А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 20
Текст из файла (страница 20)
! ! Последовательные приближения находим по рекуррентным формулам Д д„(х) = 1+/(2С+ „(С))гй, „,(х) = / У„(С)г(С, (1) ! ! где хе(С) = О, уе(С) = 1, г! Е Ес, вытекаюшим из формулы (3), п. 8.1, если под д и у понимать векторы с координатами (д, л) и (21+ х(С), у(С)) соответственно. Полагая в (1) и = 0 и и = 1, получаем д,(х) = 1+ 2С+ (С)) й = х, ! д,(х) = 1+ / (21+ хг(С)) г(С = — — х+ — х, г 1 З 2 2 г(х) = / Уе(С) г(С = х — 1; ! я г (х) = / У !(С) г(С = / Сг гСС = ц (хг — 1) ! ! 200. Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решениям следуюпгих уравнений и систем: 85 $8.
Существование н единственность решеши б) По аналогии с проделанным вьппе, имеем х„з!(1) = 1+ / у„(т)г(т, ухы(1) = 2+ / х„(т) г(т. а о Полагая здесь и = 0 и и = 1, последовательно находим: х~(!) = 1+ /Ус(т)от = 1+ /2вт = 1+21, У~(1) = 2+ / хс(т)0т = 2+/ от = 2+1, а с о о ! 2 хг(1) = 1+ ~ УДт) г)т = 1+ /(2+ т) дт = 1+ 21+ —, 2' о с у Я = 2 + / х((т) г(т = 2+ / (1 + 2т) Пт =.
2 + ! + 21' + — 1 . 3 о о в) Как и в и. 8.4, данное уравнение второго порядка сведем к системе двух уравнений первого порядка, полагая у = у, у' = з. Тогда получим з'= 2У вЂ” г', у'=з; у(0) = 1, з(0) =О. Из рекурренгныз формул з ы(х) = /12у (!) — з Я))гд, У ы(х) =- 1+ / зн(!)01, н Е ти а о где зз(1) г— я О, ус(1) = — 1, находим з~(х) = / (2Уо(1) — ззЯ)г(! = 2т, У(х) =! + / гс(М) г(1 = 1, гг(х) = /(2уь Я вЂ” з,'(1)) 01 = / (2 — 4(з) <й = 2х — — х', 3 о а уг(х) = 1 + /г, Я 01 = 1+ / 21 01 = ! + х . М 201.
Указать какой-нибудь сегмент, на котором существует решение с данными начальными условиями: а) У' = + У', У(О) = О; вх в) — = 1+ е*, х(1) = О; Ж У(О) = г. и а) Воспользуемся сначала теоремой существования, изложенной в п.8.1. В данном случае хо = уо = О, У(х, у) = х+ у'. Функция 1 непрерывна в любом прямоугольнике 22 = = )(х, у) Е Ьс: ф ч а, 1у~ < Ь) и удовлетворяет в нем условию Липшица, поскольку производная 0 — — Зуз ограничена числом ЗЬ . Следовательно, на сегменте г-о, г(), где и' = лип (а,;(у !, дг з ь т УУ— М = !пах !2(х, У)! = а + Ь существует единственное решение данной задачи. Найдем число мм>аа 0 = ппп ~а, — т) .
Ясно, что если на каком-то сегменте з существует единственное решение, Ь ~ 'а+Ь то оно супгествует и на кзждом меньшем сегменте, вложенном в 2. Отсюда следует, что желательно най'" как можно больший отРезок 2, т.е. шах пйп а, — т) . Так как фУнкпил (Ыа) = а Ь а+Ь 86 Гл. 1, Диффереиинальиме уравнения первого порядка возрастает прн а > О, а функция у(а) = — г убынает, то шах ппп ( а, — т) достигается при Ь Ь а+Ь 'а+Ь условии, что р(а) = у(а), т. е.
Ь а= (1) а+ Ьз' Взяв производную по Ь от правой части (!), найдем, что при Ьз = '-, достигается максимум а, который легко вычислить, подставив значение а = 2Ьз в (1). Тогда получим 1 2 ! з Ь= з, а= з — — — з/36 066. т/6 ' з/216 3 Таким образом, можно гарантировать существование и единственность решения данной задачи на сегменте -О,бб ( х ( 0,66. Если носпользоваться леммой Бихари (см. п. 8,3), то можно указать значительно больший сегмент существования решения. Действительно, в данном случае у(х) =) (!+у'(1))41= — +) уз(1)41 аг г !у(х)! (~ — +) ~у(1)!'г(1, 0~ (х ~( а, 2 о т.е.
С = Р2-, е(х) = 1, д(у) = уз, Поэтому /41 ! /1 ге()=/ — =-~ — — — ~ и>и >О / 13 21 2 из)~ ф:-2и.г 2 1 иза Сз/ Следовательно, С С(С)+) е(1)41 =, !у(х)! ( для х б [О, т). ) 1/1 — 2Сзх А — 2Сзх ~ ' 2С / з Из уравнения а = — т находим шаха = т/2 ге 1 15 1 2С Заменив в исходном уравнении х на — х (х > 0) и проделав такие же выкладки, получим неравенство (у(х)! ( (х ~ (0), С з/! + 2Стх которое показывает, что решение задачи а) существует и при -т/2 ( х ( О.
Таким образом, существование единственного решения задачи а) можно гарантировать на сегменте — 1,15 ( х ~( ~( 1,15. б) Применим теорему Пикара существования и единственности решения. Здесь хе = уе — — 1, у(х, у) = 2у' — х. Функ~я / непрерывна в любом прямоугольнике )2= ((х, у) Е)(з: !х — Ц ~ (а, )у — Ц(61~ и имеет ограниченную проижюдную по у н Н: — =4у, ) — ~ = )4у! (4(Ь+ Ц. О/ 1О/ ау ' !Ву $8. Сущестаеание и едивстаевиасгь решеявя 87 ПозтомУ на сегменте (х — Ц < а' = ш!п(а, Ху), где М = агах !2Р' — х( < 2(1 + Ь) + 1+ а, м,т)ел существует единственное решение. Как и в случае а), параметры а и Ь находим из условий: Ь О~ Ь а= и = О.
(2) 2(! + Ь)з + а + 1 ОЬ ~ г(! + Ь)' + + й Следовательно, а = 8(Т+Ьу, 2Ь вЂ” 3 = 8() — -Ы. Из последнего равенсша следует, по Ь > )7 2 > 1 2 ! ГЗ > 1,2. А тогда а < 4(Т+ гг) = 0,11. Однако оценку для 4 можно улучшить, считая, по а < 1.
Тогда М = 2(1+ Ц' — 1+ а и из равенств, аналогичных (2), находим 1 Г5 а = 2Ь вЂ” 1= < — или Ь < г(-. 4(1+Ь)' 4(1+Ы 4 1' 8 Следовательно, а = 4П+Ь) > ге 0,13. Итак, по меньшей мере, на сегменте 0,87 (~ 1 1 4 1+ уь в < х < 1,13 решение задачи существует и единственное. Пользуясь леммой Бихари, можно указать еще больший сегмент сущеспювания и единственности решения. Действительно, представляя данную задачу в виде у(а) = — (3 — х ) + 2 ~ у (1) г)1 (а > 1), 2 ! получаем оценку ее решения: (у(х)! <С+2/1р(1)!'а(, С= — юах )3 — х ), ! из которой, согласно лемме, следует неравенство )у(я)( ч б (б(С) + 2(а — 1)), (3) где Ггй 1 1 а(н)=/ —,= — -- (в>в,>О), П ио в Таким образом, нз (3) получаем оценку С '(!) = 1 — не( С 1 — 2С(я — 1) ' С (з !Р(1)(~<, где С= шах 11+1 —— 1 — 2С( ' о<щт1 2 Получаем уравнение т шах (2+ г( — 1'~, нз котоРого слелует, что 0,33 < 2' < 0,4!.
Йтяк, можно гарантировать сущеспювание и единственность Решения запвчи б) на сегменте О,б7 (~ х <~ 1,5. из которой следует, что решение задачи б) существует на сегменте 1 < я < гС + 1. Величину Х ! находим из уравнения 2С + 1 = Х, или ! 1 шах !3 — х ). 2 (4) Х вЂ” 1 !<*<х Из (4) получаем Х = 1,5, т. е. существование единственного решения гарантируется на сегменте 1 < я < 1,5.
Для выяснения вопроса о продолжнмости решения левее точки х = 1 в задаче б) произведем замену х = 1 — 1 (1 > 0) и снова воспользуемся леммой Бихари. После аналогичных выкладок приходим к оценке Гл. 1. Дифференциальные уравиеива первого порядка 88 в) Применим сначала теорему Пикара, все условия котоРой выполнены в прямоугольнике 22, а затем найдем а' = пйп (а,,) . Из уравнений а= 1=0 а+!+е ' ОЬ (а+1+е / получаем а = е ', а = е '+'+". Отсюда находим, что а > 0,2.
Таким образом, на сегменте 0,8 < ! < 1,2 решение существует и единственно. Воспользуемся теперь леммой Бихари. Из интегрального уравнения данной задачи х(1) = — (1 — 1)+ /е о'аз, 1> 1, 2 1 следует опенка !х(1)~ ~( С+ / е!Ио!йо, С = — шах /1' — 1! = — (Т' — 1). 2 ~<о<их 2 ! Поскольку г г(з гт(и)= — =е "' — е ", и>ио>0, е' "о то )п (е- о у) С(С) = е "' — е (С > ио).
Согласно лемме, имеем оценку (х(1)! < — 1и (е "' — е и + е с — 1+ 1) = — 1и (е с — 1+ 1), откуда 1 < 1 ( е + 1. Следовательно, максимально возможный сегмент существования решения -с справа от точки ! = 1 найдем, решив уравнение Т вЂ” 1 = -21п(Т вЂ” 1) (1 < Т < 2). Из него следует, что Т > 1,5. Для выяснения вопроса о продолжимости решения левее точки 1 = 1 произведем замену 1 = 1 — т (О .- т ( то) и проделаем все выкладки согласно лемме Бихари. Тогда получим гз !х(т)! ( — )п(е с — т), где С = шах г2- — т о<о<,1 Максимально возможное значение то находим из уравнения то — — е с нли С = — 1пто (О < то <!). гз го Так как С = т, — Т, то 2- — то — — !ото.
Отсюда получаем то > 0,6. В результате делаем вывод о существовании и единственности решения на сегменте 0,4 < ~ (х ( 1,5. г) Применяем теорему Пикара для системы дифференциальных уравнений. Здесь 1о = О, хо = 1, уо = 2. Функции У,(1, х, у) = у', Уг(1, х, у) = х' непрерывны в области ог(о,*,д) о':яо,,хф -зр+ср::Роь) и имеют в ней ограниченные частные производные .ь"г = О, -р г = 2у, ф- = 2х, ф = О.
Следовательно, на сегменте — Ь (1 ( Ь, где Ь = пйп (а, ф), Ьз = шах 1/Я+ зоо, сУществует ю,ивова * единственное решение рассматриваемой задачи. $8. Существование и едвистаеииосп решения 89 откуда 1 '(1)! + Ы()! < 3+ / (!х(о)!'+ Ь(о)! )о(о < 3+ / (1х(ой+ Ъ(о)!) до, о а нлн и < 3+ / из(о)до, где и = !х(+ !у~. о Согласно лемме Бихари имеем Рдо 1 1, ео б=з( —,= — — —, 6 (1)= еа 1 — ео( о и (~ 6 (0(3) + 1) = 1 — 31' откуда 0 < 1 < 3.
Аналогично получаем левый от точки ! = 0 интервал продолжимости — 3 < ! ! <1<0, и 202. Для уравнения у' = х — у' с начальным условием д(0) = 0 построить третье приближение к решению и оценить его погрешность при 0 < х < 0,5. м Согласно формуле (3), п. 8.1, имеем ( 14 з 2 уа — — 0; уо(х) = ~(1 — у )дг= —; у,(х) = / (( — — ~ о(!=в а а У(2 15 'ьа ха ха хо хп у~ Г 11 х х х х ~, 2 20) ) 2 20 160 4400 о Оценим погрешность полученного приближения.
Легко установить, что решение данной задачи существует и единственно на сегменте — -т- (~ 1 о'4 < х < -,—, так что последовательные приближения 1 т'4 у м(х) = уо+~1(1, у (1))Ж оо равномерно сходятся на этом сегменте к решению интегрального уравнения р(, ) = до + / У(1, р(1)) й. (2) ум 'я оо втт) ~(2+о) о 2(2 ы, ю Шо,оаоя М зГ2(2+Ь)з' дЬ (,(2+Ь)з) находим, что Ь = 2 и а > Ьу(2) = ~г — — > 0,1. Следовательно, на сепченте -О,! < 1 < 0„1 2 2 - 'ЬУ(2) — —,~З4 —,44 существует единственное решение.
Если применим лемму Бихари, то сможем указать сегмент существования и единственности ! 1 — 3 <1< 3. Действишльно, из интегральных уравнений рассматриваемой задачи следует, по (х(1)! < 1+ / (у(о)!'до, (у(1)! < 2+ /)х(о)! Ио, а о Гл. 1. 2(иФфереиннальиые уравиещщ первого порядка Вычитал почленно из (1) равенство (2) при х > хо и оценивая соответствующие разности лля и Е Ео, получим « « !У(х)-уо! ( /И(С, у(С))!а =/!р(С))41, Р(С) =И(С, у(С))!, «о «0 « ««з « !У(х) — уз(х)! ~( э/(1С(С, у(С)) — С (С, уо)1!йС (~ Ь / с(х! / ЧЗ(С) 5(С = Ъ /(х — и)уо(и) 5(в, (3) «О «0 Ь« !У(х) — у«(х)! ~ (/ )~(С, у(С)) — у(15 у„з(С))(о(С (~ — /(х — и)"Уз(п)5(п, «0 «0 где Ь вЂ” постоянная Липпзица Функции у по переменной у в прямоугольнике СС = ((х, у) Е Ж~: !х — хо! < о, !у — уо! ( Сзо) В рассматриваемом случае Ь ~ (шах !2У(х)! = 2ЦуЦ !С(в) = !и — у (и)! < !п!+ ЦУЦ, и = 3 !«,гзоя хо — — О, поэтому из (3) получаем оценку 0,5 ЦУ вЂ” УзЦ ( — ЦУЦ' /(х — п) (и+ЦУЦ )5(и < — ЦУЦ /(0,5 — и) (и+ЦУЦ~)5(и = (О,1+ЦУЦ ).
(4) Остается оценить ЦУЦ на сегменте 0 < х < 0,5, который содержится в сегменте (--г —, -5 — ~. 1 1 С Из леммы Бихари следует, что !д! < Т5 ~х (см. пример 201), где С = шах $- = 0,125. ОД«<0,5 Поэтому ЦУЦ ( -1 — -ф20-05 < 0„134. Принимая во внимание оценку (4), окончательно имеем 0 125 Цд — узЦ < О,б. ГО '. М 203. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить области на плоскости хОУ, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения: а) у' = 2ху+ у; б) у = 2+ ~/«у — 2х; в) (х — 2)у = згу — х; г) у' = 1+ !Лу.
М а) Функция у(х, у) = 2ху+ у' непрерывна в любой части плоскости хОУ, а ее производная В = 2(х 4 у) ограничена в любой конечной части Р этой плоскости. Следовательно, дг У по теореме Пикара через каждую точку (хо, уо) Е Р проходит единственная интегральная кривая уравнения а). б) Функция С (х, У) = 2+ (гу- 2х непрерывна у (х, у) Е Жз, однако ее частная производная ч- = 3(у — 2х) з ограничена только при у и' 2х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
