А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Првблвмеивые мепввз решения двгуферевииальвык ураивеввй йп = хг — уг = (1,2) — (1,037) = 0,365! йгг = (1,3) — (1,073) = 0,538; 270 йзг = (1,3) — (1,09!) = 0,500; йн — — 0,667; 0,1 0,1 уг уг + — '(йгг + 2йгг + 2йз, + йн) = 1,037 + — ' (0,365 + 1,076 + 1,0 + 0,667) = 1,141; йгг = хг — Уг = (1,4) — (1,141) = 0,658; йп = (1,5) — (1,207)г = 0 793; йзг —— (1,5) — (1,220) = 0,761; йзг = (1,6) — (1,293) = 0,888; уз = !з!41+ — ' (О 658 + 1,586 + 1522-г- О 888) = 1,296; 0,1 йгз = хз — Уз — — (1,6) — (1,296) = 0,880; йгз = (1з7) (1 384) = 0,975; !гзз = (1,7) — (1,393)' = 0,949; йоз = (1,8) — (1,486) = 1,032; 0,1 уз — — 1,296+ — '(0,880+ 1,950+ 1,898+ 1,032) = 1,488; йи = хз — уз = (!з8) — (1,488) = 1,026; йм — — Д,9) — (1,591) = 1,079; йзз = (1,9) — (1,536) = 1,063; йн = 4 — (1,701) = 1,109; О,! у, = 1,488+ — '(1,026+ 2,158+ 2,126+ 1,109) = 1,702.
м 574. уо = Ху, О < Х < О,б; у(О) = 1, у'(О) = О. ~ Вводя новую переменную «(а:) = у'(х), переходим к системе дифференциальных уравне- нийй «'=ху, «(0)=0; у'=«, у(0)=1; 0<и<1. Пусть Л = 0,2, тогда, согласно методу Рунге — Купа 4-го порядка„по формулам (3), (4), п.3.2, получаем: йн = хгуг, Рп = «гз йгг = (аз+ 0 1)(Уз+ Оз!Рв) Рл = «г+ Оз)йггз йл = (хг+ О!)(Уз+ О 1рл) Рзг = «г+ Оз)йггз йа — — (хг+0,2)(у, +0,2рзг), ре = «г+ 0,2йзг, 0,1 / 0,1 г Юы — — «г+ — (йгг+2йгг+2йзг+Йа) Угог =Уз+ — (Ргг+2ргг+2рзг ч Рог) тг=021 уо=!, «о=о, 1=0,1 2 Отсюда, полагая последовательно 1 = О, 1,...
и учитывая начальные условия, находим: йм —— О, Рю=о Рго = О, йю = 0,1, йг, = (х, + О,!)(у, + 0,1рн) = 0,3 . 1,003 = 0,30, йзг = Оз3'1з005 = О 301 Рп = «г + 0,1йн = 0,04, йы -- (х, + 0,2)(уг + 0,2рзг ) = 0,404, 0,1 «г=«г+ — (йн+2йп+2йзг+йм) =0>02+ 3 йзо = 0,1, 0,1 «г = †' (0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,02, йн =,р, = 020, йоз = 0,2, 0,1 уг = 1+ — '(0,02+ 0,02) = 1,001, рн =«,=ОО2, рл = «г+ Ог(йгг = 0,02+ 0,1 0,3= 0,05, Р„=, +0,2йи = О,ООО, — (0,20+ 0,60+ Оз602+ 0,404) = 0,080, 221 $3. Численные методы решения дифференциальных уравнений о,! О,1 уг = у, + — ' (роз + 2рп + 2рн + рн) = 1001 + — ' (002 + 008 + 010 + 008) = 101 0, у = 0,4 1,0РО = 0,404, рп — — зг — — 0,080, йп = (хо + Ог!)(Уг + Оо!Ри) = Ог5 1 018 0 509 ры = зг+ 0 )йзг = 0 080+ Ог1 ' 0 404 = 0 120 йзг = (хг+ 011)(уз+ 0,1ргг) = 0,5 1,022 = 0,511, рз, = гг+ 0,1й„= 0,080+ О,! 0,509 = 0,131, йог =(хг+ОР(уз+ О 2рп) = О 6 1 036 = 0622, рог — го+ 02йзг — — 0 08040 2.0 51! = 0 182, 0,1 гз = гг ~- — (йзг 4 2йп + 2йзг + йог ) = О 080+ — ' (О 404+ 1 О! 8 + 1 022 + О 622) = О 182, О,! О,! 0,1 Уз = Уз + — зрзг + 2рзг + 2рзг + рог) = 1 010+ — - (О>080+ О 240 о- О 262 + О 364) = 1,041.
> 3 3 В следуюших задачах с помошью мета а !Дтсрзоера вычислить приближенно их решения. Вычисления вести с тремя знаками после запятой. Для нахождения недостаюших значений искомых функций использовать ме год степенных рядов или метод Рунге — Купа 4-го порядка. 575. у'=у, о <х < 05, у(о) = !. м Применим формулу (5), и 3.3, взяв Ь = 0,1. Тогда 1, Ь Ь узм = уз ЬФ 4 — гхоз з — — уз + Ьуз+ — (уз 4 уз !) = Уз+ 1зуз+ — (уз — уг з) = 1,15уз — 0,05уз з. (1) 2 2 Для вычисления значения у, воспользуемся методом Рунге — Кугга. Имеем: Ь Ь йг — — Уо ь — )оз — — 1,05, йз — — Уо .ь — !гг = 1,052, йо = уо + Ьйз — — 1,105, 2 ' ' 2 0,1 У| = Уо+ — (йз+2й, +2)оз+ йо) = 1,105, йз — — уо — 1, уг = 1,15у~ — 0,05уо = 1,! 5 1,105 — 0,05 = 1,221, уз = 1 15уг 0 05уз = 1115 1„221 — 0,05. 1,105 = 1,349, уо = 1,15уз — 0,05уг — — 1,15 1,349 — 0,05 ° 1,22! = 1,490, уз — — 1,!5уо — О 05уз — — 1,15 .
1,490 — 0,05 1,349 = 1,649, (2) Погрешность этих результатов имеет величину 0(Ь'), т.е. можно считать, что в кюкдом иэ равенств (2) два знака после запягой верны. и 576. у' = —, ! « . 1,5, УН) = О. э+у М Применяя формулу (6), п. 3.3, выбрав шаг интегрирования Ь = 0,1, ! 5 Уз+о =Уз+Ф+ зззрз-з+ ззз рз-гг 2 12 где г хз г Ф— - 0,1, 2!уз з=Ф вЂ” Ф-и ЬФ г=гйрз з — зйрз-г, (2) хз + уз х, = 1+0,П, уо = О, 1 = 2, 3, 4. Нелостаюшие значения уз и уг мы вычислим, использовав метод степенных рядов, С этой целью найдем у'(1), у"(1), у"'(1), ..., исходя из данного уравнения. Поскольку зюзрешцость на шаге составляет величину 0(Ь') ш !О з, то все знаки в выражении для у, можно считать верными.
Далее, полагая в (!) последовательно 1 = 1, 2, ... и учитывая найденное значение у,, а также начальное условие уо = 1, получаем: 272 Гл. 5, Приблввеииые методм реиквия двфзуерешшальиых уравнений Имеем: у'(1) = 1, уо(П =О, (х + у)(хг + 2ху) — хо (2х + 2у — хоуо)(х + у) — 2(1+ у )(хг + 2ху — хгу ) уи(х)— + у)з Поэтому по формуле Тейлора, У (1) у(х) = х — 1+ — (х — 1)'+ О ((х — 1)') . 3 (3) Отсюда находим где 0,!х', Ог!хоо = 0,101, до = — ' = О,1.
из+Уз хо+ Уо г»до = О, 2г~до — — 0,002, а из (1) находим уз = 0,309. Аналогично Следовательно, 2здз = 0,002, при 1 = 3 имеем 0,1хг дз = =0105 Ьдг =дз — дг =0,002, хз+ Уз 15 Дг = г5дг-Ьдг =О, г г У4 = уз+ до+ — гздг+ — гз дг — — 0,415. 2 12 Наконец, при 1 = 4 из формул (1), (2) с учетом уже имеющихся величин получаем: до = = 0,108, г5дз = до — дз = 0,003, Ь дг = гудз — (лдг = 0,001, хо+ уо ! 5 Уз = Уз+до+ г5дз+ — г5 дг = 0,525.
> 2 12 577.яро+у'+ау=О, О<я<1, у(О)=1, у'(О)=О. м Весла новую переменную» = у', приходим к задаче: у'=», у(0)=1, » =-у — —, »(0)=0. х Применяем формулу (5), п. 3.3, и выбираем шаг )з = О,1. Имеем: Угоз — — Уз+0,1Рг+0,0515рг г, »г+, — — »г+0,1дг+0,05ЬДг з, где »г И = »гг й = Уг г»Рг-з = Рг Рын 1»дг-з = Ф Дг-з хг хг — — ОП, 1=0 9 уо=1, »о=о. (2) Для начала счета нам нугкно иметь значения у(0,1) = уз, »(0,1) = »г = у'(0,1), а таске (в силу неопределенности 11 ) до. Все эти величины мы найдем, обратившись к методу степеннмх рядов.
0 Ищем решение данной задачи в виде У(х) = 1 + агх + азхз + " (3) 0,001 У, = у(1,1) = 0,1 + ' = 0,100, уг = у(1,2) ге 0,2 + 0,003 = 0,203, 3 Заметим, что погрешносп формулы (1) на шаге интегрирования составляет величину О(6~), по- этому в формуле Тейлора (3) мы взяли только три первых члена разложения. Далее, полагая в формулах (2) 1 = 2, нслучаем; О,)х г д, = ' = 0,103, г59~ = д, — Ч„2з до = г5дз — 2здо, хг Ч- уг 273 б 3.
Чаелеваые мепщм решения диффереацшиьимх урааиеаий Подставляя ряд (3) в рассматриваемое уравнение и приравнивая козффипиенты при олинаковых степенях х, получаем: 1 аз=--, аз=О, 4' Следовательно, а у(х) = 1 — — + .... 4 Отсюда нахолим у, = у(0,1) = 0,998, л, = у'(0,1) = — 0,05, дс —— у"(0) = -0,5. Далее считаем по формулам (1), (2). Полагая в них 1 = 1, 2, ..., последовательно заполняем следующую таблицу: Упрвжиеааи для самостоятельной работы Построить решения следующих задач Коши, используя разложения в степенные ряды: 1.
у' = х+ у, у(0) = 1. 2. у' = ху, у(0) = 1. 3. у' = х — 2ху, у(0) = 3. 4. у' = ху' — у, у(0) = 1, у'(0) = О. 5. у"' = — х'у" + у'+ 2У, у(0) = 1, у'(0) = О, у" (О) = О. Построить приближенные решения в виде многочлена четвертой степени: 6. у' = у' — х, у(0) = 1, 7. у' = хе" + у, у(0) = О.
8. у' = хз + у', у(1) = 1. 9. у" = х — у , у(0) = 2, у'(О) = О. 10. у'" = у" + у' + у — х, у(0) = 1, у'(О) = у"(О) = О. Построить приближенные решения следующих краевых задач: 11. у' = х' — у', у(1) + у(2) = 1, 1 < х < 2. 12. у' = х + — „, у(0) — 4У(1) = 5, 0 < х < 13. у" = ау'+уз, у(0) =О, у'(1) = 2, 0 < х < 1. 14. у" = у' +у, у(1) = 2, у(2) = 3, Построить приблюкенные решения в виде многочлена третьей степени относительно раметра р лля следующих задач Коши: 15.
у'= у — 5рх, у(1) = 2. 16. у' = хи+у, у(1) = 1+ Зр. 17. у'= рх +у~, у(0) 18. у' = 1+ х+ руз, у(0) = ап р. 19. у' = соя х + Р 1п(1+ У), У(0) = р. 20. у' = ап х+ ре", у(0) = 1 — р. 1 < х < 2. малого па- Построить асимптоты интегральных кривых следующих уравнешай (е — малый параметР, е — ~ +со): И. еу'=1 — ут. 22. еу'=х' — у'. 23. ~у'=у — (1+х)т. 24. еу'= 1 — у'. 25. у'= — у'.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 !О 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 0,998 0,991 0,983 0,966 0,944 0,918 0,889 0,854 0,815 0,772 0 — 0,050 — 0,100 -О,!49 — 0,197 — 0,244 -0,289 -0,332 — 0,373 -0,411 0 — 0,050 — 0,100 -О,!49 -О,! 97 -0,244 -0,289 -0,332 — 0,373 -0,411 -0,500 -0,498 -0,491 -0,486 -0,476 -0,456 — 0,438 -0,419 — 0,394 -0,359 -0,050 -0,050 -0,049 — 0,048 — 0,047 -0,045 -0,044 -0,041 — 0,038 0,002 0,007 0,005 0,010 0,020 0,018 0,019 0,025 0,035 Глава 6 Устойчивость и фазовые траектории 5 1. Устойчивость 'чг > гь выполи»етс» неравенство Цх(1) — р(1)Ц < г, где через Ц .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
