А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Таким образом, 85 21 5 2 1 3 2 4 1 у= — + — х+ — х + — х — -е*+ — е 128 32 16 12 3 384 — искомое частное решение. м 313. ум+ зузт = о; у(о) = 1 у'(о) = уо(о) = у'4(о) = у"(о) = д'(о) = о. и Из харакзериспзческого уравнения Л'+ЗЛ = 0 находим сто корни Лз = Л, = Л, = Л4 = О, Л, = зч23, Ло — — -ззз'3. Согласно и. 3.1, записываем общее решение данного дифференциального уравнения у = С, + Сзх + Сзх + Сз*'+ Сз яп 3/ Зх + Со соо Ях.
Аналогично проделанному в предылушем примере составляем систему уравнений относительно постоянных Сз (3 = 1, 6) и решаем ее. Тогда получим: С, = 1, Сз = 0 (з = 2, 6). Следовательно, частное решение имеет вилз у=1. М Найти общие решения неоднородных уравнений, а также частные решения там, где указаны начальные условия.
314. у"-2у'-Зу = е"; у(О) =1, у'(О) = О. и Сначала находим общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, т.е. уравнения у" — 2у' — Зу = О. Так как корни его характеристичеакого уравнения Л' — 2Л вЂ” 3 = 0 есть Лз — — -1, Лз = 3 „то укаэанное общее решение запишется в виде у = Сзе™ + Сзез*. Поскольку правая часть уравнения у(х) = е и число 7 = 4 ие совпадает ни с змиям из корней характеристического уравнения, то в соответствии с п.3.2 частное решение данного неолнорцлного уравнения ищем в виде: у = Яо(х)е щ аое, (1) Гл. 2. Дифференциальные ураввеиия высшвх порядков где ао — пока что неизвестная постоянная.
Для определения ао подсшвим (1) в исходное дифференциальное уравнение. Тогда получим тождество 5аое = е 4» о» из которого находим ао = 5. Следовательно, у = Те и общее решение неоднородного уравне- 1 ! и ния запишется в виде 1 у = С!е *+С»ем+ — е~. 5 Подставив в общее решение, а также в производную от него, вместо х, у, у' значения О, 1, О соответственно, получим систему уравнений относительно Сн Сз.' 1 4 С!+С!-г — =1, -С~+ЗСт+ — =О. 5 5 Решив эту систему и подставив значения Си Сз в общее решение, найдем искомое частное: 4, 1 у= — е *+ — е 5 5 315. у" — у = 2е' — х~. < Легко находим общее решение соответствующего однородного уравнения у = С,е' + С,е Так как правая часть данного дифференциального уравнения есть сумма функций Д + Д, имеющих вид Р (х)от*, то, согласно п.3.2, частное решение также ищем в виде суммы частных решений следующих неоднородных уравнений: у" — у.= 2е*, у" — у = -х~.
(2) В силу того, что в первом уравнении Т = 1, а во втором Т = О, согласно формуле (4), п.3.2, частные решения этих уравнений ищем соотвезственно в виде: у~ = лохе', уз = Ьох + Ь! х+ Ьм (3) где ао, Ьо, Ьн Ьз — пока что неизвестные коэффициенты. Для их определения подсшвим (3) в (2). Тогда получим тождества »» 2 2 2аое ш 2е, 26о — Ьох — Ь! х — Ьз ш -х, из которых, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим: 2Ьо — Ьз — — О или 6з — — 2. -6, =О, во=1, Ьо — — 1, Следовательно, частное решение исходною неоднородного уравнения будет у = у~ + уз — — хе* + а' + 2. Наконец, принимая во внимание (1), записываем и общее решение этого уравнения: у = С, е*+ Сте * + хе* + х + 2.
° . 316. у" — Зу'+ 2у = з(пх. м Сначала запишем общее решение соответствующего однородного уравнения: у = С,е* + Сте Далее, представляя правую часть исходного уравнения в виде -1» ипх= — е — —,е ', 2» 2» замечаем, что Ъ = о, Тт = -»2 Поскольку у Ф Л, то, согласно п. 3.2, частное решение лифференциального уравнения ищем в виде: у»»у~+В~ $3. Линейные диффереинввяьные уравпеняя с посппшпьеми коэффнцвевтамя 141 где у| = аее'*, ут = Ь,е '*.
Подставляя функцию у = аее!*+ Ьее в исходное уравнение н приравнивая коэффициенты прн е!* и е '*, получаем 3 т 3 т не= — — —, Ье=ае= — + —. 20 20' 20 20 Таким образом, частное решение запишется в анде 3 1 у =- аее'*+ нее '* = (ае+ар)созх+ г(ае — ае)мпх = — соях+ — япх, !О 1О а общее — в виде 3 1 у = С!с*+ С,е *+ — соля+ — я!пх. !ь 10 1О Примечание. Если коэффициенты левой части уравнения действнтелынл, лего прелая часть имеет лид ет'(Р (х) соэ()х -Р ()л(х) ил йх), (1) то частное решение неоднородного уравнения можнО искать в виде У = х' (г)р ~г(х) соэух+ фр! !(х) мп))х) ет*, (2) где л = О, если у + )Я не является корнем хлрлктернстнческого уравнения, и л равно кратности этого корня е противном случае, р = шах(ш, н) . тлк, л РассмотРенном пРимеРе У = о, Рм(х) н О, !2ь(х) м 1, Р = о, !3 = 1, л~ й г + (зг, лт ~ г 4 Ре Слеаамтельно, л = О н частное решение имеет лнд у = аесшх 4 Ьеюлх, где ае, Ье — подлежашне определению «оэффицненты.
Подставил у в исхолное дифференциальное уравнение, находим ае = ТО, 3 ! Ье = )б. 317. у" +у = 4з!па. < Для нахождения частного решения данного неолнородного уравнения воспользуемся примечанием к примеру 316. В нашем случае Т = О, Р (х) = О, !с„(х) = 4, Д = 1, р = О, Л, = г = Т + гу!. Поэтому л = 1 н частное решение, согласно формуле (2) предыдущего примера, представятся в виде у = х(ар соя х + Ье яш х). (3) Подставив (3) в исходное дифференциальное уравнение и приравняв коэффициенты прн функциях пп х, соя х, находим ае = — 2, Ье = О. Наконец, приннман во внимание общее решение соответствующего однородного уравнения, записываем общее решение неоднородного уравнения: у = С~ юпх+ Сзсозх — 2хсоях.
~ Для каждою из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэф- фициемимн. 318. у" — 2у'+ 2у = е*+ хвоях. М Находим корни харакгернстического уравнения; Л, = ! + г, Лт = 1 — т. Далее, поскольку правая часть рассматриваемого уравнения есть сумма двух функций, то частное решение у ищем в виде суммы частных решений у~ и ут соответствующих уравнений: ул — 2у'+ 2у = е*, ул — 2у'+ 2у = хсоях. (1) Для построения частных решений у,, у, воспользуемся примечанием к примеру 316.
В случае пеРвого нзУРавненнй (1) имеем != 1, Д= О, Р (х) Рд 1, у= 0. Так как У+)ут Ф Л,, Т+)31 ~ Лт, то л = О. Следовательно, согласно формуле (2) указанного примечания, уг = Сее . В случае второго уравнения (1) у = О, )3 = 1, Р (х) ш х, О„(х) ш О, р = !. Поскольку Т+)Я ~ Л,, у + )ут' ~ Лт, то л = О. Таким образом, согласно формуле (2) из примечания после примера 316, ут = (аех + а1) соя я: + (Ьез + ЬП яп х. Итак, частное решение исходного днфференшшльного уравнения следует искать в виде у = Сее*+(аех+аз)сшх+(Ьех+ Ь1) яшх.
> 142 Гл. 2. Дхффереинвалввме уравиезвш высших поридюш 31»х». у" +бр'+ 10у = Зхе 㻠— 2е сова. М ПРежде всего находим коРни хаРактеРистического УРавнениЯ Л'+6Л+10 = 0: Лш ы-ЗЫ, Далее, пользуясь примечанием к примеру 316, строим частные решения, соответствующие уравнениям у» + бу' + 10у = Зхе ~, у" + бу' + 10у = -2е"созх. (1) В слУчае пеРвого из УРавнений (1) имеем У = -3, )3 = О, Р„(х) ш Зх, Р = 1. Так как У+)3! Ф Льм то в = О. В случае второго уравнения (1) у = 3, !3 = 1, Р (х) ш -2, Я„(х) ш О, р = О. Далее, поскольку у+131=3+з Н'Л, „то о =О.
Для первого иэ уравнений (1) частное решение имеет внд у~ = (аох+ а,)е -3» а дяя второго— уз = (Ьо сова+ Ь, в!па)е *, Сумма этих частных решений и есть искомое частное решение данного уравнения: у = (аох+а~)е '+(Ьосовх+Ь1в!пх)е . я 320. ух — 2у»+ 48' — 8у = емз!пгх+ гх'. < Находим корни характеристического уравнения Л' — 2Л'+ 4Л вЂ” 8 = 0: Л, = 2, Лод = хг!.
По аналогии с проделанным в прельшущнх примерах устанавливаем, по для кюклого из двух уравнений у' — 2у«+48' — 8У = е з!п2х, у — 2у +48' — 8у = гхз имеем о = О. Кроме того, лля первого иэ этих уравнений у = 2, Д = 2, (2„(х) ш 1, Р (а) и О, р = О, а для второго — у = О, !) = О, Р„(х! = 2а, р = 2.
Следовательно, у! = (ао я" 2х + Ьо сов гх)е~, ув = Сох + С1х + Сз, у = у, +ув ы (аоз!п2х+Ьосзмгх)е +Сох +С,х+Сп Ы з» 2 321 ° у" — 4у' + 5у = ез» з!п~ х. < Определив корми характеристического уравнения Льз = 2 ф в н записав правую часть уравнения в виде з« ° в 1 2» ! 2» е в!и'х = — еы — - е сов2х, 2 2 аналогично проделанному выше получим у~ -- аое~', )п = (Ьо сов 2х+ Ь1 яп 2х)ез*. Таким образом, у = (ао + Ьо сов 2х+ Ь| в!и 2х)е 322.
ум+ 58»+4у = з1пхсоз2в. м Так как яп хсоз 2х = 2 Яп Зх — 2 з!их и Льд —— хг(, Лз о — — х(, то, согласно примечанию ! ° 1 х примеру 316, имеем у, = ао яп Зх+ а| соз Зх, ув = х(Ьо яп *+ Ь | соз х), где у, — частное решение уравнения у'"+ 5у" + 4у = —,' з!и Зх, а у, — частное решение уравнения угт + 5у»+ 4у = -2 зш х, причем в этом последнем случае в = 1 в силу того, что Т+ Дз = Лз. Слсаовательно, у = аз яп Зх + а, сов Зх + х(Ь» вт х + Ь, соз х).
> 323. у" — Зу +2у=2 . м Поскольку 2» = е™ и Л, = 1»В 1п 2, Лв = 2 и' 1п 2, то, согласно п.3.2, «вв » у=аое =ао2. Ы 324. у'" -4у" + 5у" = х'сов2х+ хе*в!п2х+е~з!пх. я Частное решение у ищем в виде суммы трех частных решений уп ув, уз, соотаетствуюпшх дифференциальным уравнениям, левая часть которых совпадает с левой частью дифференциального уравнения в условии примера, а правые части — соопытственно функции у,(х) = хв сов 2х, из. лвиейнме дифференциальные увавиеявг с вктоявимми козффиивштами 143 уз(х) = хе* ип2х, уз(х) = е'*а(их.
Поскольку характеристическое уравнение имеет корни Л, з —— О, Лз г — — 2 х г, то, согласно примечанию к примеру 316, имеем у~ — — (аох' + а1х+ аз) сея 2х+ (Ьех + Ь, х + Ьз) яп 2х, уз = ((сея+ с,)ил2х+ (пах+ я1)соа2х)е*, уз = х(помпа+ а, сов х)е *. Заметим, что только в последнем случае у + )уг = Лз, т. е. в = ! . > Применяя метод вариации произвольнык постоянных, решить уравнения. е* 325. уь — 2уУ+ у = —. М Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения; у = С,е*+Сзхе .
Затем, предполоииа, что С~ — — С,(х), С, = Сз(х), подбираем функции С,(х) и Сз(х) так, чтобы функция у = С,(х)е* + Сз(х)хе* (!) была решением неолнородного уравнения. Эффективно такой подбор функций осуществляется с помощью системы уравнений (6), п.3.3: С1(х)е*+ Сз(х)хе = О, С,(х)е + Сз(х)ех(х+ !) = —. Отсюда находим С((х) = -1, Сз(х) = —. Интегрируя полученные уравнения, имеем С1(х) = = — *+ Сп Сз(х) = 1п(х)+ Сз, где С1, Сз — новые произвольные постоянные. Подставив найденные функции С~(х), Сз(а) в (1), окончательно получаем: у = С1е*+С,хе' — хе*+хе*!п(х!.
> 326. х'(уь — у) = х' — 2. ч Легко находим общее решение соответствующего олнородного уравнения: у=Се +Се Согласно и. 3.3, общее решение неоднородного уравнения записывается в виде у = С,(х)е* + + Сз(х)е ', а производные функций С~ и С, определяюгся из системы уравнений С1(х)е + Сз(х)е = О, С|(х)е — Сз(х)е ~ = — — —. х хз' Решив эзу алгебраическую систему, получим; С((х) = — (- — + -) е *, Сз(х) = — 1- — + — ) е*. 2г, хз х) 21, х хз) Интегрируя последние соотношения, находим С~(х) = — ) (- — + — ) е™г(х+Сп Сг(х) = — ) (- — + — ) е*ах+ Сз, 2) г, где С,, Сз — новые произвольные постоянные. Дважды интегрируя по частям, получим 1,г' 1 1г ! ..l 1 1т С,(а) = — е * 1 -- + †) + Сп Сз(х) = — е* ~- — — †) + Сз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
