В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 108
Текст из файла (страница 108)
= 1(Х1, Ха,.... Хю): г)п = с1зн + с(ха+... + г)хп,. (14. 20) х~ хе х Предположим, гто величина, стоящая в правой части (14.20), представляет собой функция> аргументов х1,.га,,, ., хю, диффе- ренцируемузо в данной точке М(хыхз,....хю). Для этого до- статочно потребовать, чтобы функция и = 1"(х1.хя.,...хп,) бы- ла два 1эазы дне)к))е1)ен|н41зуемы в данноЙ то ~ке М(х ~ . хэ,.... хсл), а тргу;и'.Нты х1, ха,..., х„являлись лицо ти.зависимыми пе1зе- менными., либо два ра:за дифференцируемыми функциями неко- торых независимых переменных.
5 б ш оизводпык и диеекгкициллы высших погядков бИ Прп этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал )и б(ди) = б ~~) — "' дхь в — — ! от величины (14.20). Определение 1. Зпа'сснпс б(с)и) днффсренипили от гсес)ваго дифферснцаило, (14.20), взятое при бх! = дх), Бхз = дхг, ..., бх,, = дсспо назьсс)истс!я в т о р ы м сд и ф ф е р сс и; ц и а л о лл фйнкцсгсс, 11 =.- ф(х),хз,,.,,хт) (в данной точке М(х), хз,.... х„,)) и обсжничистся самос)лолл сМ и. Итак. Но определению ) )в ~(дсс) дх) = дх!.
~ ~д' дх дхи Лт! = дт) дх -дсе, я=! дт = дх.„, Лх,„= дх, Дифференциал дои ли)бого порядка и введем п о и н д у к- ц и и. Предположим, что уже введен дифференциал да и поряд- ка и, — 1 и что функция и = ф(;г),хз,...,хп,) и, раз лиффе- ренцируема в данной точке Ы(х!.ха,...,хои), а ее аргументы Х).Ха,...,Хп, ЯВЛЯН)тСЯ ЛНСИ) НЕЗаВИСИМЫМИ ПС!РЕМЕННЫМИ, ЛИ- бо и, раз дифференцируемыми функцпямн некоторых независи- МЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 11, ХЗ...., Хсм Определение и.
Зна !ение. б(дл !и) дифференциала от, (и.— — 1)-го диффс!ренциидси сУД и, взятое 1)ут Бх! = дх), бха = сьхз, ..., бх„, = дхпо низывистся п;лс д и ф ф е р с н- ц )л а л о м фюункцсссс, и = ф(х!.,хг,х„а) (в данной пючке ЛХ(сх), ха,...,х„„,)) и обозначаео!ея самса)лом д" и. Итак, пО Опредс!лени1О сКвп = Б(дв и) дх, л7,": дт: 6х„, = дх„, При вычислении второго и последующих дифференциалов приходит!'я гу1цс'.ствс!Нно ралли ат1* два случая: 1) случай, кс)- 1Да аР!тсмс нтъ1 сс 1, ха.., ., х)сс 1!Вл1!ютсис независизсыми пеиех1ен- НЫМИ; 2) СЛУЧай, КОГДа аРГУМЕНтЫ Х), ХЗ,..., Хто ЯВЛЯ1ОтСЯ СООт- ) Символ ( ~ с, -дю обозна)ает, что в выражении, заключенном в г= ) 4)игурные скобки, следует положить дх! .=.
дх), дх) =. дх,..., 6х„, = дх,. а20 еь икиии инскольких пивнмниных ГЛ. 1! гп г)2!! = й1(11!) а — — Б гг — ()хь и=! п)г,„— г|.г, 6:гг=г(хг, 6х„, — —. ((4 „, —:."~дх 'х1 г>г „-',.1'" "(дх) й=! В=1 Ы,„= г(.» гп гп гг" г|(.„|)~,, =~' (*,~,г (г")г;;~ в =1 г=! ~г)г:„,- (|4, 6:гг =- г(г',г 4>:„, = ((4, | а с пг гп (1.х, (Ьь ь=!| ! пг гп =,'> '~',"; )хгахв В=1 г= (14.43) 1;(4ы воспользовались е|це и тем, что для два раза диффер(нцируе|и>й функции смешанные производные второго порядка ш.
заВисят От ТОГО, В какой по(ш(|дОВйт(л!.ности щ>оизВодится >ти()>- ференцированпе.) Итак. мы получаем. что в случае, когда аргументы х|,.!Тг... „х,п явля!Отея н(.зйвисимык|и перемепнымн, для Второго дифференциала два раза дифференцируемой в данной точке фУнкЦии а = ~(х>, хег... г х,„) спРавеДливо НРеДставление: гп гп (1 и =- ~> ~ (Х:|:,()хы !14.44) г=1 й=! ВетстВук>щ(1(! число раз диф()>е1>енцируеыыа!и ()>ункциями неко- тОРЫХ НЕЗаВИСИ Ъ|ЫХ ПЕРСМЕННЫХ !!. йв, .., г $В, Рй(>СЫОГРИК! Спйзйдй !ТЕРВЫИ ( !УЧйй|, Е( !Н (Х> г (ГЗ...., Хг(г Яв- ляются н е з а В и с и и ы и и переменными„то к|ы и>|ее: ! щ>ВВО СЧИтатЬ, ЧтО (1Х!г(|(ГВ,...
г(1Хг НЕ ЗаВИСят От Х|,Хег...,(Г,„. кажды!1 дифференциал ()ху, мы можем взять равным одному П ТОК|у жс Прирйш(|НИК> ЬХВ ДЛЯ ВСЕХ СОЧЕН М((Х>,.!Вг ...Д(|ггг). При зток| мы получнмг что 4()х,.) = ~ ~1"х|)йх, = О. дх, г=! Посчеднее соотношение и правила дифференцирования, уста- новленны(! в конце п.
5 ~ 4, позволя|от пах| записать для дВВ раза диф()>ере|щируемОй В д>шной точке >г| ()>ункции и = Г1х! г хе,,, ., х|п) ((ледук>шу|о цепочку равенств: 521 3 ам с ч а н и е 1. Функция т переменных 11,12,...,1т), вида и) (п ф = 2 2; а(Е(ч(Ь, Гдс апь — НОСтаяННЫЕ ВсщсетВЕННЫС ЧИСЛа,, (=! !.— ! наз!1Вается к В а д р а т и '1 е1 О Й ()) О р м О Й От п(11юмее!ных 1(. Й,,,,, Есг), а ЧИСЛа аьь ЕЕ КОЭффИЦИЕНтаМИ.
Кв)тдратиче!В)1 с))орма е!Взывается симметричной. (1(.ЕВ ее ко- эффициенты УдовлствоРЯют Условию а,е = аы 1длЯ всех ! = = 1. 2,.... т: lс = 1, 2,..., Ис), Полученное нах!и выражение 114.44) позволяет утверждать, ч'го ДлЯ щг)' 1ВЯ, когДа а1ИУЕ!енть! х(1, сгг,.... хсп е!ВЛЯк)тсЯ независимыми переменными, второй дифференциал два ра- за ди(1)(1)ерснпщ)уех!(н1 В дае(нОЙ точке ЛХ с))уе1кции 'и = «(х),схэ,...,хи,) представляет собой симметричную' ), квн- дратичпу!о (1)орму от первые!нных с)х), ьехэ,..., (/х„п. коэффици- енты кОтОЙОЙ раВны сООтВетстВукццим частн! 1м щ)ОизВОдным ВТОРО(О НОРЯдк1 ())Ункцни '!1 = «1х!. .'гй,...,.гсп), ВзЯтым В данной точке ЛХ.
Отметим, что п(ыученное нами выражение для дифференци- ала второго порядка 114.44) можно переписать и в другом виде, используя формальный символ (4 = (Хх! + йхэ +... + (Хх,п . (14А5) д д д С помощьк) этого символа выражснис' 114А4) может быть пе- реписано В Вид(1 (1 и = ) (Хг,! +(1хэ +... +((хп, г! и. 114.46) ПО индукции ле кс уоедиться В том, 1то В (Ету (ае.
кОгд1 ц)- гУменгы х),хэ....,хгп а Раз лиф())еРенЦНРУех!ОЙ В ДВНН~Й !О !ке ЛХ(х(, хи...,:г„,) функции и = «1(г), хв,..., хгп) являются неза- висе!Мыми переменными, для а-го дифференциала этой функ- ции сщ)аВедлиВО про'и'таВл((ни(г сп и) пг ()пи = ~~ ~) ... (( " (1х„(1хгг... с)хг„. ')' " ! '! г б=! )=1 ы=! Это представление с помощью формального символа 114.45) может быть переписано в виде (Х и = ) Ах! — +(1хг — +... +йхи,— ) и,. (14.47) д д д~п дх! ' дхг ' ' ' '' и'д.г,„ СиммЕтричность Этой квсс(ратичиой формы вытОкавт из равенс:тва 1гЕХ) =-,, 1М). с ь пгоизводпыв и диээвз иицийлы высших погядков 523 3 а и с. ч а и и е 2.
У)сажс))1 важныЙ частньш случай. Когда, второй и послсдукнцие дифференциалы функции га от псзрсмсзнных и = — ф(х), Х2,..., хга) все же обладают инвариантпос тью формы и определяются той самой формулой (14.47), что и для СЛУЧаЯ НЕ:ЗаВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Х),Х2,...,Хнс. ЬЪДСМ ГОВОРИТЬ 1ТО ПЕРЕМСЗПНЬН', Х1,,'1)2.....;1)~п ЯВЛЯК)тСЯ л н н е Й н )1 и и 11) у н к ц и я м и нс'.завис:имых ссс;рс;мс)нных 41, 72,..., 7ы ес чи они огй)сделяются равенствами х, = а;о+ с),)41+а,242+...
+ а,гав (с = 1.2,....т), в котоРых чеРс з а;о, а,),..., аси обозначены некотоРые постоанные. ЗаМЕтИМ. Чта ССЛН фУНИЦПЯ Н = Х(Х1. Х2,....Хга) ЯНЛЯЕтся 'и 7ин с)7)ффс7)с)111717)1/емосс е с)аниса п1очис' ЛХ(х), х2., т,п), а сс сй)аУмсз)ипы х), хв,,... хта Яйллюп) сл л)гнсйным77, фУ)си)47)Я- лис 7)евиенсилсьсх 71177)емя)с)зьсх 71,72.... ЛЫ псо 71-й ослффе7)с)71747)- ал ф77нииаа и = 7(х), Х2...., х„,) ог)7)есуеляс)гпс)я гной сисе сали)й фо7)мумий (14.47), что и с)ля случил неааепспмых переменных "' 1 °:) 2 ° ° ° ° .) ги .
Чтобы убедитыя в этом, заметим, гго поскольку 41, 6),..., 477 являк)тся н е з а в и с и м ы м и ш)ременными, то и-и дифферсзнциал:г, как 11);нкций 11)гуассзнгов 41. 42,..., 7В опус)дсзляс.)ся равенством типа (14.47), а точнее равенством д )'а с)пхс = (с)74 — Р й12 — +... + с)бь — ) х,. " йч йсэ '" ''ЙСьУ' "' Но любая пн;тная производная вылив первого порядка от линейной функции сг, равна нулн). Стало быть, 172)г) = О, с))зх, = О, ..., с))'х, = О. Равенство 112Х, = О (при всех 7 = 1,2,...,)п) и представление (14.48) днк)т право заключить, что д 7) определяется ра- 2 венством (14.46).
Совершенно аналогично, используя соотнсипсния дз:с, = О...., с)вхс = О, мы по индукции докажем, что д' 71. 17: 7),.... дни Онред) Л))ЮтС я РВВС Петнпю (14 А с ) . 3 а м е ч а н и е 3. При проведении вычислений иногда )ребуетс:я расшифровать равенство (14.47) и, учитывая, что в этом равенстве имею)- си совпадая)щие члены, выписать все ралли сные члсны этого равснства со стоящими перед ними коэффициентами.
Для этой це.пл может быть использована формула и о л и н о м а Е1ьютона, имеюшаявис (о -7-оэ+ .. -)-о„,)! о)!оэ!... о ! гз- (14.49) б24 Г:[. 11 Фу нкннн нисколькнх нигимннных [суммирование в правой части этой формулы идет по всем целочис;генным инлексам ат, ат..., а„„каждый из которых удовлетворяет неравенствам 0 ( а, ( и при у>ловил, что сумма всех этих индексов ат + с>2 +... + а„„ равна и) Формулу [14»49) нетрудно установить по индукции. В т:амом деле, прн ги, = 2 и при любом натуральном и эта формула заведомо справедлива, ибо опа переходит в известнуто формулу бинолта Ньютона.
Предполо>киьт, что зта формула сп[>аводлива для некоторого яоьптра ш > 2 и любого натурального и» и проверим, тто в таком случае она сараведлива и для номера иг, Е 1 и любого натурального и. Представив [ат -~-ат -'с... т а„, + а,„, ~ т)" в виде [ат + а>-Ь... Е а„„,тт)" = [[ттт + аг-~-... Е а„„) + тт„,тт)", подсчитаем с помо>ныо бинома Ньютона коэффициент при а',"аз... а„„'"а„,"т,'. В сил> равен>так ат + аг +... + с»,.тт = и.
форму.— лы бинома Ньтотона и предположения о справедливости формулы 114.49) д»аи номера т, я гпобого натурального и, этот козтрт)>яциент равен ') [ат -~- а2 -~-... Е а„,)! [ат) ° [с>2) ... та ). [ат + ат -'с .. ж а„, -~- гт„ , т )! [т»т -Ь аг -~- ... -1- а„,)! (а„,эт)г[а + а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
