А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 57
Текст из файла (страница 57)
у' = е" *+ Ру, у(0) = — Р. < Как и в предыдущем примере, имеем: У(х, Р) = Ус(х)+РУПх)+Р Уг(х)+ ..., где ! д'у уг(х) = —— 2 дрг р=о ду(х, Р) уо(х) у(х О) у3(х)— дР р=о д У~(х) = — Ур(х Р) д р=о ! д' ,1 Уг(х) — 2 д г Уо~ р=о уо(х) = у„'(х, О), Используя этн соотношения, из данного уравнения находим: оо-о г г Оо-о уо = е При этом начальные условия имеют вид: уо(0) = уг(0) = ... = О, у,(0) = -1. (2) Иэ первого уравнения (1) следует, что е и = е '+ С,. В силу первого начального условия (2) Сг —— О, поэтому уо — — х.
Далее, из второго уравнения (1) нетрудно найти уг — — Сге* — х — 1. Постоянную Сг определяем, пользуясь последним условием (2), что дает Сг = О. Следовательно, у, = -х — ! . Аналогично решаем задачу: уг = уг — х — 1+, уг(О) = О. (х+ 1) есть решение поставленной задачи. М 560. ху' = Р*'+ (и у, у(1) = 1. М Принимая во внимание аналитичность правой части как функции переменных у, Р при у > 0 и пользуясь меюдом малого параметра, решение задачи ищем в виде У(хо Р) = Уо(х)+ Руг(х)+ Р Уг(х)+ (1) Далее, учитывая соотношения: у(х, 0) = уо(х), ду(, Р)~ д'у(, Р)1 = у!(х), = 2уг(х), в,=.
' ю 1„, дг у*(х, 0) =уо(х), — у',(х, Р) = у',(х), —,у',(х, Р) =2уг(х)~ из данного уравнения дифференцированием по параметру Р находим: г г В Уг Уг хуо=!пуо, ху', =х + —, хуг= — — —,, (2) уо' уо 2уо' Исходя из начальною условия у(1) = 1, из (1) получаем начальные условия для функций У„ г = О, со: 262 Гл. 5.
Приблшкевиме методы решения двфферешшальиых уравнений Таким образом, окончательно имеем: 2 у(х Сг) = х Сг(ха !)+ (е — х -2х — 1)+ .. и 2 2 2 562 х=х+р(х -у) (У=У Сг( +У) х(0) = 1 — Сг, у(0) = Са м Подставляя в данные уравнения ряды < х(С, Са) = ха(С) + !ах!(С) -5С2 хг(С) + ..., у(С, р) = у П) + ру (П б р у (С) + и приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях Сг, получаем: 2 ха — — ха, ха(0) = 12 х, = хг+ха — уаг хг(0) = — 12 хг = хг+ 2хат! — 2уау! Хг(0) = 02 2 2 уа —— уа, уа(0) = О, у, = у! — Ха — уа! Уг(0) = О, уг = уг — 2хах, — 2уау„уг(0) = 1. Отсюда интегрированием последовательно находим: ха = е, уа = О; 2! ! 22„ х! .= е — 2е, у,=е — е 2! г! н в хг = е — 4е + Зе, уг = 4е — е — 2е . Таким образом, ряды (1) можно записать в виде; х = е + Са(е — 2е ) + р (е — 4е + Зе ) + ..., у = Са(е' — е ) + Са (4ев — ег' — 2е') б ....
М ха(С) = япС. Принимая во внимание это значение, иэ второго уравнения системы (2) находим 1 1 хг(С) = Сп 5!пг/31+ С!! созгГЗС+ — — — со521. 6 2 Отсюда в силу требования 2я-периодичности функции х, имеем: 1 1 хг(С) =- — — — со521. 6 2 Анююгичным образом из третьего уравнения сисшмы (2) полу шем 1, 1 хг(С) = — -япЗС+ — япС. 6 2 Подставляя зм х„х„... в (1), приходим к искомому решению: х(С, Сг) = 5!и С + Са ~- — — со525) + Р ~ — Яп ЗС + — 5(пС) + ...Ь 'хб 2 ) 'х б 2 В ззлаЧак 563 — 566 с помощью малого параметра найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения. 563. х,'-Зх = 2япС+ рх'. м Согласно методу малого параметра, периодическое решение ищем в виде: х(С,С2) = ха(С) + Сгхг(С) + Са х,(С) + (1) гле х, (а = О, сю) — 22г-периодические функции.
подставляя разложение (1) в уравнение и при- равнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем: йа+Зха =2япг, хг+Зх! — — ха, хг+Зхг =2хайг, г (2) Первое уравнение имеет общее решение ха(С) = Са йп 2/ЗС+ Си сох 2/ЗС+ Яп С. Поскольку требуется найти 2х-периодическое решение, то в последнем равенстве следует поло- жить Сю = Сх = О. Следовательно, 263 $2.
Аивлитичесвие прибзпьмхииые методы 564. х+ зх+ х' = 2рсоьс. м Подставляя ряд х(С, р) = х„(С) +Сьх3(С)+ р хз(С)+ ... в данное уравнение, известным способом получаем систему уравнений: ха + Зхо + хо = О, з 43 + Зхг + Зхозх, = 2 сов г, 2 2 хз + Зхз + Зхох3 ф Зхохз — О, 3 2 х3 + Зх3 + х3 + ЗхохЗ О из которой последовательно находим 2к-периодические решения: 3 1 хо(С) ь— а О, х~(С) = соьС, хз(С) зл О, хз(С) = — — соьС ф — соьЗС. 8 24 Следовательно, х(С,)3) = рсоьг+ — (,-соьЗС вЂ” Зсоьг) + ....
М 8 3,3 Примечаяле. Нетривиальные решения уравнения Уо + Зхо + хо = О выражаются через эллиптические 3 функцп», не явдяюшиес» 2к-периодическими. 565. х+япх = сьяп21. < Как и в предыдущем примере, степенной ряд х(и2 С) = хо(С) +Сьх3(С)+ 12 хз(С) + ... подставляем в данное уравнение и получаем тождество по параметру Сь, из которого следует система уравнений: Уа + япхо = О, х, +х, соьхо = 5!п21, 2 Х3 хз 1-хосгжхо — — ьгпхо = О, 2 531 ) Хз+ хз — — соьхо — х3хзяпхо = О, 6) Первое уравнение в (1) имеет серию т-периодических решений: хм=йг, Себ Е. Второе уравнение дает 53П 21 хы ( — 1)" — 4' хз — О. Из четвертого, имеющего вдд (-1) 5!и 21 аз+ (-1) хз = 6 И-1)" -4)3' следует х-периодическое решение (-1) ( яп 6С 4+ ( — 1) 24И-1)ь — 4)3 'ь 36 — (-'1)» 5 Таким образом рьт2С ( — 1)крз ~ япбг 4+(-1)" ьшгг~+ ....М ( 1)о 4'24И 1) 4 ~~36 (-1) 5 гсмвмчьгвм.
доя получения системы (1) удобно пользоваться разложением ьгв(ха+ в) = 51пхосскв+ япвсоьве, гб4 Гл. 5. Приблшкеввые методы реяяввв лифферевцвальзявк уравнений где и = дха+д хр+ ..., а также 3 3 ! сова = ! — — в + — в — ... 2! 4! 3 ила=в — — и + 3. В Результате нмоем в!и(хо т в) = А яика + Всовхо, А=! — — ха — д ваха+ ..., В=дха+д хз+ д 3 з г 2 Ф 3 з ... — — ха+ б (2) (3) хо(т) = Асов(т+ уз) 566. х + х = яп ЗС вЂ” яп 21 + )ах~. М ПРЕДСтаыалл РЕШЕНИЕ В ВИДЕ РЯДа Х = Хо Ь Сава + ... ОтНОСИтЕЛЬНО фУНКЦИй Ха, Х, известным способом получаем систему уравнений; йо+ хо = яиЗС вЂ” яи21, 3 ха+ха = ха, ар + хз = 2хох„ Из первого уравнения системы (1) имеем: 1, ! хо = Асовв+Вял(+ — яи21 — — вшЗС, 3 8 где А,  — постаянные интегрирования.
Эти постоянные мы определим, исходя из требопзния, чтобы в правой части второго уравнения системы (1) отсутствовали так называемые резонирую- щие члены. В данном случае резонирующими членами будут функции С яиС, сов!, поэтому в правой части ( 1 1 Х А+В А — В Асов! + Вял(+ — в!и 2! — — яп ЗС) = ч- сов 2С+ 1 сов 4! 1 сам бС А + — — + — — + АВ в!и 21 + — (в!и ЗС + в!и С)— 18 18 128 128 3 А,, В 1  — — (ми 41 + ми 21) — — (сов 21 — сов 41) — — (сов С вЂ” сов 5С) + — (сов! — сов ЗС) 8 8 24 3 следует полозкить А = О, В = 1!. Тогда из (2) получим 1 1 1 ха(С) = — (япС вЂ” яиЗС)+ — яи21.
8 3 Аналогично находятся функции х, и т.д. я В следующих задачах с помощью метода маааопз параметра приближенно найти периодические решения данных уравнений. 567. й+ х = са(х — х'). Н Поскольку правая часгь от С явно не зависит, то, согласно п.2.2, сначала сделаем замену - = ПС+ Ь,Р+ Ьз '+ ...), где Ьп в Е М вЂ” постоянные, подлежащие определению.
Тогда получим уравнение Ах 3 3 3 3 3 — 3 (!+Ьар+Ьзр + ...) +а = я ( — (! ~ьар+Ьзв + ...) — ( — ) (1+Ьадтьзр + ...) ), (1) Далее, приближенное решение уравнения (1) ищем в виде х(т, и) = хо(т) + рх,(т) + р хз(т! + .... (2) Подпилив (2) в (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях и, получим: хо + хо .з йа + ха = хо — ха — 2ьахаа ° 3 ° 3 ° 3- Уз + хз = Ьахо — 2Ьаха + йа — ЗЬайо. — Зйайа — Ьайо — 2Ьзха решение первого уравнения 265 б 2. Аналитические вриблвжевные методы (А, |р — произвольные постоянные) подставляем во второе уравнение (3): б,+х, = -Аяп(т+у|) (! — А яц|(т+|р)) +2Ь,Асоз(т+|р) = =(' ) 3 2 АЗ вЂ” 4 — А — А) яп(т+ р) — — з!и 3(т+ (2) + 2Ь,А сот(т+ р).
4 Поскольку мы ищем периодические нетривиальные решения, то в (4) должны положить -А — А=О, 2Ь!А=О. Отсюда следует, что Ь, = О, А = -7-. А тогда из уравнения (4) негрудно найти, что 2 73' (4) 1 х,(т) =А,соз(т+р|)+ — япЗ(т+у|), А„р| — постоянные. !2Л Учитывая найденное, третье уравнение системы (3) представляем в виде: б|+ х, = х| — Злой| — 2Ь2бо = 4 2 = -А, (1 — 4яп (т+ у|)) яп(т+ р )+ — ь,со|(г+ 52) + (1 — 4яп (т+ у|)) сов 3(т+(р) = '3 42/3 = А, (Яп(т+ У|2) +Яп(т — У|2 + 2У|) — Яп(Зт+ 2У|+ У||)) + 462 1 б ( — + — у! соз(т + (с) + — (сов 5(т + у|) — соз 3(т + у|)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
