А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(1 — х~)уг — 2ху'+ 2у = 2хипх+(1+х )соах, х Е (-1, !), (у! <+ос, /у') <+со, у'(0) = 1. Найти собственные числа и собственные функции задач: 38. у' + 2Лхя = О, у(0) — у(1) = О. 39. у' + ЗЛх'у = О, 2у(0) + Зу(2) = О. 40. у'+ 6Лх у = О, у(0) + бу(3) = О. 41. у" + ЗЛу'+ 2Лгу = 0 у(0) = О, у(!) = О. бг. у" +лу=о, у(о)+гу(а)-уП) =о, у(П+зу(о)+4у(и=о. 43. у"' -ь Лу = О, у(О) = О, у'(1) = О, у'(О) + Зу(1) = О. 44. у" + х 'у' + Лу = О, 0 < х < 1, у(1) = О, !у! < +гю, (у'! < +ос.
45. (1 — х )у" — 2ху' + Лу = О, -1 < х < 1, !у! < +со, (у'! < + со. 46. х у" + Лу = О, 0 < х < 1, у(1) = О, у(+0) = О. Следующие уравнения свести к самосопряженному виду: 47. х~р" +ау' — х~у+ Лху = О. 48. у" + (х+ 1)у' — хгу+ Лх у = О. 49. (х .1- !)у" — (а:+ 2)у' — агу+ Л(х+ 5)у = О. Построить особые кривые и особые решения уравнений; 50. у — уг = О. 51.
у — 4уг = О. 52. уу" +х — 1 = О. 53. ху"' — у" = О. Решить следующие дифференциальные задачи: 54. сову' = 1, у(0) = О, у'(О) = 1, у"(О) = гх. 55. у" (у" — !) = О, у(О) = О, у'(О) = 1, у"(О) = О. 56. (у" - г)(у" - 3) = О, у(а) = О, у'(О) = 5, у"(О) = З. Понизить порядок следующих уравнений: 57. бу" — 5у" у'~ = О.
58. ху'~ + уи = е*. 59. у"'у' — у' = О. 60. ху"' — у" (1 — х) = О. ,з 61. уу" — у — у' = О. 62. уу" + у = !. 63. у'уи — у' — у' у" = О. 64, у"'у' — у' = О. Проинтегрировать следующие уравнения: 65. уи +Зуи+2 = О. 66. З(х'у™)'+х'у" — 4= 0. 67.
у" 1пхз!п(у" 1пх)+(у" 1пх) — 2 = О. 68. (ху"' — 1)(ху"' — 5) = О. 69. х~ — у' — 1 = О. 70. тих — у"' — 1 = О. 71. у"' — у' — 1 = О. 72. у" = е" . 73. 2у'у" — у" + 1 = О. 74. е" — у" = О. 75. у' — у~ — 1 = О. 76. у = ху' — у' . 77.
у = 2ху' — !пу'. 78. х = ~Р+(Пу'. 79. а =у'Л/1+у' . Глава 3 Системы дифференциальных уравнений $1. Линейные системы А = (ац(С)), уравнения (1), (2) мозсно представить в векторной форме йх — тАХ+У, дС дх — = Ах. йС (2') Матрица хц(С) хо(С) ... «ы(С) хгг(С) хп(С) ... хъ(С) Ха!(С) Ха2(С) ° ° Хаа(С) ГДЕ ХЦ вЂ” КООРДИНатЫ Лиисйиа НЕзаВНСИМЫЛ РЕШЕНИЙ (ВЕКТОРОВ) Хг = (ХЦ, Х „..., Ха,), Хг = = (хо, хп, ", ха) ..., Уа = (хм, хга,...,Хаа) вектоРного уравнения (2'), называется интесрольиой, нли фупдамеятолълой матрицей этого уравнения.
Иногла ее называют матрицей мроиского. Определнгель хц(С) хи(С) ... х,а(С) «гг(С) хп(С) ... «га(С) хы(С) х 2(С) х (С) ИС(С) = (4) 1.1. Неедвородваи евстемв линейных двцгферевввлдьвых уравнений С ИЕРЕМЕВВЬВИВ ИОЗСР2РИЦВЕВГЯМИ. Фундаментальная матрица уравнении. Определитель Вронского. Система уравнений вида дхг — = ~а;2(С)«2+уз(С), С =1, и, (1) ов гю у называется иеодиородпой системой лилейиыл диффереиииольных уравнений с переменными коэффициентами ац(с). Будем считать, что коэффициенты и свободные члены 22(с) являются непрерывными функциями на (а, Ь).
Система дифференциальных уравнений йхг — = 2 аб(С)х;, 2 = 1, а, (2) называется одиородпой. Вводя в рассмотрение векторы х = («2(С)2 «2(С), ", Ха(С)) ~ ~ — (~2(С)1 ~2(С) "- ~ ~ (С)) 183 состав!сивый из частных решений системы (2), называется онрвделитвлвм Вронского. Лля того чтобы матрица вида (3), где хб«) — частные решения системы уравнений (2), была инте!ральной, необходиью и ЛОСтаточно, ЧтОбы де! Х«) = Иг«) зь 0 при 1 б (о, Ь). При этом общее решение векторного уравнения (2') представляется в ище х«) = Х«)С, (5) где С вЂ” произвольный постоянный вектор. Общее же решение уравнения (1') будет х«) = Х«)С+ х«), (6) где Е«) — какой-нибудь вектор, являющийся частным решением уравнешт (1 ).
1.2. Метод вариации произвольного вектори. Если известна интегральная матрица уравнения (2'), то частное решение х«) уравнения (1') можно найти, пользуясь методом вариации лрензввльнаге вектора С. Этот вектор удовлетворяет уравнению Х«)С «) = 1 «). Поскольку бегХ«) = йг«) Ф О, то 3(Х«)) ' и С!«) = Х«) !у«), откуда С«) = /Х«) 'У«)д(+С„ где Св — произвольный постоянный вектор.
Подставляя (8) в (5), имеем х«) = Х«)Се+ Х(1) ~Х«) 'У(с)!й. Сравнивая (6) и (9), получаем (8) (9) х«) = Х«) '( Х«) 1«) дт. ( ! .в)= '(1н,!!,). (10) где под ехр(В) понимаетсн матричный ряд: 1 1 ехр(В) = Е+ В+ — Вз+ ... + — В" + 2! «! Если матрицант известен, то решение начальной задачи дх — = 1«)х+ У«)! х(ее) = хв, Ж находится с помощью формулы Коши: *«) = Х«);+ ~Е«>~- (т)У(т)д, (12) 1.3. Митрицвит.
Фу!и«ментальная матрица У уравнения (2'), удовлетворяющая начальному условию У«в) = = Е, а < гв < Ь, Š— единичная матрица, называется матрицантвм. В общем случае матрнцант находится нз уравнения (2') методом лесмдевательньи нриблихгвннй: Х„в,«) = Е+~А(г)Х„(г)дг, Хны О, « =О, 1, 2, ..., (в, 1 б (а, Ь), 3! = Еш Х„«). Ф! Случай Лааво — Давилевсыго. Если справедливо тожлеспю А«) ~ А(г) дг = ~ А(г) дг А«), гв, 1 б (а, Ь), !! !! то матрицаит можно найти по формуле Гл. 3. Системы ли!Кереишшльиык урааиевнй 1.4.
Неоднородные линейные свстемы с иостоиввымв козффащвеатамв. Ме од Эйлере, Если ал, — — сола!, то система (1) называется линейной неоднородной с нестонннмми коэффициентами. Общее решение системы (2) можно найти, пользуясь методом Эйлера, который заключается в следующем. Ищем решение уравнения (2') в виде ь, Ьз где В =, — постоянный вектор, Л вЂ” посгоянная. Ь„ а = Вел!, Тогда из (2') получаем уравнение Р(Л)В = О, где Р(Л) = А — ЛЕ. Поскольку мы ищем нетриви- альное решение, то (14) Применяя метод исключения, решить следующие системы дифференциальных уравнений: 409.
х = 2х+ у, у = Зх+ 4у. Ч Разрешив первое уравнение относительно у и подставив во второе уравнение системы, получаем у = й — 2х, (й — 2х)' = Зх+ 4(й — 2х), й — бе+ 5х =О. Корни характеристического уравнения Лл -6Л+ 5 = О суть Л, = 1, Лз = 5. Следовательно, общее решение последнего уравнения будет х = С!е + Сте . ! М Подставив значение х в первое уравнение системы, найдем у= (С!е +Сзе ) — 2(Сле +Сзе ) =-С,е +ЗСте .
Зч 410. х+ у = !!+ бе+ 1, у — х = -3(л+ 31+ 1. Ч Полсгаюшя значение у = !т + 6Ь+ 1 — й, найденное из первого уравнения системы, во второе уравнение, имеем й + а = 31~ — 1+ 5. (1) де! Р(Л) = О. Это характеристическое уравнение. Пусть Л„Л„., ˄— его простые корни. Тогда соответствующие им решения будут л,! л,! л„! х,=Ве', хл=Ве',.,х„=Ве". Велюры Вл, й = 1, и, являются решениями уравнений Р(Лл)Вл = О. Произвольная линейная комбинация векторов (! 3) ч х =,) С;В;ел", (15) 1=1 где С; — постоянные, есть общее решение уравнения (2'). Далее, если среди корней характеристического уравнения имеется корень Л, кратности г > 2, то соответствующее ему вектор-решение имеет вид л л 1 х, = (Е+Р(Л,)!+ — Р (Л,)! + ... + Р" '(Л,)!" '~! А,е"", 2! ' ''' (т — !)! (16) где А, — вектор, удовлетворяющий уравнению Р'(Л,)А, = О.
(!7) В этом случае произвольная линейная комбинация векторов вида (!3) и (16) составляет общее решение уравнения (2'). 185 $1. Лвиейвые еистемм Интегрируя уравнение (1), получаем общее решение х = С, з(пг+ Сзсоз1+ й(1), где й(1)— часпюе решение неоднородного уравнения, которое проще всего найти методом неопределенных коэффициентов. В результате будем иметь х = С,япт+Сзсазт+ 31 — 1 — 1. Далее, подставив значение х в первое уравнение системы, найдем у = Сз яп1 — Сз сох 1+ т + 2.
в 2 411.й=-я+у+2, у=х-у+2, 2=а+у-л. < Дифференцируя первое равенство и используя затем все три уравнения данной системы, инеем й = -у+ у+ х = Зх — у — 2 = Зх — (х+ х) = 2х — х, У+х — 2х = О. Интегрируя полученное уравнение, находим *= С,е +Сзе Далее, вычитая почленно яз первого уравнения второе и учитывая уже известное значение для функции х, приходим к уравнению у + 2у = ЗС,е'. Решив его, получим у = Сзе + Сзе . Наконец, подсшвляя х и у в первое уравнение системы, находим 2 = х + х — у = (зСз е + Сзе в) + (зСзе + С е в) — Сзе " — С е' = С~ е' — (Сз + Сз)е ". З» 412.
х=-у+2+2х, у=х+2у — 2, 2=я — у+22. м Продифференцировав третье равенспю системы и воспользовавшись всеми уравнениями, имеем: 2 = х — у + 22 = 2х — у+ 2 + 2(х — у+ 22) — (х + 2у — 2) = Зх — 5у + 62. Дифференцируя полученное соотношение и пользуясь уравнениями системы еще раз, приходим к уравнению з = Зх — 5у + бд = 7х — 19у + 202. Остается нсклю ппъ переменные х и у из системы уравнений: х = х — у+ 22, у = Зх — 5у+ 62, "2' = 7х — 19у+ 202.
В результате исключения будем иметь одно уравнение относительно функции 2: '2' -62+ !12 — 62 = О. При этом 1, 5, 1, 3, х = — - 2+ — 2 — 22, у = — — 2 + — 2. 2 2 ' 2 2 Корни характеристического уравнения Лз — 6Л2+ 11Л вЂ” 6 = 0 суть Л, = 1, Лз = 2, Лз = 3. Следовательно, общее решение 2 = Сзе + Сзе + Сзез'. (2) Подставляя (2) в (1), получаем х = Сзе" + Сзе, у = Сзе'+ Сзе". > 413. х = у — 2, у = х+ у, 2 = х+ 2. м Путем дифференцирования первого равенства системы и использования двух других получаем уравнение: У = у — л, или У = х. Общее решение полученного уравнения имеет вид: х = С, + Сзе'. Полсщвшш значение х в третье уравнение и инщгрируя его, будем иметь л = (Сз + С21)е — Сз.
Наконец, из первого уравнении получаем у = е'(Сз + Сз(1+ 1)) — Сз. М Гл. 3. Системы диффереиииалымиг уравнений 186 414. 4=3»-у+а, у=»+у+а, а=4» — у+4». < диалогично проделанному в примере 412 имеем: х = ЗУ вЂ” у + а = 3(Зх — у + х) — (х + у+ з) + (4» — у + 4») = 12х — 5у + 6»; 'х = 126 — 5у+ бз = 12(3» — у+») — 5(х+ у+ л)+ 6(4х — у+ 4а) = 55х — 23у+ 31». Исключив из системы » = Зх — у+ з, У = 12» — 5у+ бз, 'х = 55х — 23у+ 31» переменные у, з, получим дифференциальное уравнение относительно функции х: х -8У + 17х — 10» = О.
При этом у = х — бх+ бх, з = У вЂ” 5У + Зх. Общее решение уравнения (1) имеет вид х = С~с + Сзе + Сзе . а х 5Ф (2) (3) Используя (3), из (2) находим у= С~с — 2Сзе +Сзе, з = -С~е — ЗСге +ЗСзе . м х я г л я хш — 5У+ 4» = О. Решив это уравнение известным способом, имеем х = С,е + С,е + Сзе +Сае П) Вычитая почленно из первого уравнения системы второе н пользуясь решением (1), но~кем записать: у — 4у = -ЗСге' — ЗСге -Ф х -к у =Сге +Сее +С,е +Сзе '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
