А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 56
Текст из файла (страница 56)
3! 5! Далее, положив г = — 1 (аа — — 1, аз — — 0), из ( 1 а2 = — — а3 2' Поэтому второе частное решение имеет вид: а!и х — х из 0; 1) получаем: 1 =О а4«« —, 1 3' х' х 1 созх у,(х) = — ~1 — — + — — ...~ = —, х у О. х ) 2! 41,~ х В следующих задачах найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) рзшами. 550. ху«+ 2у'+ *у = О. 42 поскольку функция ре — — р«(х) = х имеет в точке х = 0 нуль 1-го порядка, фунюзия рз = р,(х) = 2 нулей не имеет, а функция р, = р,(х) = х имеет в этой точке нуль 1-го порядка, то, согласно п.2.1, сузцествует по крайней мере одно нетривиальное решение данного уравнения в виде суммы обобщенного степенного ряда Гл.
5. Приблвисевиые методы решении диффереинвальиык уравнений 256 Пусть а, = О, а, = 1, Тогда из второго уравнения (1) следует, что (т + 1)(г+2) = О. Полапш, например, г = -1, из третьего уравнения (1) последовательно находим: 1 1 аз=О, аз=- — се=О аз=— 2 3' ' 5!' Таким образом 1 / х х ! з1пх уз(х)= — ~х — — + — — ...1 =, х~О. 3! 5!,1 х Если же положим г = -2, то аналогично будем иметь у4(х)= — х — — + — — ... = —, х зяб. хт ~, 2! 4! ) Итак, если х Ф О, то два линейно независимых частных решения представятся в виде: япх соя х у!(х) = —, ут(х) = —.
м х х Примечание. Можно было бы обойтись рассмотрением случал ес = 1, а| = О. 551. 9хту" — (х' — 2)у = О. а Подставляя в уравнение ряд (1) (2) Таким образом, хт х4 5 6 5 6.!1.12 2 .4 6.7 6 7 !2.13 у!(х) = х! 1 уз(х) = х! 1 Примечаиие. Рассмотрение случал ее = О, а1 = 1 приводит к такому же резулылту. 552. х'уе+ 2ху' — (ха+ 2х+ 2)у = О. М Аналогично предыдущему примеру имеем: (г +г — 2)ае = О, г(г+3)а! 2ае = О ((и+ г)(п т г+ 1) — 2)а„— а„т — 2а„~ = О, и = 2, 3,....
(1) Посколькумы ищем нетривиальные решения, то аз+а, Ф О. Следовательно, определитель первых 2 2 двух однородных уравнений должен быть равен нулю, т.е. (г — 1)г(г + 2)(г + 3) = О. Отсюда находим возможные варианты: г~ = 1, гт = О, гз = — 2, г4 = -3. у(х) = 2 а„х" я=с и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем: а„(9(и+гКп+г — 1)+2) — а„, =О, и = 2, 3, ..., ае(9г' — 9г+ 2) = О, а~(9г + 9г+ 2) = О. Пусть ае — — 1, а~ = О. Тогда из первого уравнения (1) следует, что г, = у, гт = у. Подставив 1 2 в (2) сначала г = у, а затем г = у, для каждого из этих двух случаев найдем: 2 а, = —, аз' =О, аз 5 6' ' 5 6 11 12' 7~ аз ~ 4 6 7 Г2 Гу 257 Пусть г = 1, аа — — 1, тогда из указанных уравнений получаем аз — — 2, а из третьего уравнения (1) 1 последовательно находим 1 1 3 аз=-, аз= —, а4= —, 5' 20' 280 Соответстяенно зтому запишем первое частное решение: хз '4 Зхз у,(х)=х4 — + — + — + — + ....
2 5 20 280 Пусть г = -2, ас = 1, тогда аналогичным образом можем получить 1 2 а, = -1, 1 а,=-!, аз= — аз=О. 2' коэффициенты а4, аз и т. д, находим обычным способом. таким образом, второе частное решение запишется в виде: 1 1 '2 'з 7х4 У2(х) = — — — + — + — + — + — + ..., х 2 8 40 !20 Рассмотрение случаев г = 0 и г = -3 приводит к таким же результатам. Ь 553. у" + у' — ху = о.
~ Подставив ряд 2.' а„хьм в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степе=о нях х, получим: ааг =О, аз(1+г) =О, а„= " 2, и=23," (и + г)2 пуси, г = О, тогда а, = О, а коэффициент ае можем приравзшть единице. из третьего соотношения последовательно находим: ! 1 4з аз — — О, а4 22 4'з Следовательно, хз .4 х %(*) — ' 22 + 22, 42 + 22, 42, б2 Найти общее решение уравнений: 554. х'у" + ху'+ (! — х)у = О.
< Частное решение ищем в виде ряда 2.' а„х"'". Подставив ряд в уравнение, получим таз=4 жлество по х, из которого известным способом находим: ае(г +1)=0, а„=, пЕМ 1+ (и + г)2 Поскольку ае И' 0 (при аа = 0 получается тривиальное решение), то нз первого уравнения следует, что г = х1.
Пусть г = 4, аа — — 1, тогда из второго уравнения последовательно получаем: 1 1 1 1+ 24 ' 2 (1+ 24)(1+ 4) ' 12(1+ 24)(1+ 4)(З + 24) ' Поскольку при отыскании а, приходим к неопределенности б, то поступаем следующим образом. 0 Считая, что г ~ -2, из уравнений (1) находим: 2 г +Зг+4 4(г + 2) гз + Зг ' (гз + Зг)(з 2 + 5г + 4) ' (гз + Зг)(г + 5г + 4)(з' + 5) Озсюда, устремив г — -2, получим: 25В Гл. 5. Приближенные ме~щм решения двКмреипиальиых уравнеивй Таким образом, частные решения имеют внд: х > ! -~ 2в 4(! + 2в)(! + в) 12(1 + 2в)(1 + в)(3 + 2в) ув(х)=х 1+,+,, + +...~, х х' ув(х)=х' 1+ .+, + +...
1 — 2в' 4(1 — 2в)(1 — в) 12(1 — 2в)(1 — в)(3 — 2в) Общее же решение у = Свув(х) + Свув(х) = С,(и 4- ви) Х Сз(и — ви) = аи + Ьи тле а = С, + Св, Ь = !(С, — Сз). Функшвн и, и легко получить из представления у,(х), если воспользоваться йюрмулами Эйлера.
Имеем: х, х в — 31 з у,(х) = и(х) + ви(х) = евьв 1+ — (1 — 2в) — — (1+ Зв) + — ! в' — — 1 + ... 5 40 520 г 2/ х х Зх ( 2х Зхз х -1-""'"-"')("---'- — ' -( — --' -' ))= 5 40 1040 [, 5 40 520 Зхз /л 3' — !+ — — — — — + ...)соз(1пх)+ ~ — + — — — + ... з!п((пх)-~- 5 40 1040 / ~ 5 40 520 х х Зх' )'2х Зхз хз + в' 1+ — — — — — -+ ...в з!и(!па) — — + — — — + ... саз(!ох) 5 40 1040 / (т 5 40 520 Следовательно, и(х) = о(х) соз(!и х) +,9(х) звп(!и х), е(х) = а(х) звп(!л х) —;9(х) соз(!» х), х х Зх 2х Зев х' о(х) = 1+ — — — — + ..., 13(х) = — + — — — + .... > 5 40 1040 ' 5 40 520 555.
'Уо+(3 — Пу'+У=О. М Будем искать частное решение в виде у(х) = 2 а„(х — хо) . Тогда вшя коэффициентов а„способом, изложенным в примере 539, получим: (1 — Зхо)а в — ао 1 г г зт ав = в аз = —, (ив (1 — Зхо + 11хо) — а,(1 — 5хо)), ... 2 хо ' бхов Коэффициенты ао, а, произвольны, хо ~ О. Если хо —— О, то решение ищем в виде обобщенного степенного ряда у(х) =(ао+авх+азо + ...)х'. Подставив ряа в уравнение и приравняв коэффициенты прн соответствующих степенях *, найдем (и+ а)(и+а+ 2)+ 1 аао = О, а„вв —— а„(п = О, 1, 2,...).
(1) а + п + 1 В силу того, что мы ищем нетривиальное решение, следует положить а = О. Пуси ао — — 1, тогда из (1) последовательно определяем аз=2!, а,=1, аз — 3,, а„— л., Следовательно, У(х) = 1 + 1! х + 2! х + ... + и! х" + Очевидно, что этот ряд сходпгсв лишь в точке х = О, ы $2. Аналитические ирнблвлгеииме меняя 259 гг 4 соз(2я — 1)х 2 х „, (2я — 1)2 В силу равенства г'(х+ 2х) = 1(х) ггх е (-со, +со) гг 4 соз Л„х г(х) = — — — ) -, Л„= 2п — 1.
2 х„, Л„ Далее, приняв во внимание 2а-перноличность функции у, решение ищем также в виде 2хпериодической функции у: о» У(х) = †.1. ~аосозйх+ Ьо ого йх. 2 уравнение и приравнивая коэффициенты при функциях х »-» яп йх, Подставляя этот ряд в соо гох, имеем: 1 аго-2 21 1 г йг а„=ь,=о, йбР[. х(2й 1)г(йг й 1 П' л ао = —— 3' Следовательно, гг 1 соз(2й — 1)х у(х) = — — + — ~, . Э» б а „, (2й — 1)' 2япх ° У У У= 5 — 4 сот х я Очевидно, функция 2о!Пг: /(х) = 5 — 4соох 2а.-периодическая, поэтому частное периодическое решение уравнения ищем в виде ао у(х) = — +~,аосоойх+Ьояпйх. 2 о=! Подсявив этот ряд в уравнение и приняв во внимание, что функция у нечетная, получим 2япх ао = О аотйо(й +й) = О, ) соо)пйх =, со =(й йй)ао-Ьк, й Е Ь( 5 — 4соох' Умножив тождество на 5 — 4 сов х, представим его в виде: »Ю 5~ сояпйх — 2~ со гяпйх — 2~ сьм япйх = 2япх.
ою 2=2 о=о Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим 5сг — 2сг — — 2, 5со — 2со 2 — 2соог = О, й =2, 3, ... Из второго уравнения (2) слсаует (2) со — -а2 + —, )5 (3) где а,,0 — произвольные постоянные. Использовав первое уравнение (2), получим а +,0 = 1.
Решив систему уравнений (1), (3), будем иметь: 2 а2'+(1 — а)2" а2" +(1 — а)2 о ао (й +й) 1, (12 й)г Ьо = — 1+(йг+1)2 В следующих задачах найти в виде тригонометрических рядов периодические решения данных уравнений: 55б. у" — 3У = ~(х), 1(х) = [х[ при [х[ < х, ~(х + 22г) я ~(х). я Поскольку функция у при [х[ < гг непрерывна, дифференцируема при О < [х[ < гг, у(к) = г"(-х), то она разлагается в равномерно сходящийся к ней в каждой точке х е [ — гг, гг) тригонометрический рял Фурье 260 Гл. 5. Приближеннме методы решения шофферевцвальиых уравнений Поскольку ао — О, Ьо -+ 0 при й -1 +со, то в посзидних соотношениях следует положить а = О.
Итак, окончательно имеем: йз+й 24(1+(рз+!>2)' " 22(!+(>з+1>2)' (йз+ й)соз1ох —.мпйх У(х) = 2 Ф ~ 2 (1+(» +й)2) ип 2»х уо — Зу — 52 = ~ 558. зо+ бу+ 82 = ~ 2=1 Л Поскольку правые части являются зг-периодическими функциями, то периодические ре- шения у(х), з(х) ищем с тем же периодом в виде 44 у(х) = — + 2 аосоз 2!ох+ Ьо ып2йх, 2 з(х) = — + 2 сосоо2йх+ 1!го!о 2йх. со 1=1 Подставив написанные ряды в уравнения и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях, получаем: (4» + 3)ао+ 5со = О, — (4» +3)Ьо — 541 — — —, О »24 (8 — 4й )со + бао — —, (8 — 4» )4» + 6Ьо = О, ао = со = О, откуда находим 4 — 2»' йг(8йо — 10йг + 3) 3 йг(8»4 — !Ойг + 3)' 5 2йг(8й4 10йг+ 3)' 3+ 4й 2йг(8»4 — 10»г + 3) Таким образом, 5 соз 2»х + 4 (2 — йг) Мп 2йх 2!42(8»4 — 10»2 + 3> (3+ 4йг) соз2»х+ 6 ив 2йх 2(х>=-~— 2»2(8»4 !О»2+ 3) В задачах 559-562 найти 2 — 3 члена разложения решения по степеням малого параметра р.
559. у' = 4рх — у', у(1> = 1. ч Поскольку правая часп аналитична по у, д, то, согласно п.2.2 решение ищем в вице У(х >4) = Уо(х)+Руз(х)+>з Уг(х)+" Подставив ряд в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем з 2 4 г г Уо = -Уо, Уз = 4х — 2рорн Уг = — Уз — 2Уоугз (!) Приняв во внимание начальное условие, имеем: уо(1) 1 уз(1) — О У2(1) О (2) Теперь последовательно решаем рекуррентную систему (1), используя начальные условия (2); 1 г ! х 2х 1 32 уо(х) = -4 уз(х) = х — — 3 у2(х) = — — + — + — — — 2, х' ' хг' 7 3 хз 21хг 2б1 й 2.
Авалатвчесвие пргоблимеивые метены 1 !г 1г г/ х 2х 32 ! у(х) ро + Р ~х — — ) + Р— — + — — — + — + .. х г, хг) ~ 7 3 2!хг хг) Уо(!) = ! Уг(!) = Уг(1) = Последовательно интегрируя уравнения (2) и пользуясь условиями (3), накопим: г У1 = х — х, уг = — (! — х), б Наконец, подставляя (4) в (1)„приходим к решению поставленной задачи: у(х, Р) =1+ Р(х' — х) + Р'- (1 — х)'+ .... Ь б (3) (4) 561.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
