А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2 г, хз) ' 2 ~ * хз) Подсгавив значения С,(х) и Сз(х) в формулу для общего решения неоднородного уравнения, имеем: 1 у = С1е" + Сзе " — —. > х Гл. 2. Дифференциальные уравнения амсших порядков Применяя различные методы, решить уравнения. 327. у" + 2у'+ у = соззх. м Общее решенно однородного уравнении имеет вид у = Сзе *+ С!хе Поскольку созга = уе + у~е и корень характеристического уравнения Л = -1 двукратный, ! то, согласно п. 32, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде у = ае*+ух е *.
Подставив у в данное уравнение, получаем тождество относительно х, иэ которого следует, что а = у, Ь = 4. Следовательно, 1 ! 1, хз у = — е* + — е *+С е *+ С!хе * 8 4 есть общее решение исходного уравнения. ° 328. у" 42!у = 8е*япх. ° Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения Л +21 = 0 имеет корни т е. лэ — — тг2 (соз (- ~т) + з яп (-Ц) = 1 — з, л, = ъг2 (соз 4 я+ з з!и Тя) = -1+ з. следователь- но, общее решение однородного уравнения описывается формулой у = Сзе!з и*+ Сзез '~'1*.
Д)и получения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Поскольку 8е* яп х = хе' зо* — -ец '*, то, согласно и. 3.2, частное решение ищем в виде з Т у = ае' '*+ Ьхец "о (1) (заметим, что множитель х во втором слазаемом в (! ) появился в связи с тем, что корень Лз совзш- дает с числом 1 — з). Подставляя (!) в исходное уравнение, получаем тождество относительно х, из которого определяем а = — 1, Ь = — 1+ 1, Таким образом, У = (Сз + (з — 1)х)ец ™+ Сзеа ~~ — е~ — общее решение неоднородного уравнения.
> 329. у" +2зу' — у = 8 сб(х. ц Общее решение однородного уравнения есп функция у = С,е з*+ С,хе '*, Так как 8 ей(х .= 4е'* + 4е '*, то для нахождения частного решения неоднородного уравнения удобно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. В силу того, что Л = -з— двукратный корень характеристического уравнения, согласно п. 3.2 частное решение ищем в виде: у=ае +Ьхе Подставив у в данное уравнение и приравняв коэффициенты при ез* и е '*, получаем а = -1, Ь = 2.
Следовательно, у = (Сз+ С,х+ 2хз)е '* — ез* есть общее решение исходного уравнения. > 330. у" + 'у= —; у(1) =2, у'(П=-з. х+1 < Решив известным способом соответствующее однородное уравнение, имеем у = С, яп ых+ + Сз сотых. Для получения частного решения неоднородного уравнении воспользуемся методом Коши. Согласно п. 3.4 можем записатзк К(х, а) = Сз(э)а)пьзх+ Сз(э)собьзх, в 3. линейные диффереивиальиые ууавиееи с постояинымн иоэффювзевтами 145 ПРИЧЕМ К(х, 8)(,, = О, К,'(х, 8)~,=, = 1 (в данном случае и = 2). Следовательно, ! С1(8) Вш ХВ + СВ(8) соз ыа = О, С1(8) соз Х — Ст(8) мп ыз = — (ы ю 0).
Из наследник двух уравнений находим С,(8) = ~ш~~, Сз(8) = — — "" ~~ . Тогда 1 К(х, 8) = — 51пы(х — 8). МР Функция Г'(х) = — +-1- непрерывна при х и' -1, поэтому спршхллива формула (10), п. Зтй 1 1 Г 5!Пю(х — 8) у(х) = — ( аз, Ы 8+1 где хе Е (а, Ь), х Е (а, Ь) и — ! Я (а, Ь); а, Ь вЂ” произвольные числа. Приняв во внимание частное решение (1), записываем общее решение: 1 Г ып81(х — 8) у = С, мпхх+ С, селюх+в аз.
М 8+1 ВВ (2) Теперь, исходя из общего решения, построим частное решение, удовлетворяющее заданным начальном условиям. Дифференцируя (2), получаем Г созы(х — 8) у'(х) = ы(С1 соз 81х — Сз 51п ых) + ГГ аз. 8+1 (3) Полащя в (2) и (3) х = хе = ! и принимая во внимание начальные условия, имеем 2 = С1 5(пы+ Сз созы, — 3 = х(С1 созх — Ст 5(пы), откуда С, = 25)пх — — созьВ, Сз — — 2созы+ — йПЫ. Подставив значения С1 И С, в (2) и взяв 3 хе = 1, окончательно находим 3 ! Г 51пх(х — 8) у = 2 со581(х — 1) — — 5!пы(х — 1) + — / аз. Ь ы ВВ 8+1 у = С,з)пи+С,созх, получим систему С (х) 5!и х + Сз(х) созе = О, С1(х) соз х — Ст(х) 51п х = Г (х), из которой следует, что с',(х) = Г(х) созе, сз(х) = -Г(х) пни, интегрируя, будем иметь С1(х) = ~ Ях) воз х1(х+ С!1 Сз(х) = — ~ Ях) 5)па ах+ СВ.
Предположим, что имеют смысл выражения В О(х) = /,Г(8) соз В 1(8 Гу(х) — ( Г(8) Яп 8 В(8 (2) 331. у" +у = Г(х). Какие условия достаточно наложить на функцию Г', чтобы все решения этого уравнения оставались ограниченными при х — +со! и применив метод вариации произвольных настоянных с,(х) и с,(х), входящих в общее решение соответствующего однородного уравнения 146 Гл. 2. Диффереициальвме уравнения выспшк порядков при любых фиксированных х > хы Тогда, как следует из (2) и (1), общее решение данного уравнения можно представить в виде: Р = С, ппх+ Ст сока+ / 1(к) к(п(х — к)Нк ы С~ Япх+ Стсокх+ п(х)к(па+)У(х)сокх = ы = (С, +а(х))ппх+(С, ч-)5(х))сокх = А(х)сок(х — у(х)), где С, +а(х) С, + )У(х) А(х) = (С,+а(х))'+(Сг+,9(х))', япу(х) = -, созу(х) = А(х) А(х) А(х) у О.
()тсюда следует, что для ограниченности решений у(х) нри х -+ +со достаточно потребовать ограниченности функции А (амплитуды) при х — ~ ч-оо, т. е. ограниченности функций а и !) при х- +ос.п Построить линейныс однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющие данные частные решения. 332. р! = я~с*.
П Дифференцируя последовательно функцию ры получаем: р~ = я~е* + 2хе* = у, + 2хе*; Р~' — — Р~ + 2е* + 2хе* = р! + 2с* + (у' — р ) = 2р', — р, + 2е*. р~ = 2р",-у, '+ 2с*. Исключив из последних двух соотношений 2е*, окончательно имеем р',ч-)р",ч-Зд',-д, =О. Заметим, что получить дифференциальное уравнение более низкого порядка нельзя, так как частное решение р, = х'е* порождается корнем характеристического уравнения кратности ! = 3, !ь ЗЗЗ.р,=хе*, рг=с ~. й Частное решение р, порождается двукратным корнем Л~ —— 1 характеристического уравнения, а частное решение рг — корнем Л, = — !.
Поскольку корни известны, то легко записать и само авненне: (Л вЂ” П(л+ и=О, л — л — л+! =о, Ясно, что такому характеристическому уравнению соответствует лифференциальное уравнение рм-дл-д'+д=О. > 334. у, = х, уг — — к1пх. м Так как х =- хе *, к(п х = 2((е'* — е ' ), то данные решения порождены корнями некоторого характеристического уравнения: Л~ — — 0 (двукратный корень), Лг = г, Лз — — — ! соответственно. Следовательно, Л(Л вЂ” г)(Л+г)=Л(Л +1)=0, или Л +Л =0 есть характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному р'"+ р" = О Ь 335.
р, = хе*сок2х. и Поскольку хе сок 2х = 2хс! ' + 2хег — ', то данное частное решение порождено дву!ыпм 1 и-гог крагными комплексно-сопряженными корнями Л!д = 1 х 2! некоторого характеристического уравнения. Оно имеет вид (Л вЂ” 1 — 2г) (Л вЂ” 1+ 2г) = О, или Л вЂ” 4Л +!4Л вЂ” 20Л+ 25 = О.
Остается записать требуемое дифференциальное уравнение; у' — 4у"'+ !4р" — 20р'+ 25 = О, )ь й 3. Ливейиме диффереициальвме уравнения с постоянными коэффициентами 147 33б. При каких а н Ь все решения уравнения у" + ау'+ Ьу = 0 ограничены на всей числовой оси -оо < а <+со? м Прежде всего находим корни характеристического уравнения Л'+ аЛ+ Ь = О.
Имеем / г Л, г —— -2 ~ )( -г- — Ь. Далее рассмотрим различные случаи представления всех решений. а а Если а = 4Ь, то общим решением будет у = (Сг+Сгх)е г . Если же а ~ 4Ь, то общее решение принимает вид У = Ссегс*+Сге (2) Из (1) следует, что каким бы нн было число а (действительным или комплексным), все решения у ограниченными быль не могут. Действительно, если Кеа > О, то функция у не ограничена прн х < 0; если Кеа < О, то функция у не ограничена при х > 0; если Кеа = О, то неограниченносгь функции у щкже очевидна.
Теперь рассмотрим решения, представленные формулой (2). Пусть КеЛ, < 0 или Ке Л, < О. Тогда решения (2) не все ограничены при х < О. Пусть Ке Л, > 0 или Ке Л, > О. Тогда не все решения (2) ограничены при х ) О. Наконец, если КеЛ, = Ке Лг = О, т.е. если Лс — — »7,, Л, = г?г ( Ус и Уг), то все решения при всех х Е (-сю, +со) будут ограничены. Действительно, в этом случае все решения предсгавляются в ниде произвольной линейной комбинации ограниченных ФУНКЦИЙ Згп7га, СОК Гса, Згп?га, СОЯ'Угх. Итак, для ограниченности всех решений имеем условия: а l а' а Га' --+1,( — -Ь=;7„---)?---Ь= 7, (7,?ь?г)» 2)с4'2?4 откуда находим а = — г(7» Ч-7г)» Ь = -7г7н где гг н уг — любые отличные друг от друга действительные числа.
В частности, если а— действительный параметр, т. е. 7, = — г,, то все решения будут ограничены при ь > 0 (а = 0). в 337. При каких а и Ь все решения уравнения у" + ау'+ Ьу = О стремящя к нулю при х -»+со? м Восгюльзуемся представлениями (!) и (2) всех решений из предыдущего примера. В случае (1) асе решения стремятся к нулю при х — +со, если Ке а ) О. В случае (2) все решения стремятся к нулю при х — +со, если КеЛг < 0 и Ке Л, < 0 одновременно. В частности, если а и Ь вЂ” действительные параметры, то в случае (1) все решения стремятся аг к нулю при х -» +сю, когда а ) О (Ь = -4- > 0).
Эти же условия (а > О, Ь > 0) пригодны и в случае (2). Действительно, если Ь < О, то адин нз корней Л, илн Лг независимо от а будет положительным, т.е. егм или еям — Ч-оо при х — +оо. Если Ь = О, то уравнение имеет решение у = С?ь О, которое нс стремится к нулю. Таким образом, необходимо, чтобы Ь было положительным. Пусть Ь > 0 и а < О. Тогда действительная часть одного из корней (Л, или Л,) обязательно будет неотрицательной, следовательно, ец* или е"'* не будет стремиться к нулю при аг х — +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
