А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 44
Текст из файла (страница 44)
1 ! Л вЂ” 2 Легко найти корни этого уравнения; Л~ — — 2, Лз — — -1, Лз — — 1. Следовательно, обгдее решение системы (1) имеет внд; а = С~е '+ ЗСзе' — Сзе ', у = С~е '+ 2Сзе'+ Сзе ", з = С~е '+ 2Сзе'+ Сзе '. Возвращаясь к переменной 1, общее решение данной системы записываем окончательно: з С 2Сз С а= С~! + Сз!!)+ —, и= -С~) + Сто+ —, з = ЗС~! + 2Сз!!!+ —, а (!! !!! ' !1! ' % 1. Лгщейвые системы 195 равен а.
Частица с массой гп и зарядом е, имеющая начальную скорость го, попадает в это пространство. Определить траекторию движения частицы. М На движугцугося в электромагнитном псле заряженную частицу действует сила Лоренца (=еЕ+е(г, Н), где г = (х, у, г) — радиус-вектор частицы. Поэтому, согласно второму закону Ньютона, имеем уравнение движения частицы: тг=еЕ+е(г Н! (1) Если векторы Е и Н расположить в плоскости хОУ и направить вектор Н вдоль оси Ох, то векторное уравнение (! ) можно представить в координатной форме: тй = еуН, ту = еЕяпа — ехН, тй = еЕсоьа, (2) где Е = !Е!, В = !Н!.
Систему уравнений (2), третье из которой интегрируется независимо, решим методом исключения. Тогда получим Е х = Аь!вы! -> Всоьогг+ — тяпа ь С, Н у = Асоьыг — Вяпог! + Р, еЕ г еН х = — ! соха+ ГФ+ Ег, 2т т' А, В, С, Р, Ег, Ег — произвояьные постоянные. Для их определения воспользуемся начальными условиями: х!г=о = У!г=о = х!г=о = О1 х!г=о = со*1 У!г=о = еоог х!г=о = "о*. Тогда на основании (3) получим: Е В-г-С=О, А+Р= О, Ег — — О, Аог+ — япа = со„, -Вог= го„, Е, = со,. Подставляя значения постоянных, найденных из (4), в (3), окончательно имеем; 1 у Е, Г, еоо Ег, еоо х = — ~еы — — япа) япы! — — соьог!+ — ь!па+ — ", и ) ог В х (4) У = — (со* — ыпа) соыот+ — ь)пег!+ ~ — ып а — ео„] —, и ! ог (,Н Ю еЕ х = — ! соьа+ ео,!. В 2т Интегрируя их, получаем еиг еыг х = — — япыг+ Аг(+ Аг, у = — — соки!+ В,г+ Вг, х = Сг!+ Сг.
(1) тймг тг(огг Пусть х!гув = у!, о, —— х!г-г. = О. Согласно условию задачи, х(г-„= у!г-в — — О, х)г — го = ео! !о— начальный момент. Испагьзуя эти начальные условия, из (1) пшгучаем: евг еиг г1 А, = — соьог!о, Аг = — ~ — ьшы!о — !о совы!о) тгЫ ыг, еиг . еиг г' 1 (2) Вг = — — ыпогго, Вг = ~ — сова!о+томны(о), тг(ог пгг(ог 'хго Сг = ео, С = — !. 436. Пучок электронов влетает в пространство между двумя парами отклоняющих пластин, на которые поданы напряжения: и, = вг япог! — на вертикальные пластины и и„= иг соьиг!— на горизонтальные.
Определить траекюрию электронного луча на экране, если все электроны перед влетом имели начальную скоросп е,, параллельную всем пластинам; длина отклоняющих пластин равна 1, расстояние от отклоняющих пластин до экрана равно 1, расстояние мехогу пластинами равно г(. м Направим ось Ох параллельно начальной скорости влета, ось Оу — вертикально вниз. Тогда уравнения движения электрона с массой гп запишутся в виде: еиг еиг тх = еЕ, = — япы(, ту = еЕо = — соьыг, тй = О.
г( ' " г( Гл. 3. Системм двффереицвальиащ уравнений 196 Таким образом, формулы (1) и (2) определяют траекторию движения отдельного электрона, находящегося в конденсаторе. Через время !» = — от начала движения электрон вылетает нз ! оо конденсатора и далее летит по прямой до попадания на экран.
Легко найти координаты точки вьщета из конденсатора, а также составляющие скорости электрона в этой точке. На основании (1) имеем: еи, х]»мьч», = — — »япм(!о+!»)+АМ«+!»)+А», Ж»(«» еи» у],=,„.„= — — с з (1, + г,) + в,(1, + 1П + в„ пм!м» а]»=»,о», = С»(!о+ !Д 4 С„ еи» вЂ” — соо«»(!о+ !») -Ь А», и»»(«» еи~ яп м(!о + 1,) + В„ »и»!«» х,= (3) Следовательно, параметрические уравнения прямой, по которой будет лететь электрон до попа- дания на экран, запишутся в виде: х = х» + х»(! — !о — !»), у = у» + у»(! — !о — !»), го+ !» ( !.
(4) В момент ! = 1, = — „+ !о электрон попадает на экран, поэтому из (4) следует, что координаты 2! его на экране будут ! х» = х, + х,—, у» = у, + у» —. ео ео Подставляя (2) в (3), а затем (3) в (5), окончательно получаем (5) х»=Ас»н«»!«+Во)п»о!о, у»=Сап«»!«+Рсоа«»!о, (6) где !еи, еи» 61 ! ! ! '» А=2 — — ~ — яп «» — + — соз «» — ) еоо»»!«» п»А»о ~«» оо ео ео) еи» еи» /1 В= — — соз«» — — яп «»вЂ” »и»!«» и»»!«» «» ео оо ео !еи» еи» у 1 С=-2 + ~ зщ«» + сиз«» ) ео»л»ао и»»(«» «» ео ео ео еи» еи» У1 ! 1, ! '» Р = — » — — — соз «» — — — 5»п«»вЂ” ео ео ео Будем считать, что у каждого электрона есть свое начальное время и параметр !о меняется непрерывно.
Тогда формулы (6) описывают кривую встречи пучка с экраном. Нетрудно видеть, что она представляет собой эллипс. ~ 437. Составить и проинтегрировать уравнение движения гармонического оспиллятора, находящегося в однородном стационарном магнитном поле Н и обладающего электрическим зарядом е (классический эффект Зеемана). и Уравнение двюкения гармонического осциллятора, не обладающего электрическим зарядом нли не находящегося в магнитном иоле, имеет вил: п»г+ йг = О, юг+)ог = »яое(г, Н]. (1) где )о > О, г — радиус-вектор частицы с массой щ.
Если же такой ссциллятор обладает электрическим зарядом е и помещен в магнитное поле В = )»«Н, то на него будет действовать сила Лоренца 1 = е)»о]г, Н]. Следовательно, ио второму закону Ньютона, можем составить уравнение движения: % 1. Лвщевыые системы Направляя ось Ов вдаль магнитного паля Н, векторному уравнению (1) ставим в соответствие. три скалярных: »ой+ йх = е)гоуН, гпр+йр = -е)гохН, ту+ йв = О.
Из последнего уравнения сразу находим й 2 = С сав(ого(+ )г), ого = 4)г —, С, й — произвольные постоянные. Систему первых двух уравнений решаем методом Эйлера, положив х = Ае, р = Ве '. Тогда получим характеристическое уравнение лг лг 1.' тЛ +й -едоНЛ! ероЛН тЛ +й/ ~=О, из которого следует, что (ыо — ы ) = ы'гол~, где ог~ = -Л, гогг = о . Решив последнее уравнение, получаем — огл+ ого ~ —, Лг — — голл Лг = -гог„Л2 = волг, Лл = -1 гг — о Следовательно, частные решения имеют вид: хо = Аое"", рл = Вле""', й = 1, 2, 3, 4.
Между коэффициентами Ал, Вл существуют связи, определяющиеся уравнениями: Ав(Лг+ ого) = ЛлголВл, (1) откуда л А»= 2 2Во~ Ло+ыо где Вл — произвольные постоянные. Таким образом, общее решение системы будет глагоггг Ы г 'гоггоя Ы г гыгыд 2 2Вг 2 2 2е + 2 2 ого ыо ого ог2 р=Вгег ~«.Вге-' ~~+Вге-гг+В4е ыг' ааг гоггогл ЗЕ 2 2 4Е ого огг в = С сов(огов+ уг). М 438. Частица массы т движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса г.
Считая поверхность цилиндра абсолютно главкой, найти закон изменения координат частицы со временем, если в начальный момент времени частица находилась на аси Ох, Ее начальная скорость ео составляет угол о с горизонтом. < Кинетическая энергия частицы будет К = Т(х~ + р + й ), или, если учесть, что х = = г сов уг(т), р = го)ах(1), к = 2- (г уг + й') , потенциальная энергия определяется по формуле Н = тдв.
Поэтому функция Лагранжа В двя данной частицы будет иметь вид В = К вЂ” К = — (г уг + й ) — тдв. 2 (1) Для составления уравнений движения частицы воспользуемся уравнением Ларанжа: 4( дй дй (2) д) дф дй; где Х вЂ” функция Лщранжа, ег — обобщенные координаты, число которых равно количеству степеней свободы физической системы; Рг — внешние силы. В данном случае Р; = О, ел = вг, Ог — — х. Следовательно, на основании (1) имеем: М ду дй ду . дй И дел дд ' дяг дв ' дуг ' дх Таким образом, на основании (2) получаем два дифференциальных уравнения: тггр = О, ту+ тр = О.
Гл. 3. Системы диффереиивальиых уравнений !98 Интегрируя их, находим д( «г = С,1+ Сг, з = — — + С!1+ См 2 где С; = соло!. Для определения С; воспользуемся начальными условиями: 4мо=б, Фыо=гро=б' эвнг=о = -г в!п«оо««~мо = О; д1мо = гсов«голые = г«г!ыо = еосова; гЬ=о = еояпа. Отсюда нетрудно найти, что Сг = О, Сг = ш сова, С4 = О, Сг = сов!па. Наконец, подставляя значения С, в выражения для «о и г и используя формулы л = гсов«г, д = гвш «г, приходим к уравнениям движения: /60! «, 1601 г д1 а = гсов( — сова/, у= гял ( — сова), в = — — + ео1япа. а 439. Два математических маятника одинаковой длины связаны между собой пружиной с жесткостью й, укрепленной на расстоянии а от точки подвеса.
Определить частоты малых колебаний, а также проинтегрировать уравнение движения при условии, что в начальный момент времени первый маятник бьп отклонен на угол гро от вертикали. < Пусть «о„«гг — углы, на которые отклоняются маятники от вертикали. Тогда кинетическая энергия системы двух мюгтников (кинетической энергией прухсины пренебрегаем) будет равна К = -2-(««г + фг). ПотенциальнаЯ энеРпш системы состоит из сУммы потенциальных энеРгий гу! ( г от трех тел; двух маятников и пружины. Потенциальная энергия маятников равна юг = ту((1 — осе«гг) + тд1(! — сов«го), а потенциальная энергия пружины Пг = Та (яп «р, — яп «гг) .
Таким образом, функция Лагранжа а г всей системы ! т г (о Ь = 2à — П = — («гг Ч-~рг) — туЦ2 — сов«гг — сов«гг) — — а (в!п«гг — яп«гг) . 2 2 Используя уравнение Лагранжа, имеем: т1 ««г+тд1яп«г, +)оа (япрг — в!и грг)совр! = О, г.. г т( ««г -г тд1 в!п«гг — Да (в!п«гг — яп угг)сов«гг = О, г- о Пусть углы «гг, «гг малы, т. е. «гг «гг, «гг«гг пренебрежимо малы. Тогда из (!) можно получить так называемые винеаризованные уравнения: у йа йа ««г+р«г1 — г«гг =О, у«г+р«гг — г«ог =О, Р= — + — г, (2) Частные решения линеаризованной системы ищем по методу Эйлера, положив «ог — — А,е"', «ог = А,е"'. Тогда из (2) получим частотное уравнение: (Л'+р решая кпюрое, находим Л, г —— ж(гог г, где д 2йаг /у огг — — г г — + —, огг — — )( —.
'«! 1 -оег — гаго «оп = Апе, «ггг = Апе -ь,г ьаг «ггг = Апе, уггг = Апе гг «ггг = Агое «гм = Аме гта Здесь огг, огг — частоты малых решений: ьлг «ггг = Аце ь гг «ггг = Анег колебаний системы маятников. Теперь строим систему частных 199 Между коэффициентами Аб, Вб существуют связи, определяемые равенствами: Ан(р — ы«) — «'А« =О у = 1> 2; Аб(р — о««) — тАИ = О, у = 3, 4. Следовательно, А„= -Ан, д = 1, 2 и А„= Ат, у = 3, 4. Тогда общее решение системы (2) будет иметь виа: у« = С!е '«+ Сте '«4 С«е '«+ С»е '~", (3) У« = -С«е "— Сте м" + Сте~'+ С»е Так как, по условию, у«!ыо = ут!«=о = у«1«=о = О«у«)«=о = уо, то С« — — Ст — — С> = С» = »уо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
