А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 55
Текст из файла (страница 55)
=з =в Заменив ао второй сумме индекс суммирования по формуле и = и' — 4 (и' = 4, 5, ... ), имеем: н(п — 1)а„х" — ~ а„вх" = О, =з '=4 2аз+ базх+ ~ (п(п — 1)ах — ав в)х" = О. п=в Отсюда следует, по а, = аз = О, п(п — 1)а„— а„в = О. Из рекуррентной формулы а„= а(лл=лП последовательно находим: ав а, ав аз ав= —, аз= —, ах=О, аз=О, ав= 43' 54' ' ' 87 8-74.3' аз а, ав = — =, а,в — — ап = 0 и т.д. 9 8 9 8 5 4' (2) Поскольку ав, а, — произвольные постоянные, то можем положить ав — — 1, а, = 0 или ав = О, а, = 1. Тогда согласно (1), (2), имеем два частных решения: в в 13 4.3 8.7 4 3 12 11 8 7 4.3 5 хв ~з 5 4 9 8.5 4 13 12 9 8 5 4 Очевидно, полученные степенные ряды сходятся Чх Е ( — со, +со).
Решения у,(х), уз(х) линейно независимы, так как тождество у,(х) ы й~(х), й = сошг, невозможно (например, уз(0) = О, что противоречит определению у,(х)). Таким образом, решения уз(х), уз(х) образуют фундаментальную систему и общее решение данного уравнения представляется в виде: у(х) = Сзув(х)+Сзуз(х), х Е ( — со, +оо). > 545. (1 — *')ул — 4 у' — 2у = О. и Поскольку функция 1 = 7(х, у, у') =,, * ~ ы, 4ху'+ 2у является аналитической по совокушвости переменных х, у, у' (х зе +1), то сущее в тические решения данного уравнения при х ~ х1. Найдем эти решения сначала в некоторой окрестности нуля (х = О), т.е. будем искать их в виде у(х) =ос+а,х+азх + ....
з 252 Гл. 5. Приближенные мепиы решения двффереицвальвык уравнений Подставив написанный ряд в данное уравнение, получим тожаество по х: ~ и(и — Ца„х" — 2, и(и — 1)а„х" — 4 2 иа„х" — 2 ~ а„х" = О. =г «=г ««! =о Заменив в первой сумме индекс суммирования л на и+ 2, перепишем тождество в таком виде: (и + 2)(и + 1)а„ых" — ~ л(л — 1)а„х" — 4 ~ иа„х" — 2 ~ а„х" = О «=! Следовательно х х !! уг(х) =1- — — — — — х'- ... 2 2 24 Положив ао —— О, а, = 1, аналогично получаем! 5 3 а!=1, а!= —, 6 ао= 1) ) поэтому 5 г 3 уг(х) = а+ и + — х + — х + ....
6 4 Поскольку функция * )-) ~), аналитична при * оа 1, то полученные ряды сходятся только при )х! < 1. Для получения частных решений при произвольных * то 1 произведем замену х = 1+ хо, где хо ~ 1, и будем искать частные решения в шше: у(1) = ~ а„е", 1 = ° — °, =о 2аг+ бага — 2ао — ба,х+ 2 ((и+ 2)(и+ 1)а„«г — л(и — 1)а„— 4иа„— 2а„)х" гл О. «=г Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем: аг=ао, а!=он а«г=а„, и=2,3,.... Пусть ао = 1, а, = О, тогда аи — — 1, а,гы —— О, й = О, ос.
Следовательно, г « г' ! г' Аналогична, если ао — — О, а, = 1, то получим агг — — О, агам = 1. Поэтому у,(х) = х + х + х + ... = , (х! < 1. 1 — хг Нетрудно видеть, что функции уг, уг являются решениями данного уравнения н при !х! > 1.
и 54б. (1 — х) у" — 2у'+ у = О. М Как и в предыдущем примере, сначала ищем решения в некоторой окрестности точки х = О, т, е, в виде 2, а„х". Подсшвнв рял в уравнение, получаем тождество по х; ««о и(и — 1)а„х" — ~ л(л + 1)а„х" ' — 2а! + 2 а„х" : — О. «=.г ««г «=о Заменив в первой сумме индекс суммирования л на и+ 2, а во второй — л на и+ 1, имеем: 2 (и+ 2)(л+ 1)а„«гх" — ~ (л+ 1)(и+ 2)а„«)х — 2а, + 2 а„х" = О, ««о ««! =о откуда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получаем; 2аг — 2а, +ос=о, (л+2)(л+1)(а„«г — а«ы)+а„=о, и 6 К (1) Пусть а! —— О, ао — — 1. Тогда нз уравнений (1) найдем: 1 1 П а!= — —, а!= — —, ао= — —, 2' 2' 24' $2.
Аналитические првблнжевиме методы 255 После выкладок, аналогичных проделанным выше, приходим к таким частным решениям: уг(х) — 1 (Х ХО) (Х ХО) 11 + ХО 4 (х хс) ) 2(1 — ХО) 2(1 — ХО)' 24(! — ХО)' г 5+ХО З+ О 4 уг(х) = (1 — хс)(х — хс) + (х — ХО) + (Х вЂ” ХО) + ,(х-хс) +" 6(1 — ХО) 4(1 ХО)г Поскольку радиус сходимости В полученных рядов определяется расстоянием от точки ! = О до особой точки функции ! 4-4 )' —.
~, то В = !1- хс(, следовательно, функции у„уг определены при всех х, удовлетворяющих неравенству !х — хг) < 11 — хс1 из этого неравенства следует, что фУнкпии уг, Уг описьпмют все частные решения данного уравнениЯ пРи любых х и 1. !О Эвмачааве. В праамаущем примере иам угхлссь прссуммирохпь степенные рялм н, таким образом, найти аналитячесхне функции, являющиеся решениями лнфференцналыюго уравнения и лрн лругнх вогмонных х, па„— а„, (и+ 2)(п+ 1)' п = 1, сю. аг =О, Отсюда, полапщ ае — — 1, о, = О, находим: 1 а,=--, а4=0 6' Аналогично, полагая а, = О, а, = 1, имеем: 1 1 1 аг = -, о4= — —, О34Π—, 6' 12' 40' Следовательно, частные решения представляются в виде: 3 уг(х) = 1 +.
6 40 х4 уг(х) = х + — — — + .... м 6 12 548. Ху" + у!и(1- х) = О. м Пользуемся разложением хг хг !п(1 — х) = — х+ — + — + ..., -1 « * ! 2 Э О ищем частные решения в виде у(х) ос + огх + огх + 03х + г 3 ()тносизельно коэффициентов извеспгым путем получаем систему уравнений: 1 ! 1 2аг — оа = О бог — аг — — ос = О !2а — — вг — ог — — ос = О > 3 яз которой, пояыая ас = 1, ог — — О, получаем 1 1 5 аг=-, аг= —, а4= —, 2' 12' 72' 547.
ух - ху'+ ху = О. м Поскольку ре(х) ш 1 Ф О, функции р, = рг(х) = -х, р, = рг(х) = х — аналитические, го уравнение имеет частные решения, которые образуют фундаментальную систему и являются аналитическими функциями при всех х б (-ос, +ею). Степенной ряд у(х) = ~3„ о„х", и О а виде которого мы будем искать частные решения, сходится при всех х. Подставляя в ланное уравнение ряд и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему относительно чисел о„: 254 Гл. 5. прибюожевиме методм решеюи дифференциальных уравнений Следовательно, первое частное решение имеет вид: 1 2 1 3 уэ(х) =!+ — х + — х 2 12 Для получения второго частного решения полагаем найдем 5 + — х +....
72 ао — — О, аз — — 1. Тогда из этой же системы 1 ! 3 аз=о, Следовательно И вЂ” хо)у +у!п(!+хо — !) = О, или (1 — хо)ух+у!п(1+хо) +у!и (/!в „1-. Подставляя в последнее уравнение разложения \ у(!) = Ь, + Ь,г+ Ьз('+ Ьзг' + 1+ хо „, п(1+ хо)" и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1, получаем: ь 2Ьзхо — Ьо!и(! + хо) .= Оз 2Ь2 — 6Ьзхо+ Ьэ 1п(1+ хо) — = Оз !+ хо ь, Ьо -12Ьохо + 6Ьз + Ьз 1п(1 + хо)— =О, 1 + хо 2(1 + хо) Пусть Ьо — — 1, Ьэ — — О.
Тогда из полученной системы последовательно найдем 1п(1 + хо) 1 / 1п(1 + хо) 1 хонго, Ьз= — ( — х ~О, 2хо ' ' бхо ( хо !+хо/' 1 (Ьз(1 4 хо) 1 1пз(1+ хо) 1 Ь4— + х ФО, 12хо 1, 4 хо(! + хо) 2хо 2(! + хо)2) Пусть Ьо — — О, Ьэ — — 1. Тогда из системы (1) получим: !и(! + хо) 1 /!и(1+*о) 1 ь=о, ь= хо за о, Ь4 х ~О.
бхо !2хо (, хо 1+ хо/ Заметим, что из выражений для Ьг, ! = 1, 2, 3, 4, предельным переходом хо — +О мохсно получить значения соответствующих аг, 3' = 1, 2, 3, 4, вычисленных в случае хо = О. Таким образом, частные решения при хо > О можно записать тюс (в+ хо) 1п(1+ хо) (х+ хо) /1п(1+ хо) 1 у,(х) =1+ + ~+ хо бхо хо 1+ хо (х+хо) (йз(!+хо) 1 !и (!+хо) 1 + 2 + 2 12хо 1, хо хо(1+ хо) 2хо 2(1+ хо)') (х + хо) !п(1 + хо) (х + хо) /1п(1 + хо) 1 Уз(х) = х + хо + + )+....и хо 12хо '3 хо 1+ хо) 549. у" — уо+ (х — 2)у'+ У = О. м поскольку ро(х) ы 1 зо О и функции рэ = рэ(х) = -х, рз = рз(х) = х — 2, рэ = рз(х) гв 1 явшются аналитическими при всех х Е (-со, +со), то фундаментальная система состоит из аналитических на всей числовой оси функций. Следовательно, соответствующие им степенные ряды 3 4 уз(х) = х+ — + — + 6 24 Радиус сходимости степенных рядов, представляющих у,(х), уз(х), равен единице.
для полугения частных решений, пригодных 3/х Е (-со, !), сделаем замену х = ! — хо (хо > 0). Тогда данное уравнение примет внд 255 з« схоюпся при всех х. Подставляя в данное уравнение ряд 2' .а„х" и приравнивая коэффициенты «=0 при ха, х, х', ..., получаем: баз — 2а, + аа = О, (и+ 3)(п+ 2)а 43 — (и + 2)а +3 + а„= О, п = 1, 2, .... Пуси ае — — 1, аз — — аз = О.
Тогда из последних уравнений найдем: 1 ! 1 аз з а4=0 аЗ«« — аб«« 6' ' 30' 180' Следовательно х х х 3 уз(х) = ! — — — — + — + .... б 30 !80 Пусть ૠ— — а, = О, аз = 1. Тогда из указанных выше уравнений следует, что 1 1 1 а,=-, а«= — —, а,= —, 3' 12' 15' Поэтому второе частное решение имеет вид: хз х« уз(х) =х+ — — — + — + .... 3 12 15 Наконец, если положим ас = а, = О, а, = 1, то пслучнмз 1 ! аЗ Ю а4 з аг— 4 20' Следовательно, 3 .4 3 уз(х) = х + — — — — .... ь 4 20 у(х)=х ~ а„х.
«3Х Подставив ряд в данное уравнение и приравняв коэффициенты при *, х, ..., получим: о а«г(г + 1) = О, а,(г + 1)(г + 2) = О, а„ =— (1) (и+ г)(п+ г+ 1) Ясно, что нетривиальное решение возможно только при условии аа+азз ,-4 О. Пусть ૠ— — 1, аз — — О. 2 Тогда из псрвого уравнения (1) следует, что т(г + 1) = О. Взяв г = О, из третьего уравнения (1) последовательно находим: 1 аз —- - —, аз=о, 2 3' ! 1 а4=, аз=о, аз=- —, 2-3 ° 4 5' 6! Следовательно 2,4 уз(х> =1 — — + — — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
