интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую. Если известен полный интеграл ф(х, у, г, а, Ь) = 0 уравнения (2), то можно решить задачу о нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую х = х(1), у = у(М), г = л(1).
(5) Считая Ь = Ь(а), определяем функцию Ь из системы уравнений: б 2. Нелняейвые уравнения первого порядка 229 2.3. Метод Коши. Р (хо(в) Уо(в), зо(в), ро(в), да(в)) = О, Ра(в)хо(в) + Яо(в)уа(в) — з!а(з) = О, ше хо = хо(в), уо = уо(з), зо = зо(в) — параметрические уравнения данной кривой. Затем интегрируем систему с учетом найденных функций ро, да .' !1х др Ыв !(р 49 — 4( (9) Рр Р, ррр+дра Р,+рр, Рз+ЧР, с начальными условиями: при Г = 0 х = хо(в), у = уо(в), в = зо(в), р = ро(з) а = ао(в). (10) Тогда трн функции х = х(1, в), р = у(Е, в), з = в(Г, в), являющиеся решением задачи (9), (10), представляют собой параметрические уравнения искомой интегральной поверхности, 2.4.
Обобщение метода Коне. Метод Коши обобщается на уравнения вила (1), когда требуется найти интегральную и-мерную поверхность в = з(х!, хз,..., х„) уравнения (1), проходящую через заданную (и — 1)-мерную поверхность: х!о = хо(в!, вз!..., в„!), ! = 1, ро, (!1) ва = зо(в!, зг, , в„ !). схема решения задачи (1), (11) следующая. сначала определяем функции р;о (в„вз, ..., в„!) из уравнений Р(х!а, хн . х м !Р!о Но, Рао) О дзо " дха — — ~рх — ! = О, ! = 1, и — 1.
два .. ' двг (12) Дапее интегрируем вспомогательную систему уравнений дх! Их~ дх, дв ИР! Р Г Гр т Р,р Ро! +Р!Р! =! Р' Ар! 4Р. Рог+Рзр! Р* +Р Р* (13) с начальными условиями: х; = хоа(в!, вз, ..., в„!), '!!=а — за(в! вз ... в !) и=о Рг~ =Раз(в!! вз!... в -!)! ! = 1! и. В резульште получаем параметрические уравнения искомой интегральной поверхности: х, = хг((, в„в„...,в„,), ! = 1, и, з((! гч! вн !во-!). (14) (15) Найти полный интеграл в каждом из следующих уравнений; 503. Рд = х'у'. М Согласно п.
2.1, сначала составляем и решаем уравнение (4) (Р ш рд ди ди ди «ди з ди дх 4д бв д — +р — +2рд — +гад' — +2хзу — = О, да: др дв др дд ' а р 2рз — х у )! др ой) 2хр! 2хзу Прелыпушую задачу можно решить по-другому. Сначала определяем функции ро — — ра(в), Ча = 9о(в) из уравнений: Гл. 4. Уравнения в частвмх производных первого паряяаж 2ЗО Используя равенство рд = х у, последние уравнения приводим к внау 2 2 х др = у г(д = 2(» = 2р2(х = 2д г(у. Отсюда получаем даа первых интеграла: р д — =С, — =Сг. (1) уг Но так как рд = х'у', то С,С» = 1.
Следовательно, обозначив С, = а, интеграт (1) можно представить так: 2 1 2 р=ах, д= — у. а Далее, подставив значения р, д в уравнение Пфаффа 2(» = рг(х+ д ду, имеем г 1 2 д» = ах дх+ — у 2(у. а Отсюда находим а г у 3 » — — х + — +Ь=О, 3 За Таким образом, мы получили полный интеграл данного уравнения. М 504. = Рх+ ду+ р'д'.
м Пользуемся методом Лагранжа н Шарип. Вычислив производные ур-, -д-, д-, .ру-, -дГ, дР дР дР дР дР где Р = » — рх — ду — р'д, и подставив их значения в уравнение (4), п. 2.1, решаем уравнение: г г (х -1- Зр д ) — + (у+ Зр д ) — + (рх + ду + бр д ) — = О. Из системы уравнений 2(х 2(у 2(» 4р дд х+ Зргдг у+ Зргдг рх+ ду+ бр'д' О О следуют интегралы: р = а, д = Ь.
Из первого уравнения получаем; 2(» = рг(х+ 9ду, или д» = аг(х+ Ыу. 505. Рд = 9»2. < Вычислив необходимые производные от функции Р = рд — 9»2, составляем и решаем уравнение (4): до да до да да г(х 2(у 2(» г(р 2(д д — + Р— + 2рд — + 1 8р» — + 18д» вЂ” = О, дх ду д» др дд ' д р 2рд Гйр» = 18д»' Из последнего уравнения получаем олин первый интеграл: Р г — =С,. д Из системы Р 2 2 — =С„рд= 9» д 3 р=За», д= — » а (мы ввели обозначение Сг — — а). Подставив значения р, д в уравнение Пфаффа, получим 3 2(» = За» дх + — » г(у. а Следовательно, Но» = рх+ ду+ ргдг, позтому Итак, полный интеграл имеет вил; » = ах+ Ьу+ Сг.
С,=а Ь. » = ах + Ьу+ а Ь . гь 2И й 2. Нелииейвме ууавневвя первого воуааяв Интегрируя это уравнение, находим полный интеграл: з 1пЦ вЂ” Зах — — у — Ь=О. > а 506. р=япд. < В данном случае р = р — яп д, поэтому уравнение (4), и. 2.1, принимает вид: да ди ди — — созд — + (р — д саад) — = О. дх ду дг Из системы уравнений дх г(у дг др дд ! — сокд р — дсозд О О находим два первых интеграла: р = Сн д = Сг. В силу уравнения р = йпд имеем С, = япСг.
А тогда соответствующее уравнение Пфаффа бУдет иметь внд г(г = яп Сг Фх + Сг г(у; интегрируя его, легко находим полный интеграл данного уравнения: г = хяпа+ ау+ Ь (а = Сг). м 507. = Рг+ дг. М Из системы уравнений дх ду с(г г(р дд 2р 2д 2(р'+д ) р д ' которая соответствует уравнению (4), и. 2.1, ди ди с г гг ди ди ди 2р — + 2д — + 2(р + д~) — + р — + д — = О, дх ду дг др дд находим один первый интеграл: Далее, решив систему: г г р+д =г, р=да, имеем аьгг ггг ~Я+а ' д ~#+а' Подставив значения р и д в уравнение Пфаффа г(х = рде+ дс(у, молем записать: дг аг(х+ г(у «гг МггГ+ а~ откуда интегрированием находим х2Л + а~ьгг — ах — у — Ь = О, или 4(1+ аг)г (ах+ у+ Ь)г О Зто есть полный интеграл данного уравнения.
> 508. р'+ «рд = г'. < Уравнение (4), п. 2.1, в данном случае имеет аид: ди да ди ди да (2р+ яд) — + гр — + 2р(р + хд) — — р(рд — 2х) — — д(рд — 2г) — = О. дх ду дх др дд Далее Решаем систему уравнений: Ых г(у г(г г(р с(д 2р+ гд гр 2р(р+ гд) (2г — рд)р (2г )гд)д' Из последнего уравнения находим первый интеграл р — = а. д Гл.
4. эравиеиия и часпщх произиодных первопь подшив 232 Из системы р +эру=а, р=да 2 2 а2 2 Р=~ Ога(а + 2) тгга(а + 2) д=ш используя значения р, д, уравнение пфаффа е(2 = р 2(х+ д 2(у представляем в виде: 2)2 ;/а(а+2) — = х(аг(х+ е(у) = шг((ах+ у). Интегрируя уравнение Пфаффа, после некоторых преобразований получаем полный интеграл: < |. г 2/а(а + 2) — а | ( г 22га(а + 2) + а!П | — (ах + д + Ь) = О.
> тгга(а + 2) + а |( г г 509. — + — — = 2'. Р Я ш Ог переменных е, у перейдем к переменным н, о, полонив а = -2-, о = ~-. Тогда дэ да дн дэ дэ дэ де дэ р= — = — — =х — гихрн д= — = — — =у — =удг дх дн дх дн " ду де ду де и данное уравнение примет вна: 1 1 — + — =2. г Будем искать решение этого уравнения в вийе: 2 = 2(ш), получим уравнение где ш = ан + е, а = сонэ!. Тогда иэ (1) (22) = 1+ —, 1 аг интегрируя которое, находим 2 = ш2)(1+ — (он+о)+ Ь (Ь = соли!). / 1 аг Таким образом, (2 — Ь) — !21+ —, | <ах +у) =О 2 2 г 1 2 2 2 2 есть полный интеграл исходного уравнения. М Примечанае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
