В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 111
Текст из файла (страница 111)
536 Г:1. 1! Эь НКНИИ НКСКОЛЬКИХ НИРИМИННЫХ До к а,з В тель г: т В о. Докажггм снюгала нерву к! часть теоремы, предпо,,ищая, ради определенности, что второй дифференциал !14.69), (14.70) представляет собой положительно определеннУк! кваДРатичнУю фоРмУ от пеРеменных ггх! „?1т;2...., г)х,н. Докажет?, что в этом случае функция и = Х !М) имеет в точке ЛХо локальный минимум. Р?гзг?ожив! функции! и =- Х(М) в окрестности точки Мо по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, беря в этой формуле и, = 2 !).
31ы получим при этом, что Х(ЛХ) — Х(Мо) = гЬ! + —, г12гг/ + г)(рз)„(11.73) 5?о 2 ! ?Ио причем в равенстве (14.73) дифференциалы г)хь пг!ров!генных:гы входящие в выражения для гХгг!5!о и гХ гг!5?гг, равны г:оответствую- 2, щим приращениям (хь — гх!г) этих переменных, а величина р равна Р = (Сйх! )2 + (ГХхз)2 +... + (г)хн,)2 = (14. 74) По угловик! теоремы точка Мо является точкой возможного экстремума.
Поэтому на основании результатов предыдущего пункта гггг(,!хо = О. Учитывая это равенство и полагая в выраже- о ниях (14.69), !14.70) для второго дифференциала ?Ххв = хь — хы мы придадим формуле Тейлора (14.73) гледукгщий вид: ггг Х(ЛХ) — / (Мо) = — гг ~ гггь1хг — хг)(хв — хь) + г?1Х! ). (14.76) г=! ь=! Достаточно доказатьг что для всех достаточно малых р правая часть !14.76) положительна. !Это и будет означать, что в достаточно малой окрестности то гки Мо разность / (М) — Х(Мо) положительна, т.
е. функция и = Х(ЛХ) имеет в точке ЛХе локальный минимум.) Положим 6, = " '. где г' = 1. 2,..., ги. Тогда пз выражения гг (14.74! !для р вытекают следующие соотношения: !гг, ~ ( 1г Ь.! + Хг~ ~+... + гг„'в = 1. (14.76) ') Доги функпии и = Х?ЛХ) выполнены при и = 2 все уг нгвпи теоремы 14.15* (ем.
и. 4 2 5 атон главы). локальный экстгнммм 537 С помощью введенных обозначений равенство (14.75) )н)жет быть пс".~)спнссг)нс) в вид); ггг и Х(ЛХ) — Х(ЛХО) = ~ ) )г слг)г)1)ЬЬ + о(Рэ). (14.75~) г=) й — 1 Отношение —, представляет собой бесконешо малун) при и(Л') л)г Р— ) 0 (ИЛП1 ПрИ М вЂ” ) ЛХВ) С()уи)СЦИН)г КОтору1О МЫ ОООИ1а'1ИЫ Ст(р).
Введение этой функции псювсняет иам записать равенс:тво о(р ) = р .сг(р), с: поъющью которого мы придадим соотношении) (14.75") вид: гп т Л (М) — У(ЛХО) = Р ~ 2 „)' оглйгЬ)г + с)(Р) . (14.?з ) г=-1 лг.=! Теперь уже нетрудно доказать, что правая часть (14.75"") является положи)в.льной д,)я всех достаточно малых р. Квадрига нг тичная форма Ф = 2 2 агьЬэЬИ предс:тавляет с:обой функцию, г=) Ь-.) определенную и непрерывную на поверхности единичной сферы (14.76), представлян)щей собой замкнутое и ограниченное множессво.
По второй леореме Вейерштрасса (см. теорему 14.7 из и. 2 ~ 3 лл. 14) эта функция достигает на указанном множестве своей точной нижней грани р, причем из положительной определенности квадратичной формы (14.71) и из тся.о, что Ь), Ьэ,..., Ь.,„„удовлетворянпцис соотношении) (14.76), не равны одновременно нулю, вытекает, что указанная точная нижняя граньлл строго положительна. Так как бесконечно малая при р — э 0 функция ст(р) при всех достггочно малых р улов.летворяет псгравенпгву (а(р)! ( р., то вс:я ьй)авая часть (14.75) явллнт)с:я полложити;)ьной ьй)и вс:с;х достаточно малых р, т. е. Ири всех ЛХ, достаточно близких к ЛХш Это и означал)т, сто функция и = 7(ЛХ) имеет в точке Мо локальный минимум. Совершенно апа.югично доказывагиац и о в случае, когда второй дифференциал (14.69)г (14.?О) представляет собой отрицательно определепнун) квадрати шук) форму, функция и = /(М) имеет в точкс Мо локальный максимум.
Докажем теперь вторун) часть теоремы, т. е. докажем, что в случае, когда второй дифференциал (14.69)г (14.70) представляет собой знакопеременную квадратичнун) форму, функция гл = Х (М) не имеет локального экстремума в точке ЛХО. Прс"жде всего установим сщедуни|н",е вспомогательное свойство знакопеременной квадрати )ной формы (14.71). бг38 ех нкнии нкскольких пквитиинных гл.
гг Если кгвагтХкгттгглчггггя фо1глго. Ф(6г,бя....,6о,) ггггггкгггтгеХгеягегггггг„тгго ггггг1дУтггггл ггвгг совокдтипостнп птейетиегигыи (6г. 6гз,... г 6г„,) и (Уг,г',тгз,....,6,„) квакве, "гтпо (6г )я + (6г )3 + + (6г )2 1 (6в)т + (6в)2 + + () и )з (14. 77) пргг нети ф(6' 6'. „...,6', ) > О, Ф()гг',)г'.,',...,6ггг) < О. (14.78) В сггхгггкг деле.
в силу определения знакопеременной квадратичной формы найду гся две совокупности аргументов (Йг, 1~я,..., 1'„г) и (г г', 1~з...., Х~~гг)., состоящие из чисел. одновременно пе равных нулнг, и такие, что Ф(1г,1з,....Хггг) > О, Ф(1г',1з,...,Хгв) < О. (14.79) Положив 'гг (14.80) и учитывая, что из определения (14.71) квадратичной формы сразу же вытекает, что мы получим (в силу (14.79)) перавопства (14.78), причем из соотношений (14.80) сразу же вытекакгт равенства (14.77). Вспомогательное свойство знакопеременной квадратичной формы доказано.
Возв1гатимся тепе1гь к дггггагггтелы:тв1 вто1гой чж:тя тегйгемы. Зафиксируем две совокупности переменных (1гг.lгз,...,й„,) и (6",, 6!~, .... )г.,",в), удовлетворякгшие гхготношениям (14.77) и (14.78), и докажем, что для любого р > 0 найдутся две точки М (2'глвя' ' ' ' 'и ) и ЛХ (2г;'та' ' ' ' "тч ) ггРОст1гаггствгг Ь такие, что р(М',ЛХо) = р(ЛХ",ЛХо) = р, причем ' = Ь,'„' ' = 1г," для всех г = 1, 2г..., тгг. (14.81) р р В самом деле. положив для лкгбого р > 0 и для каждого номера г (г =- 1,2,...,ти) локальный экстгь>ммм 539 мы удовлетворим соотношениям (14.81), причем в силу равенств (14.77) будут справедливы равенства: р(М'.,Мо) = =Р Р(М ° Мо) = Теперь уже нетрудно убедиться в том, что для <мучая, когда второй дифференциал (14,69), (14.70) представляет собой знакопеременную квадратичнук> форму, функция и =- Х (ЛХ) не имеет экстремума в точке ЛХо, Записывая для функции и = Х (ЛХ) разложение в окрестности точки ЛХо по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пенно и беря это разложение в указанных выше точках ЛХ' и ЯХ", мы получим вместо (14,75) следук»цие два разложения; гп чп У(ЛХ') — У(Мо) = — ~~,,) оаь(х',— х>)(хь — ха) + о(ро).
(14.82) '=> в=> Х(ЛХо) — ДМ>>) = — ~ ) а,в(х" ,— х,)(х," — х») + о(ро), (14.83) ',=> в=> справедливые для всех достаточно малых р ) О. Подставляя в э>и раз>>ожени>> значения (х.— х>) и (х — х>) из равенств (14.81) и учитывая, что о(ро) = ре о(р), где >т(р) — > О при р -а О, мы придадим разложениям (14.82) н (14.83) следуюший внд; >а т У(М ) — Х(Мо) = рз > ~~> ~~ о,ь1>',Ььь+ (р) »= ь=! ап ш Х(ЛХ ) Х(Мо>) Р— 'у 'у' н>ь1>,1>ь Ь»(р) ,=.> в=> По>ледние два соотношения можно также переписать в виде: У(М ) — У(ЛХо) = Р ~-Ф(Ь',,Ьо,...,Ь,'„,) +»(р)~), (14 82") .> ( ) '~( о) Х> (2Ф(Ь>.
Ьо,.... Ь и) + >т(Р)1. (14 83 ) 540 г:!. >! эь >>кции нискольких пивиминных У >итывая соотношения (14.78) и тот факт, гго вели тины Ф(6',, 6>~,..., 6'„,) > 0 и Ф(6,",, 6!'...., 6",в) < 0 не зависят от р и вспоминая, '>то р = р(ЛХ, ЛХо) = р(Мв, ЛХо),;>ы пол1">ит! и:! соотношений (14.82") и (14.83"), что для как у! одно ъ>свпюо р > 0 справедливы неравенства ) (М') > ( (Мо) и Х (ЛХ") < Х (ЛХо), которые и доказыван>т отсутствие экстремума в точке ЛХо.
Теорема 14.16 полноетью дока>ана. 3 а м е ч а н и е 1. Если второй дифференциал два раза дифференцируемой в данной точке возможного эк>>тремума ЛХв функции и = /'(М) представляет собой в этой то >кс квазизнакоопрсдсленнук> квадратичну>о >1>о1»>у, то нельзя сказать ничего определенного о наличии >>лп отсутствии в этой ~~яке .лоха.;>ьного экстремума. Так. например, у каждой из двух функций и! =- к! + й и из = к + д второй ди!)>ференциш в точке возъюжного экстремума ЛХв(0, 0) тождественно равен нули> (т. е. представляет собой квазизнакоопределенпук> квадрати шук> форму), но только одна вторая из указа>шых двух функций имеет в этой точке локальный экстремум. Для репи'ния вопроса о локальном экстремуме для случая, когда второй дифференциал представляет собой квазизнакоопределенную квадрати шую форму.
следует привлечь дифференциалы более высоких порядков, по это выходит за рамки данного курса. 3 а м е ч а н и е 2. Требование дз>>(,>>„> 0 (соопгветстветю дап(г! < О) лвллстпе>я необкодпл>ым условием лок>>лая>ого ма>тщм>! (максимума) в точке ЛХв двиоюды д>>ф>)>е>реиц>>рйемой в вп>о>! >>>очке ф>~пк>1пп, и = Х(М).
В самом деле, пусть, ради определенности. н= Х(ЛХ) имеет в точке ЛХо локальный минимум, но у! п>вне е! и),>>„> 0 не выполнено. Тогда найдутся 6>, 6з,..., 6в, такие, что еп д >>~>»>, — е ~ . (ЛХв)6>Ь! < О. г=! ь=! о а о Расе:мо>рит! е)>> нкцик> Хг(1) —..
/'(л! + )6>, кя + Иа>...., л„+ И>»>), :>аведомо определеннук> >0>и веех 1, д~с~а~оч~о ма~ы~ «о модули>, Функция Р(Е) обязана иметь локальный минимум в точке 8 = О, чему противоречит условие Г (0) = >1в>>~л!» < О. 8. Случай функции двух переменных. На практике часто встречается задача об экстремуме функции двух перемен- локлль~ый нкстримьм нык и =- Х[х, у).
В этом пункте мы приведем результаты, относягниеся к этому случаи!. ди дп ди Обозначим частные производные ...—, в некоторой дс' деду дсте о точке ЛХо[х, у) символами ос!, а!2, сл22 соответс хи~~но. Сп))а!неллино сыедунпцее у т в е р ж д е н и е. Пус!тптс фусскция двух тснйи:мьчигых и = ф(стл у) од!и! рсэ„! дифо фе1ссстсцтсртуелссс в окрссстсстсс!сост! тпо'ски ЛХо[х, у) и, два раза дифферетгцируема в салат, тиссчке ЛХо и тс((стгсь ЛХо являетпся тпочкои возмог!от!ого экстремума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
