В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Так, например, если (,> — гп-мерная сфера с центром в то 1ке:в, то:побая точка б,> яв:шется проекцией точки х на множество б,). Справ>>д:п>ва, однако, сп>ду>оп)1>я ~с~~а. Лемма 1. Если мноо>сесп>во б~ п)>остринствв. Е" является въ!пухли>м и замкнугиым. и, х лн>бвя то>ки, Е™, пъо гуп!еспп>уеп> и г>)и>твом едпысгавеннт>я, проекция точки х ни мнотсе; сп>во !ь> .х о к а з и т е .л ь с т в о. Сначала докажем существование х О т я б ы о д» о Й проекции то.>ки х на впюж1>ство бь>.
Обозначим р(:и, бь>) )>асстояние От точки х до множества ьс ПО определению р(х, с)) как точной нижней грани >п) р(х,у) най- веО дется последовательность (ут>Т точек множества !ь> такая, что р(х,. у„) — > р(х, с>). По определени>о предела числовой последовательности для л1Обого е ) О все элев1тг1ы !1/н, начинен с н>.ко10РОго 1п>м>й>а ') Ибо множество р(х, у) для всевозможных у, иринадлежан>их ьг', всегда ограничено снизу (на>>ример, час юм нуль). 18 В.Л. Ияьпн, Э.Г. Позняк, часть 1 646 ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Г:!.
11 удовлетворяют соотнопн<нию Р(/г. С/) — е ( Р(хх уа) ( Р~,:Г,С/) + е. Ото!ода с"!сдует, что поссчедовательность (у„) точек пространства Е'"' во всяком случае является ограниченной и потому в силу теор<!мы Больпан<1. Вейерштрасса (см. и. 2 '2' 2 гл. 11) из этой НОследовательнос"гн можно Выд<пп!'гь сходни<у!Ося поднесл<'.довательность (уь„), где н, =- 1,2.... Обозначим через у предел подпоследовательности (!/У„). В силу замкнутости множества С</ точка д принадлежит этому множеству. Остается доказать, что Р(<с., у) = Р(;е, С!) = 1пп Р(х, уь„). <<.>ж Р(Х; ) < Р(Х д<) — Р(" уг) (14.91) очевидно. Докажем теперь неравенство (14.91) в случае, когда ф.
У! + У! ф х. Заметим, !то в силу неравенств треугольника р(х,у/и) ( < Р(х, У) + Р(д, У/ „) и Р(х, У) < Р(х, Уь„, ) + Р(дь,. У) спРаведливо соотношение Ц!(/г. уь„) — Р(х, !у) ! ( Р(у. Ув,). Из этого соотношения н из сходимости подпоследовательности )уу„) к у вытекает, что 1<ш (х, уь„) = Р(х, у), т.
е. Р(х, С/) = Р(х. у) . п эьь Тем самым дока:!ательство сун<ествования хотя оы Одной проекции то !ки х на множество Я завершено. Докажем <еперьн что существует 1 о л ь к о о д н а проекция точки х на множество С,). Предположим, что су!цествуют две р а з л и ч и ы е проекции у< и у точки х на множество ф 1ак как множество С! является выпуклым, то весь отрезок у<у/, соединяющий точки у< н Уз, принадлежит множеству С,/. В част!</! + У' ности, множеству С! принадлежит середина ' ' указанного 2 /' У! -Г!/ 1 отрезка. Ъ</едпмс<1 в том, что расе!полипе р(х, ' ) от тс/ч- 2 ки х до ука/занной середины отрезки у<у/ строго меньше.
!У<се!полнил Р(х„ //<) = Р(х, Уг). Иск/почим из рассмотрения тривиальный случай, когда У! -1- !/г...,, /, У! -~- У '1 =:г. В этом случае р(х., ~ ) = О., в то время как 2 " (, ' 2 р(х.у<) = р(:е,уг) ) О, ибо ш!ачс (т. е. в слу пю равенства //(х, !/1) = Р(<е~ уз) — 0) 00<! точки у< и уг совпада,1и Оы с х и ш. У! + Уь могли оыть различными. Итак, в тривиалывзм с"!учае ' = х перав<"нство 2 17 и лдиннтный митод ноискл нкстрнмь мл 547 Используя свойства скалярного произведения двух векторов 1Ц)ОСТРННСтиа Ел' '), МЫ ПОЛУЧИМ СОО1НОШЕННЕ.
2 1, уз -(- уз 1 ( уз -(- уе , (уд -(- уз 2 ) (, 2 ' 2 у~ — т уе — т у~ — х ув — т) 2 2 ' 2 2 =( 1 = -[(13( — х. у( — х) + 2(у( — х, у — х) + (ув — х, ув — х)]. (14.92) 4 Ъбедив(ся тг(перз в справед.пивости строгого неравенства ((„— к»,— и(( ( Др, —;», —:::(»(у, —:,»1 — (((. (~49»( Для этого воспользуемся тем, что для любых векторов а и Ь пространства ял», не коллинеарных друг другу (т. е. таких, что а ф. ЛЬ ни для одного вещественного Л), справедливо строгое неравенство Коши — Буняковского 2) 1(,»(( ~ »(»й( (», ь) Это означает., что для доказательства неравенства (14.93) нам достаточно убедиться в том. что векторы у( — (г, и уя — х не колли- неарны, т. ( .
убедиться в том, 1то ни для одного всщественного Л не может быть справедливо равенство уз — х = Л(ув — х). (14.94) Если бы равенство (14.94) было справедливо для такого Л, которого )Л) ф 1, то было бы п(.возможно равен(тво АУ( ) =Е(У2 )- Справедливость равенства (14.94) для Л = +1 противоречила бы тому, что точки у( и ув являются различными. Наконец, справедливость равенства (14.94) для Л = -1 ознауз -(- уе чала оы, что У 1 = х а этот случай мы исклгочилп. 2 Итак, равенство (14.94) не справедливо ни для одного вещественного Л, а потому доказат(льство неравенства (14.93) завер- ПП'ИО.
) С»ь, например. з 1 гл. 4 книги В.Л. Ильина и Э.11 11озняка зьг)инейгная алгебра». Из 1-во «11аука», 1978. ) В самом деле, при а ф ЛЬ вектор (а — ЛЬ) не яв.зяется нулевым. Поэтому квадратный трехчлен (а — ЛЬ, а — ЛЪ) = (а, а) — 2Л(а,Ъ) т Л'(Ь, Ъ) строго положителен и его днскриминанг 4((а, Ь)~ — (а, а) (Ь, Ь)) строго отрнназелен.
848 Г:1. )! эь нкнии ннскольких нинимннных Сопоставляя равенство (14.92) с неравенством (14,93), получим, что 2/ У)+У ) р~х,' ' < 2 1 < - [(у! — х, у! — (г) + 2 (у! — (г. у! — х) (92 — (г, уг — ( ) + ~Ь вЂ”:: » -х)1 =; [~Ъ вЂ”:, — )'-Ч а-.:,тГ ..)] = — — [Р((х, У)) + Р(х У2)] Р (х, У() Р (.( У2) Т(гм самым доказательство неравенства (14.91) завершено. 11о это н(Й)авенство Означает, (то и множ('.ства (е наш '(Всь Гочка У! +У> — — '-, боле(' близкая к (г чем точки у~ и уг, а это противоре шт тому (то каждая и ! точек у! и уя является проекцией точки х на множество ()>, т.
е, 5(вл5((е!'ся тОчнОЙ нижней гранью расст05(ния р(х.у) для всевозможных у, принадлежащих СЭ. Подученное противоречие показывает, что предположе>п(е о том, что су(пествушт две различные проекции у! и уг точки х на множ(.ство О, является Ошнбо Еным. ДОКЕ)()е)тельство леммы 1 ПОле(остью завершено. Перейд()м теперь к Опр('.делен!по вьшуклОЙ функции, Определение х. Ф>унк(1ия «(х), задоннал. на выпуклом. Л(ноэн)еспше О пространшнва Г"), на:)ь(воетпся в ы п у кл, о и в и, и,! али просп)о в ы и у к л о и на этом мнооюесп)ве, если для лн>- бых двух то (ек х! и:г> мноэ(сество, Ц и для любого веи1ес>поенного числа 1, из сегмента.
0 < 1 < 1 справедливо неравенство «[((52+ 1(х2 — (г!)] < «(х!) + 1[«(х2) — «(х()]. (14 95) Определение Я. Фу)гкцая «(з!), заданная, на вь(>)уклом мнооюестве С~ просту>анства Е"", называется с т, р о г о в ыи у к л о и на этом мноэнгестюе, если, для ллобых д(ух точек х! и (гг мнаоюесп)во. Сз и для л>обого веи1ественного числа 1 и! инп(ервала 0 < у < 1 справед>)иво строгое неравенство «[х2+ Х(х2 — х,)] < «(х,) +1[«(х2) — «(х!)].
(14.99) Ясно, что всякая строго выпуклая на л(но>кестве (() функция «(х) является выпуклой па этом множестве. 10гко (' стае(овить достато п(00 условие выпуклосте! (соотгетственно строгой выпуклости) дважды дифференцнруемой на выпуклом множестве Сг функции «(х). 1>с>оду в дальней(иел(, мы будем предполагать, чело,ммо;ясеств(о Ц имеет хотя бь! одну внутреншо>о точи!. 17 гглдикнтный мктод ноискл нкствкмумл Лемма х.
Пусть функция т"(х) задана и два раэв, дифференцируема на выпуклом многаггстве сэ. Тогда длл того, чтобы. эта функция являлась выпуклой (стрг)го въгауклой) нэ, лзногасестве Я. догти)почно, чтобы вторг)й дифу)гзренциглл. 112 ' этой фуНКции ВО ВСЕХ )ПОЧКаХ С) ЛВЛЛЛСЛ КеагиПГ)ЛОЭЮитгЕЛЬНО ОПувделеннг)й (строго полоэ)сительно определенной) квадратичной формой, Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть х) и:с) -. л)обыс две фнкснрованныс точки множества б,).
Рассмотрим на сегменте 0 <1< 1 следуюшую функпию одной независимой переменной 1; Р(4) = ф[х, + 4(хг — х))] — ('(гс)) — 2[~(:с2) — ('(хз)]. (14.97) Н~~~~~~~. что второй лиг[)г[)еренниал 14 7' 1])ункни)1 1(гс) =-,Г (Гл)Л)2,..., Хгп) 7П Нс)ВВИСИМЫХ П11Н)ЫЕННЫХ Х),.'12,...,Хпг В даННОй ТОЧКЕ )à — (ГХ), 11'2, ., ., Гегп) р )Вг.и ) т гп 112У(э)) = ~ ~'~ ) (гс) .,Ьх, Ьхэ (14.98) 1=~ г-! Дифференцируя функпшо (14.97) два раза по 1 по правилу дифференцирования сложной функции, получим т т ГП(1) = ~ ~) [Г) + Е(ГС2 — )С))] [Х,, — Х,) ~Хг — ХЬ)~г ,=1 В-1 (14.99) 2 2 2 где (г),хг,...,)гт) и (х),хг,...,хгп) . координаты точек х) и Хг СОГ)ТВСТСТВЕННО. Сонг)ставляя соотношения (14.98) и (14.99), мы убедимся в справгздливости раВенстВВ Г ()) = д ф[х)+ 1(х2 — э:1)].
(14.100) гле в выражении для 11 1 приран)гния Ьхц взяты равными 2 г'1 г')' Дальнейшие рассуждения, ради определенное)и, проведем для сл) чая, .когда второй дифг[)1'1кенпиач д 7 ВО Всех зг)'1ках являг'тся квазиположительно опрсдслсняой квадратичной формой. В этом случае для всех 1 из сегмента 0 < 4 < 1 правая (а, стало быть. и левая) часть (14.100) неотрицательпа, т. е.
лля всех 1 из сегмента 0 < 1 < 1 Гп(4) > О. (14.101) ') См. и. 2 г 5 гл. 14. эх нкции нкскольких нкгкмкнных Г:1. г! В силу опредешння 2 н соотношения (14.97) нйм достато тно доказать, по для всех 1 из сегмента 0 < 1 < 1 сгтравсэдливо неравенство Г(й) < О. (14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
