А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ц пбвзначгиа норма вектпра. Геометрически зто определение означает, что близкие в начальный момент времени траектории х(1) и (в(Г) остаются близкими ч( > 1г. Чаще всего используются следующие нормы: и Цх(1)Ц = Е 1х,(1)12, Цх(1)Ц = щах !хь(1)Ц Цх(1)(! = Е!хь(1)!. =! и=! Определение 2. Если Лг > О! тб > О 31 > гь таное, что из неравенства (3) ие с!!сдует неравенство (4), гио регигиие (в(1) называется неустойчивым в смысле Ляпунова. Овведсаеиие 3. если решение зг(1) устойчиво по ляпунову и удовлетворяет условию йгп Цх(1) — уг(1) Ц = О, (6) (4) то оно называется асимптоти чески устойчивым.
Исследование на устойчивость решения уг(1) может быль свелено к исследованию на устойчивость тривиального решения (точки покоя) с помощью замены р = х — !р(1). 1.2. Исследоваане на устойчивость по первому прнблюкеннвг первая теорема Ляпунова. Первая теорема Ляпунова. Пусть система йх! — ' =апхг+опхз+ .. +а!их„+д;(1, х„хз, ".,х„), г = 1, гг, ао — — сопя!, (7) где й)ункиии йг удтиетворяют условию )й!) < аг(х)))хЬ (8) 1.1. Устойчивость по Ляпунову. Аснмптотическяа устойчивость. Пусть система дифференциальных уравнений йх, й( — = 1,(1, х„хг, ...,х„), ! = 1, и, имеет при 1 Е (гь, +ос) регпения х, = (вг(1), ! = 1, и, удовлетворяющие начальным условиям 9!г(10) = а!О, (2) Определение 1.
Решение уг(1) = (рг(1), р П), ...,гр„(1)) диффгренииальивй задачи (1), (2) на- зываегпся устойчивы.ч по Ляпунову, ее!и чг > О 36(г) > О такое, что для люб!го решения х = х(Г) = (хг(1), хз(1), ..., х»(1)) зтой хге задачи, удовлетворяющего иерввеншпву Цх((ь) — Р(гь)Ц < 6(г), (3) 275 и 1. Устойчапость а;(х) -о 0 при 11х$0 - О, з = 1, и, имеет тривиальное решение. Тогда: если собственные значения Л матрицы А = (а;о) имеют опцшцателькые действительные части (КеЛ < 0), то тривиолыюе решение системы (7) псимптотически устойчиво; если хсе хотя бы одно собственное знпчение имеет пааюкшнелькую действительную часть (Ке Л > 0), то тривиальное решение неустойчиво.
1.3. Исследование иа устойчивость с номен(ью фуиацнй Лаиуаова: втирая теорема Ляпунова. Вторая теорема Пяиуиова. Если существует дифференцирушная функция о((г х! хг . хо) называемая функцией Пяпунова, удовлетворяющая в окрестности точки х = 0 следующим условиям: 1) о((г хг, хг, ..., х„) > И'(хп хг, ..., х„) ) 0 при ( ) (о, где непрерывния функция й' имеет строгий минимум в точке х = О, иричеи о((, О,..., 0) = )У(0, ..., 0) = 0; 2) полная производная йо до " до — = — +~ — Я(( хз хг ... х„)<0 при г>(о, й( д(,,дх;* ' то тривиольнпе решение х = (х„хг, ..., х„) = 0 устойчива.
Если же вместо условия 2) выполняется неравенство йо до " до й( д(,,дх, * ' — = — + ) — з,(( хз хг ... х„) < -гу < 0 при ( ~ )(~ > (о и 0 < бг < 1Щ < бг. где бз, бг, )3 — постоянные, то тривиальное решение аснзттотически устойчиво. Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть: 1) система (1) обладает тривиальныи решением; 2) в некоторой области о С К" существует дифференцируемая функция о =. о(х„хг, ..., х„); 3) точка х = (хг, хг, ..., х„) = 0 принадлежит границе области У; 4) Зго > 0 такое, что о = 0 на той части границы области У, где лхн < гог 5) в области У выполняется неравенство о > О, а при г > (о также и неравенсншо йо до — — у,~)ш(х)>0, хб(г, Ф югдх; где функция ш непрерывка.
Тогда тривиальное решение системы (1) неустойчиво. 1.4. Условна отрицательности всех деаствительаых частей корней уравиениа аоЛ" +агЛ" '+ ... +а„гЛ+ан — Оз ае ) О. с дсйствительаымн иоэффициеитами. Необходимым условием отрицательности всех действительных частей корней уравнения Л +а,Л + ... +а„,Л+а„=О, >О (9) являянся неряненстпа аг > О, о = О, и. Матрица вида аг ао 0 0 0 0 ... 0 аз аг а, ао 0 0 ... 0 аз а, аз аг аз ао " . 0 (10) 0 0 0 0 0 0 ... а„ полУчаемам заменой чисел аг с индексами ь > и нли о < 0 нУлами,нвзынаегсЯматРацей ТУРвнца. 27б Гл, б. устойчивость и фиговые травкторви иритерий ра са — Гррваца. згля отрицательности всек действительнмс час!ней корней уравнения (9) необходшео и доситточиа, чтобы были тьмхсительными есе главные диагональные миноры мояцгицы ))Ренцо! а, ао О 44! — — аЗ, йз — — ~ Дз= Оз Оз а! (11) 'ЗЗ 'ЗЗ О5 аб аз ХритерийЛьеиара — Шивари. Необходимо и достаточно, чтобы все а! > 0 и чтобы Ь„! > О, Ь. З>О,Ь4 5>0,....
)(ритерий Михайлова. Необходимо и достаточно, чтобы а„а„! > 0 и чтобы корни многочле- нов р(О = а — а. б + а ( — ..., 2 ! 9(Ц) — О ! — О4-50 + Оо-50 удовлетворяли неравенствам; 0<6<0 <4 <Ц < ". (12) (13) 15'Ъ х(г) = Сехр 4( — — ) . 3) Далее, согласно определению 1 из п.1.1, имеем: 4! Цх(го) — 95(го)Ц = !Х(0) — 95(0)( = (СЦ Цх(1) — 95(г)Ц = /х(1) — 95(г)( = (х(г)( = (С!е~ ! . Пусть любое г > 0 задано. Тогда ясно, по из неравенства (3) будет следовать неравенство (4) ! Зб (см. п. 1.1), если в данном случае в качестве числа б(г) взять 2Г, М = пшх е 3 = е 3, т. е. 4>о !б б(е) = ее з .
Таким образом, решение 4р(г) ш 0 устойчиво по Ляпунову. Кроме того, поскольку г''з 1ип х(1) = Ыш Сехр 41 — — ) = О, ! бн ! 4 3)- то согласно определению 3, п. 1.1, заключаем, что зто решение асимптотически устойчиво. т 57х. 3(1 — 1)х = х, х(2) = О. а Здесь функция (р = 45(г) Ш вЂ” 0 есть решение задачи, которое требуется исследовать на устой- чивость. Все другие решения данного уравнения описываются формулой ! х(г) = С(г — 1)З.
Далее, пуси б > 0 задано. Возьмем е = 1. Тогда, несмотря на выполнение неравенства Цх(4о) — (о(го)Ц = 1х((о) — ЗЗ(го)( = 1х(го)( = (С( < б, все равно имеем неравенство ! Цхфф — ЗЗ(1)Ц = Ц (ПЦ = ( (1)( = 1С((г — П з > 1 при 1 > 1 + — т. Следовательно, нулевое решение неустойчиво. в 1 !С1 580. х! = -х! х! = — 2хз) ХЗ(0) = хз(0) = О. ° а Очевидно, пух!но исследовать на устойчивость нулевое решение ХЗ(г) ш О, (оз(г) = О. Интегрируя систему, получаем х, = СЗе ', хз — — Сре ". Пусть г > 0 задано. Найдем б = б(г) такое, что из неравенства (хЗ(0) — ХЗ(0))з + (хз(0) — хз(0)) < б Цх(0) — ЗЗ(0)Ц = Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решения слелующих дифференциальных задач; 578.
х =4Х вЂ” г'х, х(0) = О. т Очевидно, )5(г) = 0 является решением данной задачи. Разделяя переменные и интегрируя„ находим все другие решения: 277 б 1. Уепгйчввасгь следует неравенство (х«(1) — тг(1)) +(хг(1) — 242(1)) < е Ф > 0 одновременно. Поскольку из неравенспи С«2+Сг < бг С,'е " + С,'е < С, + Сг < б', то при 1 > 0 для произвольного е > О, полагая б(е) = е, получаем ~~х(Ф) — «р(1)11 < е при (!х(0) — р(0)0 < б. Поэтому согласно определению нулевое решение устойчиво. Более того, так как от 1(х(() — 42(1)11 = О, то зто решение устойчнно асимптстнчески, М 581.
й = -у, у = 2х'; х(О) = у(О) = О. м Разделив второе уравнение на первое н проинтегрировав, получаем семейство траекторий двюсения материальной точки на плоскости Рху: у +х'=С, где С вЂ” произвольный параметр. Для исследования на устойчивость материальной точки, нахо- дящейся в покое в начале координат, с помощью произвольно малого возмущения перенедем ее из ючки (О, 0) в точку с координатами х = хз, у = уе. тогда из полученного семейспа решений следует, по материальная точка будет двигаться по траектории 4 2 4 2 *+у =хо+уз.
Поскольку эта траектория замкнута и прн досшточно малых хз, уе не выходит за пределы кру- Га радИуСа 24 = )/гле+ уг, (УО + Х44 < уег + ХО Прн 1Ха( < 1), тО тОЧКа ПОКОЯ (О, 0) уСтОйЧИВа (асимптотической устойчивости нет). М 582. * = — У сов х, у = ми х; х(0) = у(0) = О. м Аналогично проделанному в предыдущем примере имеем: ехР(- — ) созх = ехР ~- —" 2 созхе 2! г 22 гДе 1хе( < б < ~2, 1Уе~ < б. Составив фУнкиию Лагуанка «4 г ° д -«(~(- — ) ° -с) г 2 У 2 г (А — постоянная, С = ехр(- 17-) сов хе) и исследован ее обычным способом на экстремум, убелглаемся, что функция у = «р(х, у) = х +у (квадрат расстояния от начала координат) принимает экстремальные значения в точках (О, у,) и (х„о) (заметим, что исследуемая кривая симметрична относительно координатных осей, поэтому считаем, по х )~ О, у > 0).
Лепго найти, что у, = 4(1п — х2 — — шсс«мс. ~/ —,2 « Так как С вЂ” 1 при хег+ у1 -«О, то х2 -«О, у2 -«О. Следовательно, точка покоя усюйчнва, поскольку сколь угодно малым нозмущениям соответствуют замкнугме траектории, вкладьшшощиеся в круги сколь угодно малого радиуса). 1ь 583. Траектории сисгемы уравнений Лх Лу — = Р(х, У), Л вЂ” — 42(х, у) Гл. 6. Устойчивость и Фазввые траектории 278 изображены на фазовой плоскости (рис.29). Что мохсно сказать о поведении решений при (- +со? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? М Как видно из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
