А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ливейиме и квазвлввейвые ураввеивя ггз зная, что асимптотические линии поверхности /(х, у, з) = О определяются уравнением: д з г д~з д з —, йх'+ г — Лхйу+ — йуг = О. Ох ах бр Оуэ М Прежде всего, ищем нужную поверхность, решая задачу Ох Ох х — — у — =х, з=х, у=х. а Оу Общее решение этого уравнения 1 а = -р(ху) у подчиняем начальным условиям: х = — фх), з ! з х откуда Таким образом, фа) = а .
есть уравнение искомой поверхности. Палее, подставгия значение з =- х у в уравнение асимптотических линий, получаем 3 уох +гхохоу = О, или г((х у)г(х = О. Отсюда следуют щения: ре х=Сп ау=Си Значит, па рассматриваемой поверзности имеется два семейства асимптотических линий: < з = х у; 3 = х у; 2 *у= С,. 1 дх 1 дз ! — — + — — =— х дх уду з' зная, что линии кривизны поверхности х = у(х, у) определяются уравнением: (1+у~) ох+русу рдох+ (!+у~) пу гЫх+зг(у здх+1ду где р, д, г, в,( — частные производные з,', зг, з,"„, з„"„, х„"„. М Сначала находим поверхность. Интегрируя уравнение 1 дх ! дз 1 + хда уду з' получаем а =х +р(х — у).
В силу начальных условий имеем 1 = 2у + )е(у~), откуда р(а) = 1 — го. Таким образом, искомая поверхность описывается уравнением х = 1 — хг+гуз. Лалее, для нахождения линий кривизны полученной поверхности вычисляем нужные производнме и, подставляя ил в уравнение (1), получаем ((х +а~) ох — гхуИу)(Зх + 4уз — 4ух)йу = О. Отсюда никодим два семейства решений; у= С„х =Сз(1+ 2уз).
490. Найти линии кривизны поверхности, проходящей через прямую з = 1, х = уьгг и удовлетворяющей уравнению Гл. 4. Уравнивая в частаых ироюволньох первого варавва 224 Последнее совместно с уравнением поверхности дает: « = Сзх. Лепго видеть, что кривые у = С,, « = ~/1 —:уз + 2ут являются параллелями, а кривые « = Сзх, — ~~2у Примечание.
Было бы неточностью считать, что поставленной задаче удовлетворяет поверхность « = 1 — х 4 2р, поскольку на плоскости « = О частные производные д —, д- не определены. 2 2 д«д« дх' ду Проинтегрировать одним (если зто возможно) соотношением следующие уравнения Пфаффа: 491. Зд«дх 42х«йу+ худ« = О. и Согласно и. 1.4 д = (Зу«, 2Х«, ху). Так как др др др др у — — 2« — =р, 2х — — Зу — =р, дд д ' дх дд Интегрируя первое уравнение, получаем общее решение: — уз(Х ~) Су 2 Подсташшя полученное значение р во второе уравнение, имеем: др др 2х — — 3( — = 49)у дх дб др др х — — 3« — = 2р.
дх д« откуда находим А тогда зз = х у))(х у «). )3 = д ' ук(у)) Остается найти функцию (3. Для этого воспользуемся третьим уравнением. Имеем -9Х'у'«~у))'(3)) = О. Отсюда Р(О) = С. Таким образом, )2=у' (С полагаем равным единице). Умножая почленно данное уравнение на ух, получаем уравнение 3 зуз«йх+ 2хту«ду+ хзузл« = О, левая часть которого есть полный дифференциал функпнн и = о(х, у, «), которую мы найдем, вычислив криволинейный интеграл (см.
(12), п. 1.4): гу,у,у,) и(х, у, «) = / Зх у «у(х+2х у«у(у+и у г(« = (*о и,и) у у з Г з ) 3 2 2 Г 3 Зт 3 l 2 зт 3 2 = з) Зх)уо«ойхз + з) 2х у)«оу(уз+ э) х у 4«) = уо«о) х — хо) + х «о) у — уо) + х у (« — «о). *о уо *а Следовательно хзуз« = С есть искомый интеграл данного уравнения.
Ы гогу = -(х+ 2)у — )г«и (уу гогу) = О, то данное уравнение интегрируется одним соотношением. Сдедовательно, существует множитель р = )2(х, д, «) такой, что гог рд = О, т.е. поле рд потенциально. Таким образом, для множителя р имеем уравнения: д д — (уоху) = — (2Х)з«), ду д« 225 $1. Линейные и авазиливейвые ураввеиия 492. (»+ху)ах — (»+ д')ад+уй» = О.
м так как (д, гог у) = » + х — у ~ О, то данное уравнение не может быть проингегрировано одним соотношением. Значит, остается проверить, будет ли функция» = у — ху решением этого уравнения. Вычислив >(» = 2у >(у - х ау — у г(х и подставив значения» и >(» в уравнение, получаем тождество. Следовательно, поверхность » = уг — ху является единственной, которая ортогональна полю у = (» + ху, -» — у, у). М г 493. (2у»+ Зх) ах+ х»>(у+ худ» = О.
м здесь у = (2у»+ зх, х», ху). поскольку (у, гогу) = О, но гогу и О, то поле у не потенциально, однако существует множитель р такой, что ш1 ру = О, т, е, потенциальным является поле ру. Из уравнения го1 ру = О следует три скалярных уравнения: др др др др др др у — — » — = О, ху — — (2у»+ зх) — = ру, х» — — (2у»+ Зх) — = р».
ду д» ' дх д» ' дх ду Из первого уравнения находим >г = уг(х, ~), ( = у». во второе уравнение, получим: ар ар х — — (2б + Зх) — = р, д* а( Подставив значение р откуда >г = х>>г(х у» + х); поэтому Наконец, подставив р р = хф(х у»+х). в третье уравнение, имеем у>' = О, т.е. Га =- С. Таким образом, р = х. После умножения данного уравнения на р, получаем уравнение (2ху»+ Зх )>(х+х~»од+ х уа» = О, инте>рал которо~о имеет вид х>+х у»=С. Решение х = О входит в него при С = О. м 494.
(»' — у'+ у») >(х+ (х» — 2ху) >(у+ (2х» + 2»+ ху) а» = О, М Поскольку гогу = О, где у = (»'-у +у», х» — 2ху, 2х»+2»+хд), то поле у потенциально. Следовательно, левая часть данного уравнения ашяется полньпи дифференциалом функции (ау,о> и(х, У, ») = / Г,ах+ г>яд+ Р,о(» = »г(х+ 1)+хУ» — хУ>, >ко,о> Поэтому » (х+1)+ху» — ху = С есть искомый интеграл.
> 495. (ах>у»~-2д'»г-Зхд») >(х+ (2х~д»> — Зху»' — 2х'») г(д+ (За~у»~ — ахд'»г-2хгд) а» = О. м поскольку го1 у Ф О, то поле у не потенциально; однако в силу того, что (у, го1 д) = О, существует множитель р = »(х, у, ») такой, что потенциальным будет поле»д. Легко найти, что » = ху».
Выполняя интегрирование (*г > (ру, аг) = х у» (х» — у» — х), >о,о,о> получаем интеграл данного уравнения: х у» (х» — у» — х) = С. м ггг г г Гл. 4. ууавиелгш а частиьш врагмаалиьгк пеРвнн порядка 226 496. Зху'г 3(х + Зх'уг 3(у + 2х'у' 3(г = О, М Поскольку гог У ~ О, но (У, гагр) = О, то данное уравнение интегрируется одним соотношением. Найдем интеграл уравнения, используя метод, изложенный в конце п.1.4. Считая переменную г временно постоянной, интегрируем соотношение: Злу~гас(х+ Зх~угсду= О, нли 2((ху) = О.
Отсюда следует, *по ху = С. Далее, принимая С = С(г), подбираем функцию С таким образом, чтобы соотношение ху = С(г) стало интегралом данного уравнения. Вычислив С' 3(г — х 3(у 3(х = у и подставив в указанное уравнение значения ху = С и 3(х, после некоторых упрощений получим уравнение: ЗС'2+ 2С = О. Интегрируя последнее уравнение, имеем С = Ссг Таким образом, из равенства (1) следует, что хуг =Се 3 3 2 есть интеграл исходного уравнения. ~ 497.
(1+ х'у'г' — уг)3(х — хг 2(у — ху3(г = О. < Непосредственно проверяем, что гог у ~ О, но (у, гог у) = О, поэтому уравнение интегрируется одним соотношением. Считая переменную х временно постоянной, интегрируем уравнение: хег2(у + хауг(г = О,' или Яуг) = О. Следовательно у =С(х). (1) Подберем функцию С так, чтобы данному уравнению удовлетворял интеграл уг = С(х). Из последнего соотношения находим С' 3(х С 3(г йу= — —— г 22 и подставляем в рассматриваемое уравнение значения у и 2(у.
после упрощений имеем дифференциальное уравнение: 1 — С вЂ” х С вЂ” ХС =О, илн (хС)'= 1+(хС)2, интегрируя которое, получаем (2) агс(й(ХС) = х+ С3. А тогда из равенства (1) с учетом (2) находим интеграл данного уравнения: агс(й(хуг) — х = С3. ~ 498. (х — у)дх+23(у — хил=О, м Поскольку (у, гог у) = г — 2х + у и функция г = 2х — у не является решением данного уравнения, то оно не может быть проинтегрирована одним соотношением. Проинтегрируем его двумя соотношениями, положив, например, г = х + у.
Тогда получим уравнение йх — г(у = О, откуда у =х+С3. Следовательно, однопарамегрическое семейство прямых х = Г, у = Ф + С„г = 24 + Сг удовлепюряет данному уравнению. > Щ 1. Линейные и ввазипниейвме уравневвя 499. (у+З ')й +( +у)о(у+бх и=О. и Векторное поле У = (у+ Зл', х+ у, бхай) потенциально, поэтому и,ьн о и(х,у,л)= ( (У,дг)=ау+ — ьзхл. У г оо,о,оо Следовательно, У + 2ху + бхл = С естьинтеграл данного уравнения. > 227 Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного поля У, если: 500. У=(гху-Зу )1+(*'-Зх ))-Зхуй. м Если о(г = (дх, йу, йл) — вектор, лежаший в касательной плоскости к искомой поверхности, то согласно условию доллпоо быть (У, лг) = О, или (2ху — Зул) ох+ (х~ — Зхл) о(у — Зхуйз = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
