В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Летальное изучение ш:евозможных методов обобщенною го сумкплровяния расходящихгя рядов проводится в монографви Г. Харди кЕ'асходящпеся ряды» — Мд ИЛ. 1951 г. ') Таким образом, можно сказать, по метод Пуассона — Абеля является более «сильным» методом суммирования. ~ем метод Чезаро. Г,'!АВЛ 14 Ф'УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ й 1. Понятие функции нескольких переменных 1. О функциональных зависимостях между несколькими переменными величинами. При изучении мне~ их вопросов естествознания встречаются такие зависимости между несколькими переменными величипахги, когда зпачеппя одной из эгих псрсмшшых вели п4п полпогтьк~ определяются значениями остальных переменных. Так, при рассмотрении каких- либо физи и;ских характеристик тела (например, его плотности р или температуры Т) цам приходится учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой. Поскольку каждая точка тела определяется тремя декартовыми координатами л, у и а, то рассматриваемые характеристики (плот%ость р и:ш температура Т) определяя>тся значениями трех переменных:г, р и я.
При рагсмотрспии физических процессов, меняющихся во времени,:зпачспия физических характеристик опрсделякп ся шачсииями чешмрег перемсппых; трех коордипат точки я, р. а и времени ~. Например, при изучешш звуковых колсбавий газа плотность р этого ~аза и давление р определяклся значениями четырех псрсмсииых х, р, в и 4. Для изучения такого рода зависимостей в этой главе вводится понятие фупкцгш иескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. В теории фупкций нескольких переменных удобно пользовагься геометрической терминологией. Нспосрсдгтвсино ясно, что областьк~ задания функции двух (или трех) переменных является некоторос мпожсш во точек плоскости (или просграиства). Для геометризапип наших представлений о функции ьп переменных удобно ввести понятие гп-мериого пространства, обобппгющее хорошо известные понятия двумерной плоскости и трехмерного простра~ктва, Наше последующее изложе- эь нкцнн нкскольких ~кгкмкнных гл.
» нис мы начнем с выяснения необходимых нам гсомстри к>свих понятий. 2. Понятия евклидовой плоскости и евклидова прострапства. РХзвсстньк из анадити >сгкой геометрии понятия коор,пшат точек на плоскости и в прогтрюн:твс и формула для определения расстояния между двумя точками могут быть использованы ддя анадитичсскОГО ввсдспия пОнятиЙ плоскости и пространства. ЛХнозчсество всеоозмозюнмх упорядоченных пар (х, у) втгссп>веннь>х чисел х и у называется, к о о р д и н а т; ной плоскость>о. При этом каждук> пару (х.
у) мы будем называть точкой этой плогкочти и обозначать одной оуквой ЛХ. Чи<ша х и у называются координатами >о >ки М. Запись М(х,у) оз»а,>аст, что точка М имеет координаты х и у. Координитнал, плоскость называется, е в к л и д о в о й и л о с к о г гг> ь и>, если меокду л>обькми двумя точками ЛХ'(х'. у') и Мп(х". уп) коордг>наг>>ной плоскоспш определено расстоят>2 р(ЛХ'.ЛХп) по фор,муле р(ЛХ', ЛХЯ) = Совершенно аналоги шо вводпзтя попяпн> координатного и евклидова пространств. Мнозюество вгевоз.можных упорядоченных троек (х.у.з) чисел х, у и назьсваетгя к о о р д и н а тн,ы,м п.рост>>ро,нет,вом. Приэтомкаждуютройку (х, у, х) мы будем называть точкой этого нростграпства и обозначать о;шой буквой ЛХ. Числа .х, у и х называк>тся координатами точки ЛХ.
Запись ЛХ(х. у. Я) означает, что точка ЛХ имеет координаты х, у и ". Координатное г>рострингтво назчкваегпся е в к л, и д о в ы м и р о с п> р а и, с п>, в о м, если лчео>еду любылги двумя точками М'(х'.у'.х ) и М (:г>, у,х ') координапшого г>рос>г>ране>пва определено расстояние но формуле р(М .
М ) = (хи — х') > + (уп — у')2 + (хн — з>) 2. Вводе>шыс нами понятия координатной плоскш;ти и координатного прогтргпн>гва представляют собой аналоги числовой прямой, а гвклидова плоскость и свклидово пространство представляют собой аналоги евклидовой прямой, которую можно определить как нштовбк»й>яму>о, х>г>жд1 .тюбыми дву мя тч»яами х и х ' которой ог>рсдслсно расгтотн>с р(х',:гя) по формуле я '.*"> = чч':" — '>' = 1 "— ч Расс>яотрим нскоторыс множества (ЛХ) точек евклидовой плоскости и евклидова пространства.
1'. Л1ножсство 1ЛХ) точек евклидовой плоскости, координаты х и у которых удовлетворяя>т неравенству (г — а) т(у — (>) < Л, а, а 2 'з 1 НОнзргие Фмпкц!Ги неекОХ!ьких переменных 477 как язв«ство, иазьсвасстся кругом радиуса Х? с и«итром в точке МоГа. 6).
Если координаты к и у удовлетворяют строгому исравси«тву Гк — а)а+ (тХ вЂ” 6)а < Е?;', то множество ГЛХ) называется открыпстям кругол!.. В свкяидовом врос:транствс хи!еже!ство (ЛХ) точек, коорд!шаты к, у и - которых удовлетворяют асравсш тву сет — а)з+ (у — 6)-+ Гв — с)- < Лз, как известно, называется исаролс, радиуса Х? «центром в точке Мо!а, ?>, с). Если координаты св., у и г удое„сстворяк>т соотвс;г«твуквцсму «трос ому неравенству, то множество ГЛХ) называется г>ттзкрытгзькм шаром ). 2'.
Л)цожс«тво ГсЛХ) точек свк:сидовой циск:ко«ти Ггсвк,и!дива пространства), коорд!и!а!ы к и у Гя, у и г) которых удовлетворяя>т неравенствам (х — сз~ < д! и )у — ?>/ < да Гуг: — сс( < дт, /у — Ь! < дз и !!г — е~ < с?сз), иазывастс:я коордсснсгтньсм прямг>дгг>с!в!иском Гкт>г>рдтт!!с>тстнтм параллелепипедом) с и!!и!роя! в точке ЛХо(а„Ь) (зз точке Мо(а, Ь, с)).
3. Понятие функции двух и трех переменных. Используя геометрическую тсрзишодогик>, можно сдсдутощим образом сформулировать ужо известное иам понятие функции о;Гной псрсмсииой. Если казссдг>17 тск>чке ЛХ из некоторого .мнг>зюесосеа ГЛХ) точек евклидовой прял«от7 стаеитася в сс>оп!в!наставав по азов«и!ному закону в«копн>рос число и. тао говоряте чпи> на я!нолт>ест!!всс ГЛХ) зада!!а функция и = иГМ) или и = Х(ЛХ). Введем теперь понятие функции двух в«ременных. Если ка„вгдой точкг: ЛХ из некоторого мнтнссепсоа )ЛХ) точек ее!глодовой плоскости ставипсся в соответгтеие тн> извсстиному закону некоторое вс>ло и.
псг> гг>вг>ряс!с, ипо на мнозюестсзе ГЛХ) задана фут!к!ус>я и = иГМ) али и = Х(ЛХ). Зал!стих!, что понятие функ!Гии двух в«ременных отличается ог сформулированного вьивс понятия функции ошой перемшиюй диц!ь '!ох!, 'с! 0 вян сто слОВ с!евклидова прямаяв испол!- зустся термин «евклидова влоскостьн Совсршсиво аналогично вводится понятие функции трех и«рсмс!шых. Дзся этого вместо множества )М) точек евклидовой плоскости иужшз в:зять множество ГГМ) точек евклидова простравс:тва. Так как точка М евклидовой плоскости определяется двумя координатами:г в у. а точка ЛХ свк.шдова пространства тремя координатами к, у и г, то ддя функций двух и трех цсрсмсшсых мы будем употреблять соотвстствгягио обозвачсиис и = Х(к,у) и и = )бт„у, г).
Есди функция и = ХГМ) задана иа множестве (М), го это множество Называется облаепсьн> задания фт?нкт!Ни и = Х !ЛХ). т!ису!о и, соответствующее данной точке М йз мио- ) Очевидно, круг в !вар про к сввляки сооой множества )ХсХ) го сек плоскости и пространстве, для которых рГЛГ, ЛХо) < Хй ЕЬ НКЦИИ НКСКОЛЬКИХ ПИ1 КМКНИЫХ и:1. 1! жсгзва (Л!)у будем иэзыВать 'чау)77)ныи )ипчхтииом функцтл77 е тво"лке Лт. Совокупно(ть (и) всех частцых зиачстшй функции и = т (Л1) называется лбножесп)вом значений зпнуй функции. Д,тя функции двух псрсмс(шых можно ввести понятие !рафика, именно: гРаф(лкоци фУнкЦтл и = 1(худ) называетсл иоогРхноепгв, пбоцгти! коп)оРблй !лате!стул кбтоуд(!!лат!ттул (х.
У. 2" (х. У)). Рассмотрим примеры функций двух и трех нсрсмсццых. Г. = ут::Е- уу '.Об, . »: цфу «(ви-, °- ется круг радиуса 2 с центром в на (ало координат, а множество значений представляет собой сегмент 0 ( и ( 2. б 2. = .Об.:«-;: бфу «ц» е — ц зт ' ".«,," ' """- 'уу' уаг(ус ус оа у.
в иа (ало координату а множество зиачсций представляет собой открытук) полупрямук) и > О. 3'. — ~(: л у ~ут). Облгкт тгц»: б фу ци стоя миожс(ггво (М1 точек, коор;цшагы которых удовлстворянп исравшнтву сов(:г, + у ) > О. Это исравсигтво эквивалентно неравенствам 0 < х + у < — ', 2Лл — — < х + у ( 2Лл + —, 2' 2 ' ' 2' 1) = 1,2,... Таким образом, (Лл ) состоит из у круга радиуса ~,у)л,т2 с центром в точке О(0.0) и кольцсобразиых областей (рис.
14.1). 4'. и = 1вхтте. Областью задшшя втой функ- ЦИИ ЯВЛ5(СТГЯ МНОЖССТВО (ЛХ'1 точек, координаты 0,(л Зл бл (тл 19л х которых удовлстворяп)т н71)зв!'.нств')' (7)77 ) О, и множеством зиачсиий вся ншто)зая прямая — ос < и (+ос. 5'. и =х +у +х. Областью задания чтой фУИКЦИИ ЯВДЯСТСЯ ВС!) СР- клядово цропграиствоу а Рве. 14.1 множеством зцачсиий— полупрямая и ) О. 4. Понятия гп-мерного координатного пространства и т-умерного евклидова пространства. Л4ноечсеепшо огевозуиохеных упорядоченных об!ту!тку!!7(оетт)етй (х!.
хау.... хо,) пл чисел иоиятик функции нкскольких пкркмкииых 479 хэ.лез.....ха натывглетосл т мерным коордп на та и ым п р о с т р а и с т, в о.лл Аш. ПРн этом каждУнэ У0 совокУти<ость (хт, хть ... хш) мы будем называть точкой этого пространства и обозначать одной буквой М. )игла,гт<хл<....хп, лла!зыватотся координатами точки ЛХ. Запись ЛХ(хл<хэ,...,х„,) означает, что точка ЛХ имеет координаты х!.
хл,.... хо<. Вводом понятие т-мервигг> евклидг>ва тлростравствш Кг>г>рдинат>лтлг>гз прг><гпэратлствг> Ага называепссл т-л< е р н ьл м е в к л и д о в ьл м и уэ о с ил о а и с ти в и .лл Ел!. гели .незя>ду лтобткми дву.нл тпо чка.мн М'(х!! . лг!,..... х'„л) и Ми(х!', ха...., х",в) коордпнипни>го прог>ттэ)хлнг>т>лвг> Ав' определено рглг>ггплоянтле ) р(М', ЛХи) тло формуле Х>(М™) = (14.1) Ввсдслэиыс нами понятия пимсрного координатного пространства А'в и пэ-х<е)>ного евклидова пространства Еп' нрсдставля- Евклидово то-мерное пространство тйэодставляет гобой так называемое мгшааоческое итюлэшринсп<ео.
Прон!во>о,ное множег !во (ЛХ). з.<ементы которого именуиэтся точками, называется мегри <егким проггранггвом. сели сушествуег правило. с шэмошью которого любым двум точкам М и ЛХ множества (М) стагптся в соответствие некоторое чигло р(ЛХ . ЛХ ), называемое Хэлл<лет!<окинем между этими го <каин. При злом указанное правило должно оыть таким. чтобы выполнялись слолхкэщие акгиомы (аксиомы меи<ричыкого птэг>г<тт<Х>ги<гэтгэег<)! 1) лля любых ЛХ' н М" р(М'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
