В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Соответствующее приращение Г:1. Зз эа икпии нискольких пкркмкнных функции нвзываез ся чоспзлэиим приумицегизсм 1) функции в то зке ЛХ(хз э хзэ...,:лб„), соответствующим приращению Ьхз аргумента хз зл обозначается Ьт,и. Таким образом, 21«вз и = Х(хз+ Хххл.
хэ,..., х„,') — Х(гз, х2,...., тча). (14.8) Аналогично определяются частные приращения функции, соответствузощие приращениям других аргументов: Ззтеи= У(ХЗ,Х2+э-Ьсо; ЛЗ; .:Хггэ) Э (ХЗ)ЗЛЗ2~ .. ~ Зэп); (14.9) ьт „,и= 1(хз,.'гзэ.,.,х л,х +ьхлт, ) з(гзэх2,.,. эх' з) Введем теперь понятие непрерывности функпии и = Х(хз, хэ.... ..., хщ) по одной из переменных. Ф«1«аэнцлэя и = Х(злзз, хэ,....
хп,) нолыгзостпся нсэзуэгзуэыозззгэл1 о ти"зяя ЛХ(хз,х2,....х„а) гмэ по1«сменной;гь, ссяэз частное при1юи1снис ганги ээтолй функции о пзочке М гзрсдсгпгзолзяот собой бесконечно маяую гХэункцззэо от, Ьхы т. е. егмззз, 1ьпз Ьт„узз = О.
(14.10) Гьгь — эв 11ри фиксированных значениях всех переменных, кроме переменной .гь, функция и = Х(хз,х2,...,зз;,а) представляет собой функцию одной злой переменной. Отметим, что непрерывность функции по переменной хь означает непрерывность указанной функции одной переменной. Очевидно, из условия пепрерывноСти ФУНКЦИИ и, .= Х(Х1,;Гзэ... э Х,„,) В ДаННОй ТОЧКЕ М ВЬПЕКает непрерывность этой функции в точке М по каждой из переменных:гз,хэ,... „.г,„,.
Однако из непрерывности функции в точке ЛХ по каждозл из персменных хз. хэ,...,хп, пе вытекает, вообще говоря, негл1зерывзлость функции в этой точке. з)тобол убе,плться в этом, рассмотрим следующие примеры: 1'. Л)ьз будем говорить, что фуззкция и = Х(ЛХ) = У(зг,у) непрерьнзна зз точке ЛХ на нскогорой прямой, проходящей через эту точку, есгли для:побой последовательности точек (ЛХи) этой п1эятзозз, сходящщлся к то лке ЛХ, соответству|озцая ззоследогательносп (Х(Мв)) значений функпии имеет ззределом часгное :значение Х(ЛХ) функзлии в точке ЛХ. Так как на прямой функция и = Х(х,д) представляет собой функцию одной переменной, то понятие непрерывности функции на прямой совпадает, очевидно, с понятием непрерывности указанной функции одной ') Термин «частное приращениел употребляется лля того.
чтобы отлвчить зто приращение от полного приращения (14.б). соотьет<'твунэщего произвольным приращениям Ьхз. Ьтм..., элт, всех аргументов тз хт, т» С З НКН( К( ЫННЫК ЕУНКЦИИ НКСКОЛ.КИХ НКРКМКННЫХ 493 л(временной. В частности, непрерывность функции в точке ЛХ по отдельным переменным х и у представляет собой непрерывность ее па прямых, проходящих через точку ЛХ и параллельных КООСЗДИНатг(ЫХЛ ОСЯМ. эДС>КВ>КЕЬЛ, Что ФУНКЦИЯ х д хд , п1 х2 + у2 Ф 0 и= т+д прн х +у непрерывна в точке 0(0, О) по каждой из переменных х и у, т.
е. непрерывна на каждой из координатных осей, но не является непрерывной на всех остальных прямых, щ>оходящлсх через эту точку, и по:этому не является непрерывной в точке О. Каждая прямая. отличная от координатных осей и проходящая через точку Г>(0, О), может быть представлена уравнением у = йх, где лс ф О. Очевидно, на такой прямой все значения функции постой янны и равны, Поэтому, если последовательность 1ЛХп) 1+ /ге отличных от О точек такой прямой сходится к точке О, то соответствующая последовательность значений функции имеет преlг дел, Так как при ь у= 0 этот предел отличен от нуля и не 1 Е лле совпадает с частным значением функции в точке Г), то функция разрывна в этой точке на рассматриваемой прямой. Непрерывность функции на координатных осях вытекает из того, что ее значения на этих осях равны нулю.
Может сложиться впечатление, что если функция двух псрс пенных непрерывна на ллобой прямой, проходящей через данную точку, то эта функция непрерывна в указа((но(й точке. Следующий пример показывает, "лто это, вообще п>воря, нс так. 2'. Рассьлоз рлэьл функцию х д при х +д фО, е и = Х(ЛХ) = тл -(- да О при тл -(- д" = О. докажем. что. хотя указанная функция непрерывна на.побой прямой. проходящейл через точку О(0, 0), она не является непрерывной в этой точке. Н йх самом деле„значения функции на прямой д = йт. равны, л, и поэтому х + при х — э 0 и — э О. Непрерывность этой функции па оси Од вьггекает нз того, по ее значения на этой оси равны нулкэ.
С другой стороны, значения функции па параболе д — — рх постоянны н равны, . и поэтому прела ' дельное значение функпии при стремлении точки Ъ| к точке О по указанной параболе также равно . Так как при р Ф () этот предел отличен от р рл нуля и не совпадает с частным значением функции в точке О, то функция разрывна в этой точке. гл. тт эь нкйни нкскольких пкгкмкнных 2. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. В этом пункте мы пере титшим основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. Поскольку доказательства этих свойств в основном аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной, то.
как правило. мы будем давать лишь краткие пояснения. предоставляя детали доказательств читателто. 1'. Арифмети теские операции над неп р е р ы в н ы м и ф у н к и и я м и. Справедливо л'тедукнцее утВе1?ждлтние. Пусти футлктлтлтл Х(ЛХ) и '(ЛХ) непрерънтнлл в точке А. Тт?ггЬ функции Х(М)+ХХ(Ы), Х(ЛХ) — '(ЛХ), Х(М) й(М) и, неире- Х(ЛХ) ' а(ЛХ) рывны в пточке А (чатттнотт при, услтюии й(А) ф 0). Доказательство этого утверждения совершенно аналогично доказательству теоремы 4.2. 2'. Непрерывность сложной функпии. Введем понятие сложной функции нескольких переменных. Пусть функции к! трт (1!т л2 ° 4) кг = трг(1ы Хъ...,Ху), (14.11) кю трот(ум Хг;...: Хп) заданы на множестве (Лтт) евклидова пространства Е у (ХмХв,...
тЕь координаты точек в этом пространстве). Тогда каждой точке лтт(лт.хв„..., хв) из множества (лтт1 ставится в соответствие с помощью формул (14.11) точка ЛХ(кт,:л;г,...,к„„) евклидова пространства Е". Обозна тим через (ЛХ) множество всех таких точек. Пусть и, = Х(кл,кг,....кю) функция т,-переменных, заданная на указанном множестве (ЛХ).
В этом ттучае мы будем говортлтгч тто па множестве (Лтлт евклшдова пространства Ь+ определена слооюнол функция и = У(:лгн кг,...,:с:,о), где кь кг,.... кю являютля функциялти переменных Хь 8г...., Хв. причем эти функции оттределяются соотношениями (14.11). Справедливо следующее утверждение. Пустнь:гт = трл(бт, б?,,,. т Хл), кг = тр?(ут, Хг,,,., Хв)., ..., лсю = трю(Ет. Хв,..., Ул) непрерывны в пю?чке А(ат, ав...., оп). а фтрлкцлля и = Х(гп,.лтг,...., к,„) неттрерыонп о тпочке В(бн бг., .. ....б„). где бл =- рт(ал,аг.... так) т' — — 1т 2, .... тп.
Тогда слт?ото?тая фт/икцтля и = Х(кт кв, ., л:то). гдтт:лц,.л:2:;:ттттт представляют соботл определенные вьиш. фултлктлтлтл, орту?метл; тпов Х?.Ха,...,Хв. тлеттрерллтттто, в точкт. А(ал,ог,... „ат). Налттг— 1 3 непРеРНВные Функции нескОл!эких пеРеменных 495 тим основные этапы доказательства этого утверждения. Пу<'ть (!гУв), <Уь ф Л, ПРОИЗВОЛЬНаЯ СХОДЯП<аЯСЯ К Л ПОС;ЬЕДОВатЕЛЬ- ность точек из области (Л<) задания фупкций 1о;(61,12,..., !ь). а (ЛХо) со<лвет<ьтвуюьц<ья последовательцо<ть то ьек, координаты х, ! которых равны <р,(61 !.
6(2 !... у( )). В силу непрерывности функций <у>< в то <ке Л, пос'и",довательиость (Мв) сходится к точьсе В(61. 62,.... 6т) (ие исклю «сна возможность совпадеиьья точек ЛХв с точкой В). В силу непрерывности в точке В функции и = У(хь, хг...., «;„„), последовательиость (Х(мв)) сходится к Х(В ). Но зта последовате.п по<-и представляет собой последовательность зпачеиий сложной функпшл, отвечакпцую сходящейся к А посаедовательиости (Л<„) то гек области ее задания.
Так как мы убедились, что последовательность (Х(ЛХь)) <ходится к ьастиому значению 1(В ), то тем самым непрерывность сложной функции доказана. 3 а м е ч а и и е. Приведенное здесь доказательство представляет <'обой обобщение иа случай нескольких переьнгииых доказано>гьсз ва теоремы 4.5 о иепрсрывиости сложной функции одной переменной. 3'.
Теорема об устой ьивости знака непрерывной функции. Теорема 14.4. Гслв 1У>уункцьгя и = Х(ЛХ) не!!у>еу>в<она в точкез А салль<доев пу>оспгуя>н<пгоо, Ет и, если, Х(А) ф О, то с!!и!ещивуе<п <покоя б-оку>еспгность пяти Л. в ггунделгах ко<<!ау>ой во всех точках обло< пи< своего задания Х(ЛХ) не обух>и!аег<гся в нуль и !змеев!, <знак. совьадаьоьцьгй со гнвколг Х(ЛХ). Справедливо<ть этой теоремы иепосредствеиио вытекает пз определсиия вепрерывиости функции в терминах «е — бм 4'.
Теорема о прохождении непрерывной функции через лн>бее промежуточное значение. Теорема 14.Б. Пуствь <)>уунь<г!ия и = Х(ЛХ) непрерывна оо ос<>х 'и«> <ках <.*вягья>го мыоо<сесгггва (М) евклидова, 1<у>оспгуя>н<и<во Е'". <гу><!чем 1(Л) ьг 1(В ) — вначеная эпи>и, Х>ункц<г<г в ьооч; ках А и В во<ого множество,. Пусь<и. д<глее. С лн>бое 'ч<гсло, ;гокаюченное методу Х(Л) и Х(В). Тогда на любой, !ггпу>еу>в<оно<У, кроет, Хо соединяюгцей точки Л и В и целикол< расп<пьогантгейся в (ЛХ), нойделпся точка Х токая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
