В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 109
Текст из файла (страница 109)
+... + а„,). '[а )г[а )К. Да„,)[ [от ж а> а... -1. а, ж на ьт)! [ат)![ат)К .. [а„,)![а, ет)! Полученное выражение для котэ>)>фнпиента прп а»' а. -...а'„„"» а„,"тт~ в то шости совпадает с тем выражением. которое полу штся нз формулы [14.49), если в этой формуле заменить номер т на иг, -Ь 1. Инлукция завершена, и формула 114.49) доказана. Формула 114.49) дает нам право переписать выражеяие [14.47) для и-то дифференциала в сттедующем виде: г[-г>[лу) = х-, „,, „,, „Ди).И>ч)- .9422)-2.(гйг„,)--. д н 3. Формула Тейлора для функции утзпеременных с остаточным членом в форме Лагранжа.
>ты будем обозначать дифференциал )с-го порядка функции и = у '[тг>1, же,... лпи,) В [ОЧКЕ 214 символом т[ тт(м. Докажем сче;[у[от[[у[о теореъту, й и! ) Мы учитываем, что С„=, » и потому кцг> — й)! ' 1 В П1'ОИЗВОДПЫЕ И ДИФФЕРЕИЦИА:1Ы ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 525 Теорема .Ц.15. ХХрсгпгэ г»1гдэтцая и = )'(ЛХ) = Х(хг.,га,... э ..., х,„,) видана в некоторой е-гэкресггггггэстгг ) тп гкп Л40(гс1, ь ь хг„..., хт) и и. + 1 раз диЯеренггпруелла в указанной е-окрестнгэсггггг. Тогда полное прорнийенпе гдгг, = Хэ(ЛХ) — Х (ЛХо) эггггэй гХэйнкцгги в тпо'псе ЛХ0 для любой гпюпкп Л4 ггз указанной е-окресгггносггг11 мо;ясгпп быть предспшааено в следующей дгорэме; гди = дп, + —, доп +...+ —,дрп +, грэ'и , .(14,50) прп этом ЛХ -.
некоггггэрвя точка ркозинной е-окрестности, зависящая., вообще гзоворя, от, ЛХ(т:1, хо,..., хгп). гл дгг~~нДереггцгга; лы дги переменных х,. входящих в вырггэюеэгггя дкгг) Ме гг д"е'гг/»у, ривньс Ьхг = х,— х,. Формула (14.50) называется формулой Тейлора для функции и = Х(ЛХ) с центром разложепия в точке ЛХ0, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для сокращения записи проведем рассуждения для функции и = Х(гс. р) двух перемешгых д: и р. Предварительно запигпем в специальной форме формулу Тейлора для и + 1 раз дифферегщируемой в некоторой окрестности точки»0 функции п = г'(») одной перемеппой». напокгпизг. что формула тейлора с центром разложепия в»0 для фупкции и, .= Р'(») одной переменной имеет следующий вид (остаточный член взят в форме .1аграпжа): Е(») р (»0) + 1 (»0)(»»0) + 21р (»гг)(»»О) + ' ' ' + рр4п)(»о)(» »0)" + „ , Р "+')(»о + »»(» »о))(» »о)п 0 < о ( 1.
(14.51) Так как аргумент» является независимой переменной, го приращение гд» = » — »0 представляет собой дифференциал д» независимой переменной». Поэтому ХД')(»о)(» — »о) = »гг 1(»о)д»' = г»»г(»о) = г» эг)г ГЛп )(»о+ й(» — »о))(» — »о)' = г»" гг~геэл»г-ге) (14 52) Если мы обозначим разность Р(») — Р(»о) через сап, то. согласно (14.52), формулу Тейлора (14.51) можно:записать в следующей ) Вместо е-окрестности точки Ме можно взя гь так называемую з в е з дн у ю о к р е с т и о с т ь этой точки, когорая определяется как гикая окрестность точки ЛХе, которая вместе с каждой своей точкой М целиком содержит отрезок МьМ. 526 ээ нинин нксколькнх ннинмннных ГЛ.
77 специальной форме: Ьсс = с177 + —,с)277 +... + —,К"и +,с11в"'1и сс, 2! с„в' с„( ч- 7)! с„-,-сссс — 771 (11.53) Рассмотрим теперь в е-окрссстности точки ЛХе(хе, уе) произвольную точку ЛХ(хе+Ьх7 ус7+сху) и соединим точки Ме и ЛХ прямой лилией. Очевидно.
координаты х; и у точек указаппой прямой представлл7ог собой следусо771ие усссссе71777яе Ясснк717777, попой переменной й х =-хе+1ьх., у =- уо+1ьу; (14.54) при этом координаты точек отрезка МеМ соответствуют значениям переменной Е слз сес-мента [О, 1]. Отметим, что звачешсю 1 = 0 отвечает то пса ЛХе. а зпачесппо 1 = 1 точка М.
Так как по условию функция и = Х (77ь у) двух переменных х и у в рассматриваемой окрестпости точки ЛХе и, + 1 раз диффереппируема, то из формул (14.54) вытекает, что ва 771псксссй МеЛХ эта фупкция является сложной функцией перемеппой 1, (и + 1) раз дифферепцируемой по крайней мере лля всех зпачеиий 1 из сегмента (07 Ц. Обозна сим эту сссожссук7 функцию через Хг(1) и запишем для цее формулу Тейлора с центром разложения в точке 1е = 0 в специальной форме (14.53) при 1 =Г(1) -Г(О) =Х(М) -ХО|~). суссгурирусслцие в формуле (14.53) дифференциалы различных порядков представляют собой диффересщиалы сложной фупкции и = )(х,у), где х и у являются линейными функциями (14.54). Согласпо замечанию предыдущего пупкта при этих усчовиях дифференциалы любого гсорядка функции и = Х(х, у) могут быть записаны в форме (14.47).
Поэтому с1 и = ( — 71х+ —,с1х) 777 = сС и уд д ь, Су=в (,дг ' ду ) ~)77вр,„ууд ' М„' ;7777 с1"' 'и = ( — сХх+ —, сйс;) х (14.55) 777-гесс-су) хд7 ду Хсс, !.. = Х" ''п,~аь сч1х77 с О.Ьх, ув 7 Олу1 771777чекс в с)7о1>мулах (1-1.оо) с1х и с1у находятся из соотпошессий 14.54) при сй = с)71 = 1 — 0 = 1. Таким обрасом, в формулах 14. 55) 7Хх = с11 21х = с.'сх и с1ус = сй Ьу = Ьу. (14.56) Подставляя с1~77/су и с1"э~ и(7,7 е17 су) из (11.55) в формулу (14.53) и учитывая соотношения (14.56), мы получим формулу Той.тора (14.50). Теорема доказана. 1 б ИРОизВОД11ые и ДиФФе!'енциллы Высших пОРЯДкОВ 527 Приведем разверпутое выражение формулы Той.тора (14.50) для функции и = Х(х1, хи,, ..,хт): ч с Х (х1, ха,..., Х,а) = Х(Х1.
хо,..., Хн,) + д ч д ч +~~,— [, (х! — Х1)+ — (хи — ")+" г! 1дх! дхв 1:=1 ... + — (Хп,— Хт) ! Х(Х1. Хи......'!!пе) + дх„, Х з !Х!+ д(з1 — х1). Ти+ д(хч — х2)~ .. ° ~ Хса + д(хил зйа)) (1 1'11) 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Теорема Х4.1б". Хаус!пб и > 1 целое '!исло, функция и = =,Х(М) = Х(Х1,хх,....х,н) задана и (и.
— 1) раз дифференцируч ема в е-окрестности то !к:и Мо(х,,хи,...,х„,) и и раз диффе- ренцаруема в самой п!и !ке ЛХо '). Тогда, для любой пю"!ли М из укизанной е-окрестности Мо справедлива следу!ои!ая формула: Х(ЛХ) .= Х(ЛХо)+ — ', д ! + —,', дяи +... + — ', д" +о(р")., 1м „ (14.58) в которой через р обозначено расстояние. р(М!1,М), и символ о(рн) обозничаст бехконечно милую !!ри р — т О (или ири М вЂ” > ЛХо) функцию более высокого порядки малости, чем р". Формула (14 58) называется ф о р м у л о й Т е й л о р а (с центром в точке Мо) с остато гиым членом в ф о р м е П е а п о. 3 а м е ! а и и е. В более шэдробиой записи формула Тейлора (14.58) имеет вид: о о з (х1, хи~ ..
' ~ ты) З (в1; Га; ° ° °::!чо) + и + 2 —, [(Х! — 3!) — +. + (Хт — Х ° ), 1 Х ь!' х Х(х1. хг,,... х,в) + о(Рн). (14.59) Заметим, что в правой части (14.59) стоит сумма мпогочлепа степени и, от т перемепных х1, хи,..., хп, и остато того члена о(р") ') При и = 1 следует требовать, чтобы функция и =- Х(то хм...,Х„,) была только задана в е-окрестности точки Лта и диффервнцаруема в самой точка Луа.
528 еь икции икскольких пьпимиииых ГЛ. 1! Обозначим Лиэг(ЛХ) разность между 1'(ЛХ) и указаппым мно гочлепом. и е. положим Л ы(гРХ) = .ПМ) — Х'(ЛХсг)— ~г ((ст! 11) д + ° ° + (с т «т) д ~ г (Мо) ° (11 60) Теорема 14.15Я будет доказана, если мы установим, что при выполнении условий этой теоремы Ли+1(М) = о(р ). Дока.гательству тсто1кгмы 14.15* предпопглем двс. де~~~. Лемма Х. Ьсг!11 Хгг!нкг1ггя Х'(ЛХ) = )(хг,дгг2г... лгт) п раз о о о дггфс)гереггггиХгг!ема в тяочке Мо(хг, хз,....
сги,), пго как сама сХгунк111!я Л„!.1(М)г определяелгая равенством (14.60)г птах и, все ее "гаспгные тгроизводные по,любым тгереметгтгым хг,хо,...,хи, до тпгряс)ка и включггьчельнп сгбрагггтоттгсгя в поуль в !!!очке Мо. Д о к а з а т е л ь с т в о. При и = 1 функция (1460) принимает вид Ла(М) = Х (М) — У(ЛХо) — (:г! — «1 ) —. (ЛХо)— дХ д«г о дХ (гт 1ги) д (Мо); и равенства Ла(ЛХо) = О, '(ЛХо) = 0 (при всех г = 1,2г, .., тп) дйг д.т, проверяются элементарпо. Для проведения ипдукции вреди!!ложка!, что лемма справедлива для некоторого помера и, > 1, и докажем, что в таком случае она, справедлива и д.ля номера и, + 1.
Пусть функция Х(М) (и+ 1) раз дифферепцируема в тсгчке ЛХо и Ли„(ЛХ) = Х(Л|) — Х(ЛХо)— и.г 1 — «!) +... + (.,т хт) ~ Х(Мо). (14.61) Равенство Л э.о(ЛХо) = 0 проверяется элементарно (достаточо по учесть, что каждая круглая скобка (х,— х,) в (14.61) обращается в нуль в точке ЛХо). Нак! остается доказать, что для любого г = 1. 2,..., >а сама дио,, функция " (М) и все частные производные этой функции до порядка и вк:почительно сгбращаются в пуль в точке ЛХо, а Лля этого в силу сделаппого лами предположения о справедливости леммы для помера и достаточно доказать, что фупкция ! в пгоизводпыв и диеев1 нщиялы высших погядков 529 ддп, ! '(ЛХ) определяется равенством типа (14.60), а точнее радх, вез!ством (ЛХ) — —,(ЛХ) —,.
(ЛХО) — ~ —, [(г! — .г1) + .. + (!Вп — хпп) . 1 — „(ЛХ0). (14 62) Так как все нереме!шые х, (1 =- 1.2.....,п!) равноправны и ВХОдяТ В ВЫ11ВЖШ!ИЕ Гь!я Х!пГ-00(ЛХ) СИТ!ЫЕтрИЧПО. ТО доСТВТОЧНО доказать равенство (14.62) для г = 1, т. е, доказать равенство дЕГ,-Г2 ( ) дХ ( ) дХ дх! дп'! дх! и — — [(х! — х1) — +... + (хп,—:г„!) — ~ — (ЛХ0). (14,62) Ь;1 Из (14.61) очевидно, !то для доказательства (14,63) достаточно убедиться. гго Лля каждого номера й = 1, 2,..., и+ 1 при фиксированных х2, ха,..., х„, [(х1 21)д + (22 12)д + ° + (хвп гвп) 1 У(ЛХО) = и [(Х1 21) .
+(!2 22) + ° «+(21п Хы~) 1 . (ЛХО) ° дх! дгп '" '" дх,! дх! (14.64) Так как при дифференцировании по 2.1 переменные х2, хв,..., х,„, фиксированы. то величину д д '~2 (Х2 Хя) °, + + Ь сп 1гпп) дх! дп при дифференцировании по х! мо кво рассматривать как носгод янную. К этому следует добавить, что поскольку симвоты —, д:г, ' д д используются для образования частных нроизводныхфупкции Хв фиксированной точкеЛх,то при диффереш1ировании по х,! указанные символы также нужно рассматривать как постоянные вели сины. В силу сказмшого для доказательства равенства (14.64) достаточно убедиться в справедливости равенства д Г д 2й Г д 1Й ! д — [(х~ —,.1) + Х2~ = й [( .1 — х1) — + Х2~ —.
(14.65) дх! ' дх! " дх! дх! ЛЗО Г:1. 1! ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ ИЕРЕ'1ЕННЫХ О д 1Я Дифференцируя функцию [(х( — х() + О) по х1 как дв~ с;чожную и учитывая отмечеш«ую выше иезависйх«ость от х1 д сиыволов 0 и —, мы получим равенство (14.65). Ипдукция зада! ' вс)ппена. с?еыыа 1 доказана. Лемма 2. 1?усгг«ь Л(М) = Й(х(.,ха, ...хв) п)юизволъиая Х(ункц««яэ удовлегиворяюи«сля, двулл требованиям: о о о 1) Л(М) г«раз д1«Хк?«ере««цир)?ема в то"гке.
Мо(х«. хз,..., х„„): 2) сама с))у!«к!«!«я Л(ЛХ) и все ее часпп«ые, производ!гине по любым с«з сира:мс.нн»ае х1.хз,....хп, до г«сзрядкс«п включ!«гпельно обрасцаются в нуль в указанной точке Мо. Тогда для Хзункции Л(М) справедлива оценка Л(М) = о(рп), (14.66) еде буквой р обозначено расшиояние р(ЛХо. М) меоюду «почками ЛХо 1«М. Д о к а з а т е л ь с т в о. При и = 1 утверждение леымы вытекает из условия дифферспцируемости ) фупкцип Л(ЛХ) в точке ЛХо, которое имеет впд: Л(М) — Л(Мо) = ~~, —,(Мо) ( .« — ..«-) + о(р). дй «-;.1 Учитывая, что Л(ЛХо) = (),, (ЛХо) = 0 для всех Л: = 1, 2...., п«, д1! ' дх« мы и получиы, что Л(ЛХ) = о(р). Для проведения индукции предположим, что .лемма 2 справедлива для пекоторого Номера и, > 1. и докажем, что в таком случае опа справедлива и для номера и + 1.
Пусть функция Л(М) удовлетворяет двум требованиям лемыы 2 д л я и о м е р а и + 1. Тогда, очевидно, любая частдй ная производная этой фуикпии первого порядка — (ЛХ) (Й = дх« = 1, 2,..., т) будет удовлетворять двум требованиям леммы 2 д л я и о м е р а и, а потому (в силу сделапиого нами предположения о справедливости леммы 2 для помера и) будет справедлива оценка (ЛХ) = о(рп). (14.66*) Зак«етим теперь, что поскольку и > 1. то и+1 > 2 и функция Л(ЛХ), .удовлетворяющая двум требованиям леммы 2 для номера и+ 1, во всяком случае одгш раз диффереш!Ируема в окрестпо- ') Ско соотноьвеиве (14.1й) вз и. 2 1 4 этой главы. локальный экстгимтм 531 сти точка Мш 11оэтому для этой функции выпо.щепы условия теоремы 14.15 для номера н = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
