А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В результате получаем систему дифференциальных уравнений с соответствуюшнми начальными условиями, интегрируя которую последовательно определяем функции ум у(, .... При этом произвольные постоянные находим, используя начальные условия; у,(Со) = ((кьа (кг, а„,), где ак~ = сопз(. Пользуясь методом малого параметра, можно приближенно находить периодические решения уравнений вида х + а х = С(Р(С, х, т, д), (4) где г" — известная периодическая функция по С.
В этом случае постоянные интегрирования, возникающие при решении дифференциальных уравнений относительно функций уо, у„..., на- ходятся из условий периодичности функций, заключающихся в отсутствии резонирующих чяенов в правых частях указанных дифференциальных уравнений. Если правая часть уравнения (4) явно от С не зависит, то период решения х(С, д) заранее не известен.
В таком случае в уравнении (4) следует сделать замену т = С(1+ Ь(д+ Ььа + ...), (5) где т — новая независимая переменная, и искать решение х(т, Ск) периода —. При этом коэф2х фициеиты Ь(, Ьк,... определяются из условий периодичности решений уо(т), УДт), .... В каждой нз задач 537-542 найти а виде степенного ряда решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов ряда. 537. у' = у' — х; у(о) =1.
м Функция 7(х, у) = у' — х является аналитической по совокупности переменных *, у в окрестности точки (О, 1), поэтому существует аналитическое решение этой задачи у(х) = ~,а„х". =о Подставив его в данное уравнение, получаем тождеспю по х; а, + 2акх+Зарх + ... = (по+а(я+ах + азх + ...) — х. з к з ПРиРавнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему уравнений относительно чисел а, (к = О, 1, 2, ...): а, = ак, 2ак = 2аоа( — 1, Заз — — а, + 2аоаз, 4ао = 2а(аз + 2аоаз 2 Так как у(О) = 1, то ао — — 1. А тогда из уравнений полученной системы последовательно находим: 1 2 7 а(=1, аз= — аз= — ао= —, 2' 3' 12' 24В Гл. 5.
Приближенные мепквя решения лиффервшшальных уравнений Таким образом, приближенное решение имеет вид: 1 2 2 з 7 4 у(х)и1+х+-х +-х + — х.~ 2 3 12 г 1 з ((х, у) = у+х(1+у+ — у + — у + — у + ...) . 2 6 24 Далее, принимая во внимание начальное условие, ищем решение в виде ряда у(х) = ага+ага +азх + аох +.... 2 3 4 Подставив его в уравнение о уг у =у+а~ в=о Ь( и приравняв коэффипненты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений: аз=о, 2аг=1, Заз-— аг, 4ао=аз+ам ° ° откуда находим 1 аг = —, 2 1 1 аз —— —, ао= —, 6' 6' Следовательно з 1 4 д(х) = — х + — х + — х + ....
> 2 6 6 539. у" = хд' - д'; у(о) = 1, д'(о) = 2. < Как и в предьщчцих задачах, приблшкенное решение у(х) можно бьшо бы получить в виде частичной суммы степенного ряда, находя коэффициенты его из некоторой системы рекуррентньп уравнений. Однако в данном случае мы поступим по-другому. Именно, зная, что искомый степенной ряд является рядом Тейлора, путем последовательного дифференцирования правой исти данного уравнения по х вычисляем нужного порядка производные в точке х = О. Таким образом„учитывая начальные условия, имеем: уо(О) = -д'(О) = -1, у (х)= — (хд — у)= дт (х) = 2уо+ хуо — 2д'г Следовательно, по формуле Тейлора, у +ху' — 2ду', у'(0) = -2, д'"(о) = -в, — 2уу", 2 1 3 1 4 у(х) = 1+2х — — х — — х — — х — ....
~ 2 3 3 540. — = 1 + — д, — = -1 + 1 + х + д; (о) = 1, у(о) = — 1. 4(Х 2 4(д 2 2 М 4М и Поскольку правые части уравнений являются аналитическими функциями переменных х, у, 1 в совокупности, то решение ищем в виде х(1) = аз + агт+ аг( + аз(~ +..., У(1) = Ьо+Ьзт+ Ьг( + Ьзв + .... Подставив их в ланные уравнения и приравняв коэффициентм при одинаковых степенях 1, получаем систему уравнений относительно чисел ап Ьн в = 1, 2, ...: 2 2 аз — — ао Ьш 2аг — — 1+ аз — 2ЬоЬ!, Заз = аг — Ьг — 26462~ " Ь! = -1 + Ьо + ао 2Ьг = Ьг + 2аоаг, ЗЬз = 1 + Ьг + аг + 2аоаь 538. у' = у + хе"; у(0) = О. и Функцию 7(х, у) = у + хе" разложим в степенной ряд в окрестности точки (О, 0) по степеням х, у: 249 ае = 1, Ь, = -1, последова- Отсюда, принимая во внимание начальные условия, которые дают тельно находим: 1 1 5 а, = О Ь, = — 1 аг = -- Ь: = — — аз = —— > 2' ' 2' б' Следовательно, 5 з е~ х(1) = 1 — -1 — - ! + ..., у(1) = — 1- ! -— 2 6 ' 2 1 Ьз=-- 6' ! — +....и б дгг дуг дзг) Л((,х,у)=(1-!) — +х — +(у-1) — ~ + де ах д" >м д'Л дгУг < + — (! — 1) — + 2х(à — 1) — + 2(1 — 1)(у — 1) — + 21 ( д(г а(ах м д1ду~ +2х(у — 1) — + х — + (у — 1) — + ...
= гагзг за'Л даду „дх дуг = ах+ х(! — 1)Ь+ сх(у — 1) + ..., где ху 1п(! + х + у') >у =1+ г+уг> - »у !+(!+! )з > Л(1 х у)= гг(1 х у)= )п2 1 1п2 а= Ь= — 2(1+ 181) 1+(1+!81)" 2(!+(1+!8!)) (1+(1+! 1))" 1п2+ 1 1п2 1+('+'8') (1+(1+18Ц') Таким образом, имеем задачу: г г и ! 1 - ! з(у - !) (1 - и' 3(! - !)(у - 1) *' з гй 2 4 4 8 8 4 8 — =ах+ах(1 — 1)+ох(у — 1)+ ..., х(1) =О, у(1) = 1. ду Далее, ищем решение задачи (1) в виде: х(!) = аз(1 — 1)+ аз(Ф вЂ” 1) +аз(1 — 1) + ..., У(Е)=1+6>(! — 1)+Ь,(1-1)'+Ь,(! — !)'+ ..., ,Ь ! 4 ху Ьг(1+ '+ у') 541. — = ; х(1) = О, у(1) = 1, 8! 1+хг+уг> 8! 1„.(1.„1 „)г м Сначала, пользуясь формулой Тейлора, разложим правые части уравнений по степеням (! — 1), х, у — 1: 1 аЛ аЛ дЛ! Л(йх,у)=-+(! — !) — +х — +(у — 1) — ~ + 2 а! а ау ~„ агЛ + —, ~(1 — 1) — ~ + 2(1 — 1)х — + 2(1 — 1)(у — 1) — + 2!1, д!2< д" ах м д! ду аз~ гд зг) +2х(у — 1) — +х — +(у — 1) — ~ 1+ ...
= дх дУ ~м дхз ~м ау'~ 1 1 1 — 1 3(у — 1) (1 — 1)' 3(1 — 1)(у — 1) хг 3 + — + — — +-(у-1)'+ ..., 2 4 4 8 8 4 8 250 Гл. 5. Приблимеииме мепюы решеввя двффереишшльвых удавлений Подставляя последние ряды в уравнения (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ! — 1, получаем систему уравнений, из которой находим 1 1 а 1 — За 4Ь-а аэ -— -, Ь«=0, аг= — — Ьг=-, аэ= 2 8' 4' 48 ' 24 Ьэ = Следовательно, ! — 1 Ц вЂ” 1)г 1 — За х(!) = — + (! 1)э + 2 8 48 а 4Ь вЂ” а 1+ (! )г+ у э 4 24 «+з г(д 542. — =!+с*'", — =1+йпху, х(0)=д(О)=1 гй ' «й а Поскольку х(!) = х(О)+ х(0)!+ — ! + — ! + ..., х (О) г х ~(0) э 2 6 д(г) = д(0) + д'(о)! + — !'+ — з + ..., у"(О), дх(О), то остается только найти значения производных в точке ! = О. Из уравнений системы имеем: х(0) = е, х (!) = 1+е*+"(х +у) = 1+е*+"(х +1+вихр), х (0) = 1+ е (е +1+яп1) у(0) =1+яп1, у (Х) =ссзху (ху+ху), д (О) =сгм! (е +1+ял1).
*«(О) = е ((е + 1 + яп 1) + 1+ е + е + е яп 1+ е соз 1 + соз 1+ со« ! ° яп 1); у (!) = — япху (х у+ху)'+с«мху (х"у+2ху'+ау"), у (О) = — яп1 (е + 1+яп 1) +со«1. (1+е +е +е з!п1+2е (1+яп1)+сэм! (е + 1+пи()). ° 543. Оценить снизу радиус сходимости степенного ряда, представляюшего решение уравне- ния у' = у — х с начальным условием у(0) = 1. а Используя уравнение и начальное условие, последовательно находим: у'(0) = 1> у«(х) = 2уу' — 1, у"(0) = 2у(0)у'(0) — 1 = 1, уы'(х) =2(уд')М Э = 2~,С~-«ух~(у')~ г ' =2~,С.-гуэ«Э(х)уи э «(х), «=« «=з «-г умг(0) = 2), С«гу!«э(0)ум «гг(0), и еч 3. «=з Покажем, что (уыэ(0)! < и!, и Е («(. С этой целью воспользуемся методом математической ищгукции.
Имеем (у'(О)( < 1, !у«(0)! < 1. Предположив, что !угм(0)! < Ь! для Ь = 3, 4, ..., (п-1), оценим «-г «-г -г )у~ э(0)) ~< 2~ С -г (у~ ~(0)((у~ ~(0)~ ~< 2) С„' гйй(п — Ь вЂ” 1)! =2(п — 2)!~ (и — Ь вЂ” 1) = пг, ««« «=е «=О Следовательно, согласно указанному методу, !умэ(0)( < и! Мп Е Ь(. С учетом доказанного неравенспе ллл коэффициентов степенного ряда 2' ,а„х", представля««з юшего решение в некоторой окрестности точки х = О, справедлива оценка: ( „( = — ~умэ(О)~ < !.
(1) 251 (1 2. Аиалитичесвве врвбмвяевиые машды Наконец, используя формулы Коши — Адамара — ' = !нп Яа ) „а также неравенство (1), для л радиуса В сходимости степенного рзща получаем требуемую оценку: Л>1. М В задачах 544 — 549 найти линейно независимые решения кюкдого из данных уравнений в виде степенных рядов.
544. у"-х'у=О. а ПосколькУ фУнкции Рв — — Рв(х) з— д 1, Р, = Р,(х) га О, Р, = Р,(х) = — х аналнтичны з Чх Е ( — со, +со) и рв(х) ~ О, то согласно п.2.1 существует аналитическое решение у = у(х), х Е ( — со, +оо). Ищем его в виде рзща; у(х) = ~ а„х". (1) а=В Подставив у(х) в уравнение, получим тождеспю по х: и(п — 1)а„х" з — ~а„х"+ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
