В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 103
Текст из файла (страница 103)
чпго Х(Л<) = С'. Доказательство. Пусть = ьРь(1); х2 = ь<>2(6)... ° хы = <Р~ь(6) <г ~ <6 ~< 1>. уравнения непрерывной кривой В, соедиияюшей! точки А и В множества <<ЛХ) и целиком располагающейся в (ЛХ) (см. и. 5 9 1). На сегменте (о, у> определ<па сложная функция и = 1(«>1, ье2,...
...,:е, ). гд<' х, = <уь<(6). г = 1,2,<п. о < 6 < /3. Очевидно. гд. 77 етункцнн ннскодькнх пуп кмкнных зиачсния этой функции иа сегменте [отЯ совпадают со значениями функции и = ) (ЛХ) иа кривой Е. Указанная сложная функция одной переменной т, в силу утверждения раздела 2' этого пункта, непрерывна па сегменте [о. Я и, согласно теореме 8.6, в некоторой точке С сегмента [о, Я принимает значение С.
Поэтспту в точке 575 кривой Х с координатами 7577©, срг(С), ... ....стэн,(с) справедливо равенство Х(57)) = с. теорема доказана. 5'. Отраиичсииость функции. Неьсрсрывнои иа замкнутом ограниченном множестве. Теорема 14.6 (первая тпеоремо, Вейерштрасса). Есм л,и функция, и = 1(ЛХ) непргръсвна на, замитпутппм ограни"сенноль лслтож:еспиьс (ЛХ), псо она ог)татстсчсьтиь на зисом многа'естпже. Остаиовстмс'я иа доказательстве ограниченности тл = 1(ЛХ) сверху. Предположим.
что и = 1(М) ис ограни сева свсрху на (ЛХ), Выделим (как и в доказательстве аналоги той теоремы 8.7) последоватцтьиость (Ма) точек множества (М)7 для которых Х(ЛХП) ) и. В силу теоремы Бодьцаио — Вейерштрасса (см. п. 2 ь) 2) из (Мп) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (ЛХсы), пре;тел ЛХ которой. в силу замечания к теореме Больцаио — Вейерштрасса. принадлежит множеству (М). Очевидно. Пос тедовательиость ( Х(ЛХь„)) бесконечно большая. О другой стороны.
в силу непрерывности функции в то тке М, эта последовательность [1(ЛХь„)) должна сходиться к Х(ЛХ). Полученное противоречие доказывает теорему. 6'. Достижетттле функцией, непрерывной иа замкнутом ограниченном множестве, своих точных граней. Теорема 14.7 (витория теорема Вейершттсрасса). Еслз, функция и = — 1(ЛХ) ти551151515ысьна на,;самкиутаоль огринссчеином мнОзтсестстве (ЛХ), П10 Она, дстсстпттгасстп, на, э7пол1, множесстпсте с151тих' питчных верхней и тстсоютьсч', граней.
Дотсасьательс1тво этой теоре; мы совершенно аналогично доказательству теорсхты 8.8 (вт.орая теорема Вейерштрасса для функции одной переменной). 7'. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных. сХтункзтья и=1(М) нажывается равномерно неирврыви о й на множестве (ЛХ) ) свкллсдова ироспсраиства Е'"', если для любого иолосяситиельиого числа г можно указатпь тпакое иоложитпслъиос 11, завтитисцсмз только Отп с, что длж ллобътх двус точек ЛХ и, ЛХ множ;есспва, (ЛХ), удствлсттьворяиттцть715 условиит р(М'„ЛХП) < б, выполняетися неравенс1пьво /Х'(ЛХП) — Х(ЛХ')! < г. 1'1меет место следующая теорема.
') Нря агом Предполагается, что множество (Л|) нсютно в себе, т. е. в лтобой г-окрестностн каждой точки И этого множества нтьекттся отличные от ЛХ точки тшожества (5ЛХ). 497 ироизводнын и дневи нпциллы Теорема 14.8 (тпеорема о равномерной непрерывности). НепХтерыттная на залткттутвм ттгдяттттнтеттттом лотожтктаве (ЛХ) фуна:ттпя рптттчттлтттХттто непрерывна на этом лтнттжесттттэть Доказательство этой теоремы совершенно ана.тогично доказате,;тьству теоремы 10.2 и полу тается из него путем замены термина есегмент (а, Ь)» термином емножество (М)тч замены буквы:с на букву ЛХ и замены выражений типа (з;и — х'( на символ р(Л|'. ЛХв).
3 а и е ч а н и е. Назовем дтзттлтттптуттлт огратттл тетшого множества (ЛХ) то тную верхнюто грань тисел р(ЛХ',ЛХп). где ЛХ' и ЛХ' — — всевозможные точки множества (ЛХ). Используя понятие диаметра хшожесттза. отметим следующее свойство непрерывных на замкнутых ограни тенньтх множествах функций. Пусть (1)уттткптття и = Х (ЛХ) нсттрттрытзтто, на замкнутом ограниченном мттттэтсттт:твтт (ЛХ). Тогда, для любого ттогтттжтттттттлттттого числа г можно указать такое б > О, что на каждолт, ирттттаг)лтн жащем множеству (ЛХ) замкнутом тнтдмножестве (ЛХ), дпо.— мвпт(т ктттпттХтттгтт лтсньптет б, колебание ит ) дтунктттттт, Х(ЛХ) мвньтие г, Доказательство этот о свойства совершенно аналогично доказательству следствия из теоремы 10.2. я 4.
Производные и дифференциалы функции нескольких переменных 1. с1астиые производные функции нескольких переменных. Пусть точка ЛХ(трхй,.,.,х„,) является внутренней точкой области задания функцитл и = Х(:сд,,та,...,:ттв). Рассмотрим в даттттслл фиксированной точке М(хт, хэ....., х„а) отношение частного приращения Ьх,тт (см.
и, 1 ~ 3, формулы (14.8) и (14.9)) к соотвен:твуюшему приращению т)т.т:тт аргумента хй, .'а„и Х(хт,х...х» т,х» -~- Ъх»,хетт.....х,) — Х(тт,х .....х, ) (14.12) Отношение (14.12) представляет собой функцтткт от Лаям определенную для всех, отличных от нуля значений ьа:сть для которых точка М(хм юг....., хтт м:сй + Ьзтохт,. ьр..., хтв) принадлежит ооласти задания функции и Определение. Если сущсшттвусти предел оптнопгензтя (14.12) чостпного путпХЯттйенттл, Ьтчи тХтУнктттттз в точке М(хм ха...., хттт) ') Козебаниезт «: функции Х(ЛХ) на множестве (ЛХ) нсоывается разность между точной верхней и точной нижней гранями функции Х(ЛХ) на этом множестве.
498 ев пкпии нкскольких пн! нмннных ГЛ. 1! к соогллвегллсгллвдюи1егл1л! гл1ллл1ялгл1еглллло л.'г;сд в1легученпллл хд при л."лхд -э О., глллл э!поил глйледел гювьлоосгпсл ч, о с лн и о Й л, 1! олл з с! с! д н с! гл, с1кункллллллл и =- 1(хл,хз,... лсю) сл |!!очке М по аугулленлтл1! хл, и обогллачвсгллсга однилл лы следующих симеонов! ди дт л л Таким об1лазохл — 1пп (14.13) дхл.
ьхл — ло -гхл. Отметим, что частная про!!вводная фупкцлли и = 1(лсл.лсз,... ..., х„,) по аргументу хл- представляет собой обыкновенную пронзводллую функцин одной переменной я:л, при фиклчлрованных значениях остальных переменных. Поэтому вычил.ление частных производных производится по обычным правнлам вычисления производных функций одной переменной. П р и м е р ы. а х ди у ди — х 1. и = агс1н — , — ' = дх хг + уг дд х -л- уг и = хед + 1п(х — й+ х), — = ев + ди уг 1 дх х — дэ-г ди, уг 1 ди 1 — =хге — . —, — хуе + ду х — уэ" дг ' х — у-л-г 3. о лл = 1к ллх — уг, ди х элгй — ух сояг г,лхг — уди дгл у дд 2 лслгг — ухсояг Лгг дг дг 2тллгэг — дг сояг л,лгэг — дг 3 а м е ч а н и е 1. 1Лз существования у функцилл в данной точке всех "ластных производных.
вообще говоря. не вытекает непрерывность функции в этой точке. Мы ухке убедилллсь, что функция при х +у фОл и,= 'с +У з ь у л 0 при хе+ уз — 0 не являетл:я непрерывной в то лке О(0,0) (см. пример 1' п. 1 з 3). Однако в этой то лке указанная функция имеет ластные производныс по х и 1б Это следует из того. что 1(х, 0) = 0 лл 1 (О, у) = О. и поэтому =0 и — =О. дт д~ д. !о,о1 дд (о,о) 3 а м е ч а н и е 2. 'лЛы опр!'делили понятие ластньлх производных для внутренних точек области задан!!!! функции.
ПРОИЗВОДНЫИ И Д1!ЕЕК! ИПЦИЛЛЫ Для граничных точек области задания данное нами определение !астных производных является, вообще говоря. непригодным. В частности. это связано с тем, гго в граничных точках облагти задания функции нс всегда можно вы"пилить частные приращения этой функции (так. например, обл тоит дело с грани !- ной точкой ЛХо области. изображенной на рис. 14.2). Поэтому обычно частныс производные в грани шых .го !как области задания функции определяются как предельные значения этих производных. 2. Понятие диффереицируемости функции нескольких переменных. Напомним. что приращснн- 1'ис. 14.2 ем (или полным приращением) функции и = «(х!. хг...., и„,) в точке ЛХ(х!.
хг,.... хп,), соответствующим приращениям Ьхм ЬХ2, ..., Ь;Л:т аРГУМЕНтОВ. НаЗЫВаЕтСЯ ВЫРажЕНИЕ схлл = «(х! + лд:! 1..'л.з + лмхз,.... хт + ~Уэо) «(х! ° х2 ..: ' пЭ. Определение. Фвнкцллл и = «(х!.:хг.....хт) навыввспи:и д и с«) !«л с р е н ц и р у в ли о й в данной точки 'И (х!. хг,..., х,в), вел:и ве ьоллнсж т!рнрагцвгиав в этой то гке я!ожег!! бъсть предо!павлина в вндс галл = А! л)мп! + А2Ь:льг +... ... + Асяс ~ |т + О! Ьх! + схгЬ!!2 +...
+ гпплдхио (14 11) аде А!. Аг..... „А„, -- неъхппорыв нл. вввисяъцив от Ьх!. лдхг.... ..., лдхэп числа, а сх!. ог...., оп, бесконечно мал!лл! нйт лах~ — э О, лххг — + О, ..., ла:лйо — пэ О л«)йннллллсл, Хлавллъи. нрлпл пртл лдх! = Л'.мл;2 = ... = лдх,о = О. Соотношение (14.14) называется 1!лсслооллем д!лффлэреллц!!улус.иоспмл, функции в таиной точке ЛХ. Условие (14.14) дифференцируел!ест!! функции можно записать также в иной форме. Для этого рассмотрим бесконс шо малую при лдх! — Э О,,Ьхг — Э О.....
Мх -Э О функцию р = Лак! + лд,хг +... + лЬ.лдн ') и отметим, лто эта функцлля обраи!ается в нуль .лишь п[эи Ьх! = Ла,л:2 =... = лдхн, = О. Ъ оедимся теперь. лто входящая в правую часть соотношения (14.14) сумма смрад + огг)сл:2+... + о„Ьхт представляет собой бесконечно малую более высокого порядка функцию по сравнению с р. ') Геометрически эса функция предо!являет собой расстояние между точнами ЛХ(хохм..., х„,) н М'(х1 Э- -тхь ел + !хе, ..
х„, +.хх„,), 500 Г:1. 11 эь икиии нескольких переменных Иными словами, убедимся. что эта сумма представляет собой выражение о(р). В самом деле. при р ф О справедливо — '' ( 1. Р Р и поэтому (Ст1ЬХ1 + Стг,ЬХя +... + СтюЬХ„в! ~( (~ (~тт1) + )Стг( ' +... + ~етоь~ ! Хх|) ).Ххт~ )Ьх„, ~ ) Р г ~ (()ст1! + (ОЯ( +... + )стл,,()Р = О(Р), Таким образом, условие (14.14) дифференцируемости функции может быть записано в следу|ощей форме: Ьи = Л1Ьх1+ ЛеЬхв +... + Л„„Ьх,„, + о(р). (14.15) При этом величину о(Р) мы считаем равной нуспо при Р =- О. Чтобы доказать. 1то условие (14,15) эквивалгнтно условию (14.14), нужно убедиться, что из представления (14.15) в свою очередь вытекает представление (14.14). Для этой цели.
считая, что не все Ьх1, Ьхв, ..., Ь;т:„, равны ну.по ), представим о(Р) 1~ в виде о(р) р о(р) Ьх1 -~- .ах~ ~-1-... -1- Ьх о(р)— Р Р о(р) Ьх1~ л 1о(р) Ьх ) л ~~о(р) 1х, ) л хю ° Р Р! ~р Р Полагая — ' = ьи и учитывая, что о, является бесконс гно о(р) Ьх, Р Р малой прп р — ~ О (а стало быть. и при Ьх1 — э О, Ьхо — э О.... ..., Ьхо, -э О) функцией, мы придем к представлению (14.14), Итак, ус:ювие дифференцируемости функции можно запи- сать как в виде (14.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
