А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рассмотренное уравнение доп)екает н другой способ решепня. А именно, умножая обе части уравнения на у', получаем: рву' = е"у, нпн ( — ) = (е"), откуда ннтегрнрованнем находим у = 2е" + Сн нлн фт ау = ах. х~г7еУ е С1 Гл. 2. Диг(нггереиниальиме ураииеввз высших пориаков !2О Интегрируя еще раз, волучаем обшее решение в явном виде 1 ! /Сг+42е" ЬГг! х=х !и 1+Сг, если Сг)О; ,/Гг ~ Л.— Л:-~+С-,~ 2 Г 2 Х = х — атега)/ — 1 — — ЕГ -1- Сг, ЕСЛН СГ < 0; '-С, )~ С, х = — т/2е г Ь Сг, если Сг = О.
266. Ууа = 1. ш умножив обе части уравнения на у', получаем ууау' = у' (у' ~ О), или гг ( — ) = (1л!у!), ,г г откуда интегрированием находим у = 1пу + С„или У' = ~у рн уз + С, Разделив переменные и опять проинтегрировав, окончателыго имеем г(у х+(г т/С, +Тпру' 267 Узда У4+ ! о Ш По аналогии с проделанным выше, имеем г г ууад +(1 — у)у =О (у ~О), нли ( — = — (у г+у) . 2/ 2 Отсюда следует, что у = (у + у ') + С„или у = ш7/С1 + у + у Разделяя переменные и интегрируя, получаем Оу 1 , С, х+Сг=~ 1 — шш-1н у + — + Сгуг+уг+1~. » ,г т/Сг+ У' + У 2 2 268.
Ум+ у' = о. < Умножив обе части уравнения на у", получаем уау'а + уау' = О (да ~ О). Отсюда следует, что — + — =О, а также вг,г г у +д' =С,. Полагаем у' = Сг яп(, уа = Сг соз(. Из тождества г((у) = уаг(х в силу последних уравнений имеем г((яп 1) = соз1г(х, или г(х = н( „откуда х = 1+Сг. Из уравнения у' = Сг яп( находим у = Сг / яп Их + Сг = Сг / яп(г(1 + Сг = -Сг сов(+ Сг. Теперь окончательно мохсем записать: х = 1+ С~, у = Сгсоз(+Сз, или у = Сг сов(х+Сг)+Сг. » 121 б 1. Виям иитезрируеммк иеливейимк уравнении 269.
у" 2 — 4ху" + 4у' = О. и Полагая у" = Г, накопим гз у =х( — —. 4 22 1 Поскольку 4(у') = у" з(х, то из последних соотношений следует, что з( (хе — -4) = Ых, или Сьз Получаем у = хС, — 4, откуда 1 у = Сз — — — Сз х+ С,. 2 4 Аналогично, для функции у, соответствующей решению х = 2, имеем 2 ез у = 4 Отсюда 12 12 , 1 12 з(у = — з(х = — 2( ~ — ) = — Ф. 4 4 222 8 зз Интегрируя последнее уравнение, находим у = 24 + С,, или з у = — + Сз. 3 Таким образом, все решения данного уравнения описываются формулами; С,,г Сз, х у = — х х — — + С, = С,х(х — Сз) + С„у = — + Сз.
М 2 1, 2у' 3 270. ззпу" + у!ну" = 1. < Полагая в этом уравнении у" = 1, получаем 1 — Мпе у=, (1 > О). Для получения функции х воспользуемся уравнением (3), п. 1.3. Имеем а' х' 1 — ипг х2 хЗ вЂ” — — а'=)3, где а= !пг )3 =1, х =*. Общее решение этого уравнения представляется в виде а х=х з(21 "за+с, Следовательно, а'Ф х=~/ +С,. 2 а',дФ+ Сз (2) таким образом, (1) и (2) суть параметрические уравнения общего решения данного дифференциального уравнения. зь Решив ззшзученное уравнеззие, имеем г = С,, а также х = 2. функцию у, которая соответствует решению 1 = С,, находим из уравнения у' = х(- —. 4 Гл. 2. Диффереиииальвме уравнения вмеших порядков 122 $2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2.1. Дифференциальное уравнение вида Р(х, у( ), у("+'),..., у(")) = О.
Если дифференциальное уравнение имеет внд Р(х, у~~~, уо~~~,...,у~ ~) = О, то его порядок можно понизить с помошью замены у' ' = »(х). Действительно, тогда получим уравнение Р(х»» ... »~ )=О порядок которого на Л единиц меньше исходного. 2.2. Дифференциальное уравнение вида Р(у, у', ..., у(")) = О. Порядок дифференциального уравнения Р(у, у', ..., ум') = О можно понизить с помошью замены у' = р(у), где р = р(у) — новая неизвестная функция, а переменная у является аргументом. Имеем бу' бу гр и т, д., т.
е. порядок дифференциаяьного уравнения понижается на единицу. 2.3. Однородное дифференциальное уравнение вида Р(х, у, у', у",..., у(")) = О. Если дифференциальное уравнение Р(х, у, у', у",...,уы1) = О однородное относительно функции и ее производных, т. е. справедливо тохшесгво Р(х, 1у, гу, ту~, ...,Гуно) = РР(х, у, у', у'~, ...,у("~), то порядок уравнения можно понизить на единицу, положив у' = у»(х), где» = »(х) — новая неизвестная функция.
Действительно, последовательно дифференцируя соотношение у' = у»(х), имеем; у = (у»(х)) = у»+у» =. у(» +» ), у ' = (у(» +» )) = у (» +»') е у(2»»' +»' ) = у(» + 3»»' +»' ) и т.д., уоо = угР(», »', ..., »'" н), где Р— известная функция. Подставив значения производных в дифференциальное уравнение Р(х, у, у',,у'"') = О и используя однородность функции Р, получаем: р (х, у, у», у(» +» ), ..., ур (», », ..., »м ~)) = — у Р (х, 1, », » -Ь»,..., р (», »', ..., »~" Л)) = О. 2.4.
Обобшенво однородное дифференцнальвое уравнение вида Р(х, у, у, ун, ...,у( )) = О. Дифференциальное уравнение Р(х, у, у', у", ...,уо~) = О называется обобщенно однородныи, если функция Р уловлетворяет тождеству Р (тх т у т у 1 у 1 у )) — 1ОР( (Ю) где из — некоторое дейстз)ительное число. 123 !) 2.
Уравнения, довускюощие веввжевие ворвдка можно привести к виду (Р(х, д, д',..., у'" ")) = О, то интегрированием его порядок можно понизить на единицу: Р(х, д, д', ..., д'"-н) = С„ где уг — известная функция. Решить уравнения. 271. х'у" = д". и В зто уравнение второго порядка явно не входит неизвестная функция. Следовательно, согласно п.2.1, полагая у' = г(х), получим дифференциальное уравнение первого порядка г г хг =х. Разделяя переменные и интегрируя, имеем Инте>рируя еще раз, окончательно получаем или з= =у. ! — С,х — — х — -г 1п « сг с| г г +Сгг „= ~- "* +С,= г 1 — С,х !С<х — Ц+Сг, если С, и'О, С, йоо; С< =0; С, =ос.
Ь если если ~~. Уж = „-'. и Полагая уп = х(х), понижаем порядок уравнения на две единицы: г г =з Разделяя переменные и интегрируя, получаем г(х 1 —,=х — С„или л= —, х,-<О. х' С< — х' Остается двюкды проинтегрировать уравнение у" = (С, — «) '. Имеем у' = — 1п !С< — х! + Сг, у = (Сг — «) йг !С> — х! + Сгх + Сг. Кроме того, при разделении'переменных мы потеряли решение л = у" = О, или у = Сх+ 2>. м Если уравнение л (х, у, у', ...,у" ) = 0 обобщенно однородное, то замена переменных <.>г х = е', у = е 'з(1) приводит к уравнению, явно не содержащему независимую переменную 1. Следовательно, порядок такого уравнения можно понизить.
Действительно, имеем г((е х) -г <1 па -г+,я у = =е — (е з)=е (тз+х), ггх <(1 l г 1 у = — = е — = е — ~е (тл + г )) = е ((т — 1)тг + (2т — 1)х + г ) и ~д -< "У -г г <. -Ог < -гл< пт г(х гй <И г и т.д., уо' = е'"' "Ху>(з, х', ..., х<"'), где у> — известная функция. Подставляя значения производных в рассматриваемое уравнение и поль~ясь обобщенной однородностью, получаем; Г(е' с™х е« д(тг+х) е< л((т — 1)пы+(2пг — 1)з +ль), ...,е< "><г(г, з', ...,я<">)) = = е 'Г (1, х, (тг Е г'), ((т — 1)тя Е (2пг — 1)з' + з"), ..., У> (л, х', ..., г " )) = О.
2.5. Уравнение, приводимое и волу (у>(ж, у, у', ..., у<" >)) = О. Если пущм алгебраических преобразований дифференциальное уравнение «(х, у, у, ..., У< >) = 0 Гл. 2. Дифференциальные уравненив высших порядков 124 273. хум я у" — ху". м По аналогии с изложенным выше, имеем у' = г(х), хг'(х) = (1 — х)г(х). Разделяя переменные и интегрируя, находим — = (~ — 1) й~, !л !г( = (п (х( — х + (п Сп откуда г = С|хе *, или ун = С~хе™. Применяя двукратное интегрирование к последнел1у уравнению, получаем у = С,е *(х + 2) + Сгх + Сз и' 274. ху" = у' 1п У . и Так как уравнение не содержит янно функцию у, то, применив замену у' .=. г(х), порядок уравнения можно понизить на единицу.
Имеем аи ах и(1п и — 1) х Интегрирун, находим !и ! 1п и — 1! = (п ф Ч- 1п С„откуда и = е'+с'*. Следоватетьно, требуется проинте|рировать уравнение хамсы Имеем глс,* 1 у — (х- — )+Сг. Кролле того, разделяя переменные, мы потеряли решение и = е, или у = + Ч-С, которое, однако, может быть получено из общего решения предельным переходом при С, — 0 и С, = С+ — г. е с, Действительно, пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, можем написать: е е у = — !лх — — ) ~1+ С,х+ — х + о(С,)~ + С+ — = — х +С+ о(1) прн С~ О.
> ') С,' 2 275. ху'у" + у' + 1 = ау")11! + у". м Произведя замену у' = г(х), получаем дифференциатьное уравнение первого порядка хгг'+ г + 1 = аг'Л+ г'. Положим г = гйт (!1) < Тя), Тогда Нг йг 1 1 ах а( ' а х'солт( и и последнее уравнение примет вид х созе+вял!=а, откуда легко находим х х = С, соз1+ а япб (1) Принимая во внимание (1), из уравнения г = Гйт = -л получаем ав ах У = / тат г(х+ сг = / гй 1 д(с сон(+ а Яп 1) + сг — — -с 1п )!й Я + Я ) ( + с Яп1 — а сон( ч с,, (2) хг =г1п-.
Полученное уравнение является однородным, позтому воспользуемся заменой г = хи(х), где и— новая неизвестная функция. При этолг получим уравнение (и+ хи') = и!ли, в котором перелленные раздезиются: у 2. Урашеиия, допускающие иоишкевие иориюса 125 Итак, уравнения (1) и (2) представляют общее решение исходного днфференциалыюго урав- нения в параметрической форме. М 276. х у'" + 2хзу" — 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
