В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Тогдсс, если в тпочке Ме вы!тол!!се!со Усссовтсе а))ахс — а!2 ) О, тпо фртскт(тсл и = 1[х, 11) ил!с!сто, в э!!сои 2 тпосчке лакал ьивсй экстпрсмум [мссксслмум артс сц) < 0 и минимум прсс, ис! ) 0). Если эне в и!очке Мо о! !а22 — а!22 < О, тпо фуикцтса и =-. 1(х, у) ие имеет в этой спичке локаатлсого экстпрелп(ми ).
Д о к а з а т е л ь с: т в о. Сгйтаведливость перес!й части сформулированного утверждения непосредственно вытекает из теоремы 14А6 и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, ибо а! ! сл!2 = а! ! а 22 — а! 2. С!21 С!22 А) = 1111 А2 — у — эс Л! = — ', Л2=— (т р получим сдеду!опгее выралсепие для второго дифференциала: 2 2 й !с[ма = р ~ ~ ас11)с1св = р [а)!Ьч + 2(п211!1)2+ а22112) = т=! 1=1 (т 2 = — [[(11!111+а!2112) + [а)1а22 — а!2)1!21.
2 2 а,сс Легко проверить, что при 111 = 1, Ьг = О и при 11! = асс +ест Ьа = ) дифференциал (Х и[ага )ла!ее! разные знаки, аы 2, тсгасс + ост с Случай асса е — а,с = () требует дополнительного стссчестованстст. тс ) При этом р может быть как угодно малой величиной.
Ус:вовне )с, -(- Б,, = т 2 =- 1 выполнено. Докажем втс!1!усс) чадить у тве()ждени)1. Итак, !!усть в точке Мо справедливо неравенство а! !а22 — аг!2 < О. докажем. что в этом случае второй дифс[!еренциад йг и в точке ЛХ(! предо тавляет собой з н а к о и е р е м е н н у н! форму. Рассмотрим сначала слу тай а(! Ф О. Используя введенные вылив обозначения 542 гл. 11 эь нкннн нксколькнх нкгкмкнных т. е.
является знакопеременной формой, и поэтому, согласно теореме 14.16, функция не имеет в точке ЛХа локального экстремума. рассмотрим теперь случай ан = О. Тогда из у<ливия гн гавэ— — а~гз < 0 вытекает„что и1в ф О. Следовательно, из написанного виню выражения для гРи! гг„получится гХ помо р 172(2н121Н + сс2262). а 2 (14. 84) Пусть 61 ф- 0 и величина 6в столь мана (из условия 621+ 6~ ~= 1 следует. что такой выбор 61 и 6: возможен), что выражение (2а1в6~ +ивв6в) сохраняет знак величины 2а1:Ьь Тогда из формУлы (14.84) вьггекает, гго с(ви)аг, имеет Разные знаки пРи 6.
> 0 и 6э < О, т. е, функция и = Х (х, й) не имеет локального экстремума в точке йХе. Утверждение полнгх тьк> доказано. 4. Примеры исследования функции на экстремум. 1) Найти точки локального экстремума функции гп переменных и =- Лх~ +хз+ ... + х,„+ 2хз+... + 2хп,, (1485) где Л -. отличное от нуля ве1пественное число. Для отыскания точек возможного экстремума пгыучаем гыедукпцие у1)авнения: = 2Лх~ = О.
= 2хв + 2 = О, ... „' — 2х,„, + 2 = О. дх1 дх2 дх ™ (14.86) Пз уравнений (14.86) заключаем, что единственной точкой возможного экстремума является точка Ма(0, — 1,..., — 1). Чтобы исследовать функции> (14.85) в этой точке Ма с помогпыо достато тных условий экстремума, вычислим второй дифференциал Х и~гуа — — 2Л(дх1) + 2(Ххв) +...
+ 2(сКх,,а) . (14.87) Очевидно. что при Л ) 0 все значения второго дифференциала (14.87) при гХхы дхв..... с~х„„одновременно не равных нулкн являкнся строп> положительными. т, е, при Л ) 0 второй дифференциал (14.87) представляет собой положительно определеннук> квадратичпук> форму. Поэтому при Л > 0 функция (14.85) имеет в точке ЛХо(0, — 1,..., — 1) лока. и ный минимум. При Л < 0 второй дифференциал (14.87) положителен при с(х1 = О, .... г1х и 1 — — О, г(х„, = 1 и отрицателен при г(х1 = 1, г(хэ .= О, ..., г(х„, =- О.
Это означает, что при Л < 0 второй дифференциал (14.87) представляет собой знакопеременпую квадратичную форму. Поэтому при Л < 0 функция (14.85) не имеет в точке ЛХе(0, — 1,.... — 1) локального экстремума. Ь' 7 ГГАДИЕН'!'НЫЙ Ь!ЕТОД НОИСКА ЭКСТ!'ЕМУМЛ 543 2) На, плоскости даны н то гек Мь (ив г Ьь), Л = 1, 2.... г |г, в которых сосредоточены массы гггь > О. Требуется найти на этой плоскости точку ЛХО(хагйО) такую, относительно которой момент инерции указюшой системы материальных точек является: |иннмальным. Так как хюмент инерции указанной системы материальных точек относптелыю точки ЛХ(х, у) равен и Х(х, 'г!) = 7 'гггь[(х — ггь) + (9 — Ьь ) (14.88) ь=.! то задача сводится к отыскашпо точки МО(хаг де)г в которой функция (!4.88) достигает оно|его минимального:значения.
1.,гя отыскания точек возможного экстремума функции (14.88) получаем следукпцие уравнения: и и — =. 2~~| ть(х — ггь) = О, — = 2 ~шь(9 — Ьь) = О. (14.83) д1 д1 дх дя Ь=! Ь=-! Из уравнений (14.89) заключаем, что единственной точкой вггзмогкноггг экстр|*мума функции (14.88) является точка '!ХО(ха, ЦО), координаты которой равны ггггаг -!-тгаг -!-... -!- т„а„пг|Ь, -!- тгЬ„+ ... -!- т„Ь„ хО = РО т| -!-нгг-!- ... +т„г ' пгг -!- тг-|- ... -!-т„ (14.90) а д|1 т — г д|1 д"1 Так как а|! =,, = 2 ~ шь > О, <л|я = „= О, гггг = —, дхг дхдй ' дуг а Ь вЂ” ! я = 2 7 |ггв > О, то а||иве — и|я > О.
и согласно утвержденшо, Ь=-! доказанному в п. 3, функция (14.88) имеет:юкальный минимум в точке ЛХО(хО, уе) с координатами (14.90). Легко убедиться, что значение Х(хг 9) в этой точке ЯвлЯетсЯ минихпшьным. Заметим в заклк|чсние, что формулы (14.90) опрсделян|т координаты центра тяжести рассматриваемой системы материалы|ых точек. 9 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции В этом параграг(гс излагается теория широко применяемого на практике градиентного метода поиска экстремума сильно выпуклой функции.
Идея этого метода чрезвычайно проста. Для приближенного отыскания точки минимума функции т переменных используется тот факт, что градиент этой функции имеет направление, совпадакпцес с направлением наибольшего возрастания й44 Г:1. 1! эь икции икскольких пигкмкниых этой функции. Стало быть, вектор — йг?1() «'(ха) в каждой точке а О а Э'О: (Х|, Хт,....
и и) ННП1)ЗВЛРН В СТ01)ону НЙИО(ШЬШ( ГО уОЫВН ния функции «(х) = «(х(, Х2,..., х„,). Это дает основание ожидать, что ести., отправляясь от некоторого нулевого приближспия (со = (э;|,ээ?,,,.,х„,), мы пост1)о(1)л т(-е (ц)1(ближ()ние хь ь ь ь = (х|дс2,..., х ) по рекуррентной формуле : ь?1 = ь — й в~«(хь), то при достаточно мало?(положительном о последовательность точек (хь~ со|лдется к точке минимума функции т(х). Строгой реяли:)анин этой простой идои и посвящен пастоящи!л нщ)?нй)в(1).
1. Выпуклые множества и выпуклые функции. Пусть ! 2 Х! = (Х|„Х2,..., (1)п>) И Х? = (Х|„Х2„... „Хт) ДВЕ ТОЧКИ тпмерного евклидовапространства Е"', которые мы можем рассматривать квк векторы в Ет с соответствуюп|ими координатами. Нвзовем О т 1) (1 !'3 к О и, со('.Диня!Оп|им тОчки х| !л х2, множество точек пространства Ет вида (г| +1(Х2 — х!), где 4 . любое число из сегмента О < 1 < 1.
Будем обозначать отрезок, соединяющий точки х| и х?, симВОЧОВ1 .1:!(72. Определение 1. Мнаэкесп)ва (~ тпачек праспърянства, Е'" нвэываепия в ь! и, у к л ы м, если ана абладаеп), след(|та(йил( свайствал(1 каковы бы ни были две. точки х| и х, принадле; жалцие мнаэн есп)ву с(>, атпреэак х!.с?. их саединяюший, также т!ринвдлсжит э!пажу мнагисеств у. Примером выпуклого множества в пространстве Е"' может служи|в 771-ь!ейный и!?11) (без1)аз.!ичио, о!крыты)! !|ли з?)мкнутый) |лли полупрострвнство х„(> ) О (т.
е. множество всех точек (х|, (г,..., Хп,) и1)остр?н!Ств?1 Е~, пмя координата которых удовлетворяет условию х, ) О). Примером множества (>>, не явл)пощегося выпуклым. может служить дополнение т;мерного шара или и(;мерный шар, из которого удалена хотя бы одна точка. Пусть с) - некоторое множество точек пространства Е">, В (г, любая фиксированная точка этого пространства. ННЗОВ()м 1) в с с т О я и и е ь! 01' тОчки х дО множества точную нижнюю грань расстояний от точки х до всевозможных точек этого множес|ва.
БЛСТ(лтл Обо:Лнв шть 1>ас(тонн|И( От точки х до множеств?! О символом р(х, О). ГГЛДИЕНТНЫЙ МЕТОД ПОИСКЛ ЭКСТ1'ЕМУМЛ 545 ! 7 Итак, по определению Р(Х, сь)) = >П! Р(Х,У). уеС> Для любого множества Я> пространства Е'и и л>обой точки >г, этого щ>остранства существует расстояние р(х,1,>) '). В частности, если точка х принадлежит множеству С), то р(х, С>) = О. Однако у множества б> нс вс1>гда существует точка у такая, что р(х, у) = р(х, б,>). Т>к, например, если множество Ц представляет о т к р ыт ы Й >п-М1)>ный шч>, а х точка Рвт, лежащая вне этого шара, то у такого множества бь> не существует точки у такой, что р(х. у) = р(:г, !ь>) (ибо для всех точек у открытого пира сь> справед,шво неравенство р(х, у) ) р(х, ф), Если все же у множес>ва б> существует точка у такая, что р(х„у) = р(х„б,>), то эта точка у называется п р о е к ц и е й точки т, на множество С>.
Проекцию точки х на множество б> буд1>м обозначать символом Рг)(х). Подчеркнем. что если точка х принадлежит множеству б,), то Рг>(х) = х. Итак. проекция Рг>(х) точки х> на множество бь) ощ>сделается соотношением р(х, Рд(х>)) = р(х, б>) = !пГ р(х, у). веО Поле:зно отметить, что может существовать несколько проекций точки х на множество Сь>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
