А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Затем интегрируем вспомогательную систему дифференциальных уравнений (см. (13), п. 2.4): г(х фл Охз д ОР !Рз Фз 2рз 2рз 2рз 2(рз> + А + рзз) -р> -рз. Рз Из последних трех уравнений атой системы получаем: з з с р, = С,е, рз = Сге, рз = Сзе . Из первых трех уравнений с учетом полученных значений для ро, й = 1, 2, 3, находим х> = 2С>е +Со, хг = 2С>е'+ С», хз — — 2С>е'+ Со, г = (С> + Сз + Сз)е" + Сп 2 > г дг пх22. г = р, + рз + рз! х,о — — в, + в,, хзо =- вз — вз, хи — — О, го — — ! — в, + вз (р и гз ' »=1,2,3). м Действуем по методу Коши, изло:кенному в п. 2.4.
Именно, сначала определяем функции Р,о, Рзо, Рзо из системы уравнений (см. (12)): го-Р>зо-Рзо-Ров =О, -1-Р>о-Рог = О, ! -Рм Р„= О. Гл. 4. Уравнении и частных проюеадиык первого порошка 23В = вг+в„хг~ =в, — вг> и=о го=о зог~ Ог Рг! 1г Рз~ ~'~/Вг Вн В результате находим Сз = О, Сз = — 1, Сз = ~т/вгвгг Ся = вг+вг, Сз — вг — во+2, Сь = т2з/вг-вг, Сг — О. Таким образом, параметрические уравнения искомой поверхности имеют вид (см.
(15), п.2,4): х, =аз+во хг---2е +2+в, — вг, хз —— х2~/в~ — вг е'+ 2~/вр - вг — — х2~/в~ - гч(е' — 1), в = (1+ во — в,)е". > 5 зЗ. в = хгрг +хоро +хзрз +Рз +Рг+Рз, хзо = 1, хго = вп хзо = вг +вы оо = 1+во. г г з. г < Как н в предыдущем примере, применяем метод Каши (см. п. 2.4). Составляем и решаем систему уравнений относзпельно рм, рх, рзог г г г ! + вг =Ри+ вгрго+ (аз + во)рзо+Рм+Рго+Ри, 2вг — Рю Рзо = Ог Рзо = О. Отсюда находим — ! х 3!/5 — 20вг Рго = 2вн Рго = 2 Далее составляем и решаем систему дифференциальных уравнений: г(хг г)хг г)хз брг з(рг ьзрз хг + 2Рг хг + 2Рг хз + 2Рз + + 2 з г 0 0 0 рх,+Рх,+Рхз+2ЕР. о=г Из последних трех уравнений следует, что Р» = Сз, й = 1, 2, 3, а из первых трех— хг = Сье — 2Сг, хг = Сзе — 2Сг, хз = Сье — 2Сз, в = (СзСь+СгСз+ СзСьзе +Сг. 3 з / Используя начальные условия хз — — 1, х, =в„хз =во+от, и=о ' и=о ' и=о в! = 1+аз, г г=о з~5 - 20в', 2 — 1х Рз~ = О, Рг! = 2в„Рз! и=о ' и=о ' и=о определяем постоянные С„з = Т, 7: -1 х зг/5 - 20в~~ Сг = ", Сз =2вг Сз =О, С4=1+2Сг =х 5 — 20вгн Сз = в, + 2Сг = 5вг, — 3 х 3/5 -20вгг Сг = 1+вг — СгС4 — СзСз — СзСь = +вг.
2 Сь — — вг+ во+ 2Сз = в, + вг Итак, параметрические уравнения искомой поверюзости имеют вид: хг = х)/5 -20вге'+ 1 х з /5 - 20вгг = х~/5 — 20вг(е — 1) + 1, 1 г — —, г -3 ~ (/5 — 20вгг хг — — (5е' — 4)вг, хз = (вг + вг)е', в = -(5 ~ !/5 5 — 20вгг)е'+ во+ 2 2 524. Рг+рг+рз+Рь-1 = 0; хзо = 1, хго = вз, хзо = во+воз хм = во+во+вз, во = вг+ог+во. г г з з г М Поступаем аналогично проделанному в примерах 521-523, т.е. действуем по следующей схеме. а) Решаем систему уравнений: Рзо+Ри+Ри+Рьо — 1=0, 2вз — ри Рзо-рв= О, 2вг — Ри — роо=О, 2в> — Рм=О. з з Ддя определения постоянных интегрирования воспальзуемся начальными условиями (см, (14), и.
2.4): й 2. Нелинейные удавления первого норвдвз 239 Огсюла имеем: рез = 2вз, рзо = 2(вг — вз), рм = 2(в, — вг), р,о = й 1 — 4(вз — вг) — 4вз 4(вг — вз)г. б) Интегрируем вспомогательную систему: дхз дхг дхз дх» дг Йрз дрг дрз дро 41. 2Рз 2Рз 2Р, 2Р, 2(Роз +Рог + Рог+ Р»г) О О О О Из последних четырех уравнений следует, что р» — — С», й = 1, 4; а из первых четырех— » й=1 4 в=2) С»1+Рз х» = 2С»1+Р», в) Исходя из начальных условий х»~ = хм> Р»~ =р»о> й = 1, 4, л=о ' и=о определяем постоянные интегрирования С», Р„: С» =Р»о, Р» = тю, Рз — — во, й = 1, 4. г) Записываем параметрические уравнения искомой поверхности: во> и=о хз — — х2 +1, тг = 4(вз — вПВ+ вз, хз = 4(вз — вз)1 + вз + вг, х» = 4взг+аз + во+ аз, в = 21 + аз + вг + вз. М г Построить решения следующих дифференциальных задач: 1О.
(у — и)ф-+(и — х)$ =х — у, и =у= -х. 11. (у+2из)Яи 2хгиуи = хо, а= и, у= хо. 12. (х — и) дд~ + (у — и) у~Я вЂ” — 2и, х — у = 2, и + 2х = 1. 13. гй х Д + у и = и, у = х, и = х . Управ»пеняя для самостоятельной работы Построить общие решения следующих уравнений: 1. У~ +(2е* — У)~„"- — — О. 2. 2изхУ"- — У2гу = О. 3. хУ~Ч+Ура+хУЩ = О.
4. Уд~ +ирй = У~. 5. х иу-+У ид- =а+У. б. Уи~- -хиу- = е . г ди г ди Ви ди о х у ' ' х у Построить решения слелующих задач Коши: 7. ~~- — уф = О, ~(„-~ — — 2х. 8. у у"-+*рой = и, ~(,-~ —— уг. Я. хд-=+ уй — = и — ху, и(,щ = 1+у, Глава 5 Приближенные методы решения дифференциальных уравнений 4 1. Зависимость решения от начальных условий и параметров (4) !(х; т, = Л(' х! хз " *. и), (5) хг(0) = аг(р), ! = 1, и, (6) (и — параметр) функции Д, а; — непрерывны и имеют непрерывные производные. Тогда решение (х„хз, ..., т„) имеет непрерывную производную по параметру р и его частные производные дю = а;, ! = 1, и, являются решениями слелуюшей задачи: !(и; ' ду! ду! (7) М .
!дх! ' др' а;(О) = а!(и), !' = 1, и. (8) Отметим, что частные пРоизвоДные уРЬ, до вычислвютса пРи х! = хг(1), ! = 1, и, тле хг(1)— фл решение задачи (5), (6). 1.1. Об оценке погрешности приближенного решения. Пусть у = у(Г) — вектор-функция, являюшэяся приближенным решением задачи Коши для системы дифференциальныя уравнений: де Ж вЂ” = Щ х), х!!-е = х(0), (1) где х = (х„хз, ..., т„), у = (у!, гз, ..., )'„). здесь и далее будем считать, что векюр-функция у непрерывна по переменным 1, х и удовлетворяет условию Липшица по переменной т: И,У((, у) — 7(1, х)Ц < КЦу — хИ, К = сопи, (2) где Ц . Ц обозначает какую-либо норму вектора; ИхИ= Е~*.Г' ~(хЦ=Е~х~ (Щ= !=. ! !'=! !К!<а Пуси„далее, приближенное решение у(1) задачи (1) удовлетворяет неравенствам: (! — — Я, у))( < е, Цу(0) — х(0)И < б.
(3) Тогда справедлива оценка погрешности: Их(1) — у(С)Ц < бе !'!+ — (е !'! — 1). 1.2. Об отыскании производных от решений по параиегру. Пусть в задаче 241 !8 1. Завиевместь ршиеиии иг иачвлышск уелимей и параметров В частности, если ае(,и) = р, ас(р) = сопз! прн ! ,-е й и функции у!, ! = 1, п от р не зависимы, то из (7), (8) следует, что ди! " дс, — ' = 2 т— 'и;, и (0) = О, ! зе й, ил(0) = 1, д ! !дх! где и; = д-~. . — дх В следуюших задачах (525 — 528) оценить погрешность приближенного решения на укаэанном отрезке (волной отмечено приближенное решение). х 1 1 525.
у'= — —, у(О) =1; у=1- —, 1х~ < —. 4 1+у!' ' 2' 2 и Действуем согласно изложенному в п. 1.1. Правая часть этого уравнения, очевидно, непрерывна по совокупности переменных т, у ((х! < 2, — оо < у < +ос) н имеет непрерывную же 1 по у производную ~у гу д. (! + !)! причем Нв~( 2Ь! ! 2М « — !. ду~ 1+(уР !+~у(! !+~Ч(з Следовательно, в качестве постоянной Липшица К можем взять единицу. Далее, по формулам (3), и.
1.1, имеем оценки: ! --- -~=г --— 4 1+У ~ ~2 4 8 — 4'+х ~ 4(8 — 4х+х!)~ !бй!<! Ь вЂ” 4х+ ~ б4' 1у(о) — у(о)! = о. Поэтому е = тт, б = О. Таким образом, согласно (4), и. 1. 1, получаем оценку погрешности: 1 ! еэ — 1 (!у(х) — у(х)!! = )у(х) — у(х)( < — (е!*! — 1) ( «0,011. М 526. *', = *, — *„*', = Сх „х (О) = 1, х (О) = О; х, = 1+ С+ — С, Уз = — С, ~С~ «О 1. 1 ! „1 2 ' 2 ! и пусть ))х(! = )х! ) + (хз!.
тогда согласно (3), и. 1.1, имеем (! — — $(С! У)~! = ~ — — ~!(С, хз, Уг)~+ ( Л(С! х!! Уз)~, где у!(С! х„Уз) = У, — хи уз(С! Уы х!) = Сх!. Следовательно, )~ у(с, у)~! = )1+1 — (1+с))+ ~с — с(!+с+ — с )~ = ~с (с+ — с )~ ( с +!с! — < 00105; е = О!0105! б = О. дз! дэ! Ю2 Ю2 — =1, — =-1, — =С, — =О, дх! ' дх! ' дх, ' дх! то постоянная Лнпшица К = 2. А тогда по формуле (4), п. 1.1, имеем: !!х(С) — У(С)!! < 0,0053(езй — 1) й О!0053(сед — 1) < 0,0012. М Прыеечееие. Если в области определенна ив!вой части у(С, х), выпуклой ио переменной х, еышшнлштся !вг: нераеенспи ~ рук ~ < с', то в качестве постоянной лнишнлв можно вина число уг = ис. ~рй;- Гл. 5. Првблвкеввме методы решеввв дифференциальных уравнений ь 527. ум — хгу = О, у(0) = 1, у'(0) = 0; у = етг, !х! ( 0,5. ьа Переходя от уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка, имеем: Р Р г у=хь у =хм хг=хм хг=!хн ьь хг(0) = 1, хг(0) = 0; Уь — — ее, У~г — — у = — 1 еи, Щ ( 0,5.
Пусть ЦхЦ = )хг / + /хгЦ Тогда согласно (3), п, 1.1, имеем: 1~-;— ! г)У ! У(!ь У)(! !!Уь Л(!ь Х!ь Уг)(+ !!Уг — Жь Х!, Уг)~. Поскольку ! У, = — е ьгь 7г(!ь У„У,) = то из (1) следует, что уг — — !еьг, уг —— еи(! + !) Уг(!хг Уг)=!Уг=!е' ! ) — — у(1, У) = ~ — еи < гиах — еи = ' е и =0,0017., Поэтому е = 0,0017; б= О. Далее, так как Ь ь 2а(Ь+1)г+1' г2а(Ь+ 1)г+ 1/ь дЛ дУь дЛ г дуг — =О, — =1, — =1, — =О, дхг дхг ' дхг дхг то постоянная Лиишица К = 2 шах(1; !г) = 2 (см.
примечание после примера 526). В силу идах оценки (4), п.1.1, и имеющихся значений лля е, б, К справедливо неравенство Цх(!) — У(!)Ц ( ' (е — 1) < 0,009(е — 1) < 0,002. О,ООП Отсюда следует, что тем более )хг — х,! < 0,002. м 528. у' = 2ху +1, у(0) = 1; у = —, (х( ( —. 1 1 ! — х' 4 ьа Сначала находим числа е, б. По формуле (3), и. 1.1, имеем: г )у' — 2ху — 1~ = (~ —, !у(0) — у(0)~ = О, (! — х)' 9' поэтому е = 9, б = О. ! Предположим, что решение у(х) существует в прямоугольнике Я = ((хь у): )х) ( ль )у — 1! ( «) (у(х) Е Л). Тогда для постоянной Лиишица К имеем оценку !д7! 4 К ( шах ~ — ~ = шах !4ху! =— л ~ду~ л 3' Используя полученные оценки, по формуле (4), п.
1.1, получаем (у(х) — у(х)! ( — ~е г — ! / ( — ( е г — 11 = О 034... 12 ~ 7 12 ь, Остается проверить, действительно ли точное решение у(х) содержится в указанном прямоуголь- нике. Поскольку функции 7(х, у) = 2ху + 1 и 7т = 4ху непрерывны в любом прямоугольнике ге, = ((х, у): !х! ~ (а, !у — 1( < Ь), то, согласно теореме сущеспювания, на отрезке )х( < Ь, где Ь = пйп ! аь «Г7, М = шах(2ху + 1), существует единственное решение рассматриваемой щдаль .мь ь.х муььь+ц'+ь ~(... ',).и* ' га(а+1) + ! уравнений $1. Зависимвсть решеввв от иаиалымпг условий в параметров 243 получаем Ь=~(1+ —, а= =О,ЗОУ..., У=1,012.... 1 з/5 — ! 2а' Следовательно, в 2)г существует единственное решение у(х), где 2(г —— ((х, у): )х! < 0,308, )у — 1~ < 1,617) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
