А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 45
Текст из файла (страница 45)
« Подставляя значения постоянных в (3), окончательно патучаем: уо у« = (совыт! — стыд) М 2 у« = — (сохо««!+ сохо«т!) уо 2 т (2) Подставляя (2) в (1), находим т /.т 2.««М ° 2 « В = — Р' + 2хУ!соаУ+! ф ) 4 — х — — (х — хо) — !тд(1 — созУ). 2 2 2 Составляем уравнения Лагранжа: (М+ та)д+ т!(усову-у огпу)+й(х — хо) = О, тв(х! сазу+ 1 у) + твд! Йв р = О. (3) Считая угол !у) и разность «х — хо/ малыми, линеаризуем систему (3): (М+ «в)д+ и«!«р+й(х — хо) = О, х+ !у+ ду = О.
Частные решения этой сисшмы ищем в виде: х = хо + Ае, у = Ве '. Тогда относительна ы получим частотное уравнение: — (И+то»«~+у -и«!ы~ ~ 1 -о« -!и +д! т' й д М+т'г «йд ы-~ — +- ~ы + — =О. '»М ! М I М! Решение полученного уршнения и его анализ предоставляем читателю. > 440. Тело массы М, соединенное с пружиной жесткости й, другой конец которой закреплен неподвижно, может двигаться без трения по горизонтальной «иоскасти. К телу прикреплен математический маятник массы т и длины !. Найти функцию Лагранжа системы и определить частоты малых колебаний. < Пуси хо — длина пружины в свободном состоянии, х — абсцисса тела массы М, (х, у ) — координаты тела массы тв, у — угол отклонения массы тв от вертикали.
Тогда К = — (' +у~~+ М х 2 2 есть кинетическая энергия рассматриваемой сисшмь«, а т В = — (х — хо) +!втд(! — сову) 2 пошнциальная энергия. Поэтому функция Лыранжа тт.««« 2 В = К вЂ” )Т = — (х„+ у„«+ — х — — (х — зо) — 1тд(1 — сазу). (1) Но х,„= х + ! о«п у, ув = ! соз у, поэтому х = х+ у(сазу, у = -уяяпу. Гл. 3.
Свстемы днффереипивмиых ураавений 2бб 441 Найти е" где А= 1 ( — яп( с>м() ' М Согласно определению, имеем А А» е» Е+А+ — +...+ — +... 2! и! Далее, вычисляем / сов 21 Яп 21 '1 и (' сгнпг 5!пят '1 ( — яп21 со521)' '" ' ( — япп1 созп()' (2) Подставляя (2) в (1), имеем 1+сот(+ -,'>со521+ ... Яп(+ -', Яп21+ ... — вп( — уяп21 — ... 1+сот(+ — ',соз21+ ...) "=(- (3) Так как е1ы =с>наг+гнпп(, то созпг= Кеег"', япп( = 1шег"'. Тогда 2а 1+соз(+ — со521 Е ... = Ке 1+е + — + ... = Кее' = Кее~~+"ьа = е~~соз(япг), 2! 23 впг+ — яп21+ ...=1п1(е + — е + ...) =1щ!е — 1) =е яп(вп().
2! г. Используя эти соотношения, из (3) получаем окончательно: .1 г соз(япг) 5>п(5>п() 1 с 1 е (, — яп(вп() соз(5!и 1) ) )е .г» 5 2. Нелинейные системы 2.1. Нормааьные системы дифференциальных уравнений. Метод исключении. Система дифференциальных уравнений вида дх> — = Т>((> Х1, Х2, ° ° ° Хп)> йХ2 >й — 22(1> Х1> Х1» . ° . Хп)> йх„ дг 2 (Г Х1> Х2» ' ° ° Х»)> где у1, 2 = 1, и, — известные функции (правая часть системы), называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Существует два основных метода интегрирования системы (1). Первый метод, который называется мемедам искал>ченмг, состоит в сведении системы (1) к одному уравнению л-го порядка или к одному уравнению т-го (пз ( и) порядка и к системе гл независимых уравнений.
Такое сведение доспнается путем дифференцирования одного из равенств системы (1) и последующего испольювания всех уравнений атой же системы. Обычно приходится дифференцировать л — 1 раз, но бывают случаи, когда достаточно продифференцировать пг (гл ( и — 1) раз. В результате получаем некоторое число й тождеств, из которых, исключая й — 1 переменную, получаем одно дифференциальное уравнение относительно папой неизвестной функции. Если зто последнее уравнение удается проинтегрировать, то другие неизвестные функции можно найти путем дифференцирования и простейших алгебраических операций. 201 2.2. Подбор интегрируемых комбинаций.
Второй метал заключается в подборе так называемых интегрируемых комбинаций. Интеерируегюй комбинацией нага!настоя дифференциальное уравнение, которое является следствием системы уравнений (1) и интегрируется в квадратурах; например, имеет внд: (2) дйг(1, хг, хг, ..., х«) = О, где х! = х,(1) (г = 1, и) суть решения системы (1). Функция Фг(1, хь хг, ..., а«), которая толсдесгвенно равна постоянной прн подстановке в нее решений х! = х;(1) (г = 1, гг) сисгемы (1), называется первым интегралом системы (1).
Если имеется й первых независимых интегралов Ф,(1, хь хг, ...,х«) = Сь Ф2(гг х! х2г гз«) С2г (3) Фг(1, хг, хг, ...,х«) = Сг, й < п Уг! = Уге Уг, г = 1, п. Заметим наконец, 'по все сказанное о нелинейных системах относится и к системам линейным, записанным в нормальной форме. Проинтегрировать следующие системы дифференциальных уравнений: 442.— х — у х+у з М Первый способ. Представляя данную систему в виде йх ду се — = — 㫠— = гй, х — у х+у з получаем дх йу йх — =х — у, — =х+у, — =л. (1) м ' йг ' й( Третье уравнение системы (1) интегрируется независимо от остальных, и его общее решение имеет внд: з = С,е .
К первым двум применяем метод исключения, в результате чего имеем: йх у = х — —, У вЂ” 2х+ 2х = О. йг Интегрируя последнее уравнение, находим х = (С! мл(+ Сг сов 1)е!. Подставив х в первое соотношение (2), получим у = (Сг ип г — С, сгм 1)е'. (2) (интегралы называются независимыми, если между функциями Фг, г = 1, й, не существует связи вида Ф(Фь Фг, ...,Ф,) = 0), то из системы (3) можно выразить й неизвестных функций через остальные.
Подставив их в систему (1), придем к задаче об интегрировании системы уравнений с меньшим числом неизвестных. В частности, если й = о, то все неизвестные функции определяются нз системы интегралов (3). Аналитическая форма проверки независимости интегралов имеет вид ( ь 2г !йг) (4) 22(хггг зггг " хд ) где хг„хй, ..., х;„— какие-нибудь )г функций из числа неизвестных, Иногда нахождение интегрируемых комбинаций облегчается с помощью так называемой симметрической формы записи системы уравнений (1): ах! ахг вх« аг Ггг(г, хь ег, ", х«) Уг(г, хь еь "., х«) р (г, хг, хь ", в«) Хебл хь хг, ", я«) где Гл. 3.
Свстемы двзрферевцвальвых уравиевнй 202 +р — =Со А если вззпь их почленное отношение, то после некоторых преобразований будем имсп (3) — = Гй (1п — — а), ила =, сова = х Сз (Сг+Сгг /Сг+Сг' ииз Х ае * =Сг. Очевидно, интегралы (3), (4) являлися независимыми. Второй способ. Сначала интегрируем уравнение йх йр х — р ь+у Переход в нем к полярным координатам дает уравнение иГ- = т, из которого следует, что г Ф' зз = С,ег.
ИснользУЯ зто Равенство, УРавнение х(=у = — пРиводим к вндУ: ла йй дз — =М (4) откуда интегрированием нахолнм х=Сге . Нетрудно проверить, что полученные интегралы являются следствием интегралов (3), (4). м 443.— ох йр йх ои р'-и х — х и — у х — х и Пользуясь свойством пропорции, имеем г(х + з(у + г(г + г(и г(и (у — и) + (з — х) + (и — у) + (х — з) х — л хах+ рай+хая+ ийи г(и х(р — и) + у(х — х) + а(и — р) + и(х — х) х — х ' ах+ йз ои (р — и) + (и — р) х — г П) (2) (3) Из соотношения (1) получаем Из второго г((х + у+ х ч- и) = О. (4) / г г г гзг Д~ — + — + — + — ~ =О.
)2 2 2 2~ (5) Соотношение (3) дает еще одну интегрируемую комбинацию: з((х + з) = О. (6) Интегрируя в (4), (5), (б), находим х+у+х+и=Сз, х +р +х +и =Сг, х+х=Сз. г г Это первые интегралы рассматриваемой системы. Тяк как они независимы и число их совпалает с числом уравнений ланной системы. то мы получили все знпегралы. М Если мы хотим получить решение без параметра 1, то дгяпкны исключить его из выражений для х, у, х.
В результате имеем г х~ г х = (С~зш)п — +Сгсзм(п — ) —, у= (Сга1пйз — Сзсоа1л — ) —. Сз Сзг' Сз' з, Сз Сзг Сз Отсюда, складывая квадраты левой и правой частей соотношений, получаем один первый интеграл: 444. — = х у ху+х и из уравненгш — = -уй легко находим йг |4 = (и )ф + (и сы или еа а — = Со у Это первый интеграл. Далее, решаем уравнение оу оа у ху+х с учетом того, что х = С1У. Таким образом„имеем -й = — -г —, или д ах у с7+2' йх 3 — --=Су. оу у Интегрируя линейное неоднородное уравнение первого порядка, получаем 2 з = С~у +Сзу или з = ху+Сту.
Итак, мы имеем два первых интеграла: х — = С„ у х — — х = Сп у Так как они независимы и число их равно числу уравнений рассматриваемой системы, то других интегралов, которые бьши бы независимы от полученных (не являлись бы их следствием), нет. м 445.- з у х у И Пользуясь свойством пропорции, имеем: г(х х ау+ у аз или йх = Ы(зу), з — у л — у откуда х — зу = С,. Еще один первый интеграл мы получим из уравнения — к = — —, или ку дх у ' уду+хйх=б. Следовательно, у +х Сз'м 44б.
х(у + з) з(х - у) у(у - з)' и Из последнего уравнения системы находим уху+ зал = — г((у + х ) = О, 2 Интегрируя это уравнение, имеем йг14 = -уз|совр — илр~+йгСз, Ст С1Ст х= . = — ' х(х у)=Сз ° созуг — яп(О х — у' откупа следует у + зт = С|з — первый интеграл. Полагая в нем у = С~ згп)з, з = С~совр, из первого уравнения данной системы получаем ох зшгг+соаи йр. х соыр — ип)з 204 Гл. 3, свстемы диФФерешшалыиах урааимгг"1 г(х г(У 447* * .(з-у) у(у — х) уг-хх < Имеем по свойству пропорции: г(х + г(х йу г((х — у+в) = О, х(х — у) + уг — хх у(у — х) ' откуда находим первый интеграл х — у+ * = Сг.
Подставив значение х = Сг — х + у в первое уравнение, получим йх йу г У У или у + — = х(С, — х) у(у — х) Сг — х х(С, — х) Это уравнение Бернувли. Его общее решение имеет вид х — С| )п1х1+ С Исключив из него с помощью уже полученного интеграла постоянную С„приходим к еше одному первому интегралу (и ~а( Сг у 448. йх йй х(у' — г') у(х' + з') г(х' + у') М В силу свойства пропорции имеем: хг(х+ уеу ог г(уг гг) „г( г + гг) г( г + уг)' откуда й(х' + у' + г') = О.
Интегрируя это уравнение, находим первый интеграл: а+у+а =Сг. г Используя его, последнее уравнение данной системы представляем в виде: йу гЬ + г у(С~ — у') з(С~ — хг) откуда интегрированием получаем еще один первый интеграл: М у х 1и = Сг~ вли г Сг ,гд-утс, ~ ' ь' пх ' ° гг (здесь постоянная С, была исключена с помощью ранее найденного первого интеграла). Полученный интеграл можно упростить следующим образом: у х г г г г С,С, = Сг ==а у г = — х ==а Ух = Сгх, а~+ х (Сг — х )+г У 1-С, где Сг — новая произвольная постоянная. м Зиаечмае. ПоследниИ антеграл можно получить сразу, если "увидеть", что хуг(а+хгау — узах ггг хуг(хг + уг) — хуг(хг + гг) — хрг(у — гг) г(хг + рг) Отсюда следует, что гг 1г~-) = О, ялн Ух — = сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
