А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Длл интегрирования уравнения Р(р, ч, *) = О целесообразно применять следующей способ. ищем решение е виде 2 = 2(м), где и = ах 4 у (а = соле!). тогда де ды, дэ Р= — =эг — =ла, Ч= — =2. В* д * ад Следоеагельно Р(р, Ч, 2) = Р(2 а, 2, 2) = О.
Интегрируя эго уравнение, получаем его общий шпеграл Ф(л,м,а,а)=0 (а=сопи), который по отношению к неладному Июененаю будет полным. 510.р'х'+д'у'ш . Ш Сначала переходим к новым переменным Рг Р= х' по формулам и = 1п|х|, е =1п|у|: дг Чш у где дэ Рг = да Исходное уравнение принимает вид: Рг+дг =2. Далее, поскольку последнее уравнение не содержит явно независимых переменных, то к нему применяют способ, укаэанный в предыдущем примере.
В результате получас~ обыкновенное б 2. Неьаиейиме уравиеишг первого порядка 222 дифференпиальное уравнение х'(а'+ 1) =, > О, процесс решения которого можно представить следуюшнм образом: з/х ь(х йи ~ с(х ~ ь)щ Л+ а~' з/х *А+ау г' тих у я+а!' хю Ю гьгх = +Ь, (гугх — Ь) =, ю = ам+ о = а)п)х)+ Ьз)д!. #+а~ 1+ аз Итак, полный интеграл получен.
М 511. 1-' — д = -+ —. у х х д м Перепишем уравнение в виде: хр — х = дд+ у (х Ф О, у Ф О). Далее, полагая хр — х = а, дд+ д = а, где а — произвольная постоянная, из последних двух уравнений находим а а р=)+-, д=-1+-. х у Подставляя эти значения р и д в уравнение Пфаффа ь)х = р ох+ д ь)у и интегрируя его, получаем полный интеграл х = х+а!п)х! — д+а!п)у)+Ь= х — у+а!п(ху)+Ь. и Прнмечмее. Если уравнение имеет внд Рг(р, х) = рз(д, у), то его полный ннзегрвд мозно найти, пользуясь следующей схемой. Иэ системы рг(р, х) = в, рз(д, у) = а находим р = уь(а, *), д = рз(а, у), подставляя которые в уравнение Пфаффв ь(х = рля»- д Нд, имеем ьгг = рь(а, х)йх»- рйе, у)йу.
Интегрирование этого уравнения н дает полный ннтегряя: г — ~рь(в, х) йх — ~ рз(о, д)йу — Ь = О, 512. р'+д'-грх-гдд+(=О. м Поскольку уравнение можно представить в виде р — 2рх+1 = 2дд — дз, то вполне применим способ, указанный в выше приведенном примечании. Из уравнений р — 2рх+ 1 = а, 2ду — дз = а находим р=х~ьга — !+аз, дюдх~/д~ — а, ()х() з/! — аь !д(3а). Следовательно, ь*=( + 'рт:ь) .+(ь ььь*-.)гь, откупа слелуст, что * — 1(*ь,'юь,— ь)ь — /(ь ьгь' — )ьь — ь-ь есть полный интеграл.
И 513. р'+д+х+х = О. М Вводя новую функцшо ы = х + х и обозначения р, = ы,', дь — — ы„', данное уравнение представляем в виде: (р, — 1)'+ д, + ы = О. Гл. 4. Уралаевия в частных провзведвмк параши пар>щка Поскольку это уравнение не содержит явно независимых переменных„то применяем способ, изложенный в примере 509. Имеем о> = о>(и)> и = ах+ у. Тогда р, =и(и)а, Гп =о>(и), (р, — 1) +9, =о>=(о>а — И +о> .!.о>=0, т > т > Для решения последнего уравнения применяем метод введения параметра.
Полагая о>' = Г, имеем >до >11 2((а — 1)а ш и -1 - ((а - 1)', йи = — = - —— >(1, и = (2а — 1) 1п !1! — 2а'1+ Ь. Таким образом, система уравнений «+« = -1 — (Га — 1), а«+у= (2а — 1)1п!г) — 2а 1+ Ь определяет полный интеграл. М Примечание. В данном случае можно исключить параметр Г и получить лолиыа инте>рак в виде Ь(х> у, «, а, И = О, однако предоставляем это читателю. В следующих зала их найти интегральную поверхность, проходящую через заланную кривую: 514.
« =рд+ 1, « = 2х+ 1 при у= 2. и Прежде всего находим полный интеграл данного уравнения, пользуясь примечанием к примеру 509. Решение ищем в виде « = «(и), и = ах + у. Тогда р = «'а, 9 = «' и « = «' а + 1. Интегрируя это уравнение, получаем полнмй интеграл исходного уравнения: Ф зл 4а(« — 1) — (аа'+ у + Ь) = О.
Далее, для определения поверхности, которая проходит через указанную прямую, поступаем согласно изложенному в п.2.2. Именно, папаша х = х, у = 2, « = 2х+ 1 и считая Ь = Ца), относительно функции Ь = Ыа) записьтваем систему уравнений (6), п.2.2: 8ах — (ах+Ь+2) =О, 8а — 2а(ах+2+Ь) юО. Затем решение этой системы Ь = 0 подставляем в систему уравнений (7), п. 2.2. Тогда получим 4а(« — 1) — (ах + у) = О, 4« — 2«(ах + у) = О.
Отсюда, исключив параметр а, после упрощений окончательно находим уравнение искомой поверхности «=ау+1. М 515. 2« = ру — Зху, « = 15у при х = 5. и Предположим, что решение имеет вид « = у>(ху). Тогда относительно функции >р получаем уравнение: ,2 2(о=у> и — Зи, и=ху которое среди прочих решений имеет и такое: 9>=ам, где а, = -1, ат = 3.
Следовательно, «> = -ху, «т — - Зху. В силу начальных условий имеем « =Зху. м 516. 4 = р'+ 9', = у' пр * = О. и Поскольку функция «ы 4« — рт — О' явно от переменных х, у не зависит, то решение уравнения ищем в виде « = )т(ах+ у). Тогдд относительно р получим уравнение 4>р = (а + 1)>р > интегрируя которое, находим: ~т>ту= +Ь, или Фм« вЂ” ~ +в~=О. ах+ у / ах+у т/аз+ 1 ~/а~+1 Ф 2. Нелвиейнме уравнении неумно варюха 235 Далее в силу (5), (б), п.2.2, имеем уравнения: х=О, у=у, а=уз, Фму — ( у — +Ь) =О, у — ( у +Ь)+у=О. Отсюда, исключив переменную у, получаем Ь = О.
Используя теперь уравнение (1), п.2.2, и Ь = О, имеем систему: (ах+ у)' 2(ах+ у)(ау — х) — =О, Из второго уравнения находим а = „-* и подставляем в первое. В результате приходим к искомой поверхности л=х +у ° и Примечание. Равенство ах + у = О не подходит, тнк лак лз первого уравнения следовало бы, что л = О. 517. Рх+ ду — рд = О, л = у при а = О. < Для нахождения полного интеграла воспользуемся методом Лагранжа и Шарпи. Из системы уравнений г(х бр г(л бр й~ х — д у — р р(х — д) + д(у — р) -р -д' соответствующей уравнению (4), п. 2.1, находим один первый интеграл и = да.
Далее, решив систему уравнений р = да, рх+ ду — рд = О, получаем р = ах+ у, д = х+ —. у а Подставлял значения р н д в уравнение Пфаффа ах = р дх+ дну и интегрируя его, будем иметь л= — ах + — +ху+Ь, 2( а) Это есть полный интеграл. Для нахождения поверхности, проходящей через указанную в условии кривую, применяем схему, изложенную в п.2.2.
Записываем уравнение кривой в виде х = О, у = у, х = у, составляем систему вида (6), п. 2.2: у х — — ах + — — ху — Ь(а) = О, 1 — х — — = О. 2~, а) а Подставия сюда х = О, у = у, х = у и исключая параметр у, находим Ь(а) = ча. Наконец, 1 исключая параметр а из системы уравнений, соответствующей системе (7), п.2.2: 'ы+ ' .„=, '+ 2~ а) 2 ' 2 2аз 2 Таким образом, л — у(х 1 .ггхз 1 1) 518. л — рх — ду — Зрз + дт = О, х = уз при х = О. < Нетрудно проверить, по полным интегралом данного уравнения будет Фгих — ах — Ьу — За +Ь =О. 2 2 Аналогично проделанному в предыдущем примере имеем: х = О, у = у, л = у' (параметрические уравнения данной в условии кривой), л — ах — уЬ вЂ” За +Ь =О, 2у — Ь=О.
2 2 Подставляя сюда х = О, у = у, * = у' и исюпочая переменную у, находим Ь = х2а. Далее, найденное значение Ь подставляем в систему (7), п. 2.2: л — ах~2ау — За +4а =О, — хх2у+2а=О. 236 Гл. 4. Уравиевия в 'аетвых вреизвадиых верного порядка Исключив параметр о иэ этой системы, получаем окончательно: г(х ду г(в г(р а(9 — — — аЫ, (1) Ч Р 2Р9 Р Ч с начальными условиями: х = в, у = вг, г = в, р = вг, у = в при т = О, а также х = в, у = вг„ з в = в, р = 2в, д = 2 при 1 = О.
Таким образом, возможны два варианта. з г в Иэ системы (1) легко находим Р = С е ', д = Сге ', х = ~(-9) гй+ Сз = С е ' + Сз, У = ) (-Р) з(т+ Са = Сге '+ Са, в = -2 ~рд Ж + Сз = С Сге " + С,. Исходя из начальных условий, определяем постоянные интегрирования: Сг- — в, Сг —— в, Сз — — О, Со=О, Сз — — 0 г (для первого решения); С, =2вг в в Сг= Сз= Са= в Сз — 0 2' 2' (для второго решения). Итак, имеем две интегральные поверхности: г -г 3 -гг, х=ве, у=ве, в=ве х=-(е '+1), у=в(2е — !), в=взе в.го 2 аа г г 520 р + д = 1; *о = соз в, уо = яп в, хо =— 2 аг Как и в предыдущем примере, сначала находим функции ро, уо из системы уравнений (см. (8), п.2.3): г г ! ро+яо — ! =0 -роз(по+досова — — =О. 1 2 Имеем ро —— сова, уо — — яп а, где а = в+ (-1)" К + йзг, )о Е Е.
Иэ системы уравнений (см. (9), п. 23): г(х ду г(х др до 2р 29 2(рг+ уг) 0 0 следуют также решения: Р= Сп 9 ю Сгг х = 2Сзг+Сз У = 2Сгз+См в = 2(Сг +Со)1+Со. Дгш определения постоянных интегрирования исзюльэуе м начальные услоюш: в х=соов, у=япв, в= —, р=соза, у=вша 2' при 1 = О. Пользуясь методом Коши, найти интегральную поверхность, проходящую через заданную крив!чоз з 519. в = ру, ао = в, уо = в, во — — в . и Применяем метод Коши, изложенный в и.2.3. Согласно методу, сначала составляем и ре- шаем систему уравнений (8), п.
2.2: : — в' — ро(в))о(в) = О, ро(в) + 2вуо(в) — Зв = О, о=за а=за ро (в)=в до (в)=в, ро (в)=2в', до (в)= —. 2' Затем, учитывая найденные значения ро(в), до(в), составляем и интегрируем систему уравне- ний (9), п.2.2, 237 и 2. Нелииейнме удавившая иервого иорашш Тогда получим в Сз — — созе, Со = гшв С» — — —. Сз =ила, С, =сома, Следовательно, три функции в г =21+в 2 х= 2!сова+созв, у=2(»ша+япв, описывают искомую интегральную поверхносп . И 521. г=рх+дд+рд, хо -— 1, уо-— в, го -— в. з м Из системы уравнений (см. (8), и.2.3) з в Ро Яов Родо = О, до — Зв =О находим 2в з 3 Ро = 1+ Згз уо=Зв.
Далее, составляем и решаем систему уравнений (см. (9), и. 2.3): >(х >(д >1г Ир бд *+у у+р г+рд О О Р=С>, О=С>, х=С>е — Сз, у=Сое — Сз, г=С»е — С>С>. Исходя из начальных условий 2 з д~ =За, определяем постоянные интегрирования: з С> = — , С> = Зв > Сз = ! + Зв > 2в ! + Зв> в + в' в' — Зв' 1 + Звз' 1 + Зв> Таким образом, параметрические уравнения поверхности имеют внд: ( ')' 2/ !' — » ) +ь' х= !1+Зв !е — Зв, д= 1+ Звз ' 1+ Звз Имеем Р>о = О> Рго = 1> Р>о = ~~/~~ в>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
