В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Совокупность (и) всех частных значений функции и = «(М) называется .множессавом значений этой функции. Так как точ- ка М определяется координатами хс,х>....,х„„то для функ- ции и = «(ЛХ) пс перемытых используется также обозначение и = «(;г> „сг>...., сг.„,), Рассмотрим примеры функций т переменных. 1'. Пусть и = 1 — хс — х, -—... — хг„.
Областью задания этой фуцкпии служит, о и;видно, т-мерный псар радиуса 1 с цре цег1ьнОе значение Функции г 2 центром в точке 0(0.0....,0). 11пожсством зпачспий рассматриваемой функции являсп:я сегмент (0«1]. о 1 2'. Пусть и, Областью задания фунт!ии является множество (М) внутренних то юк т-мерного э:1липсоида. Мпо«ксстВОм (п(ачеиий этОЙ фуикции ЯВлястся ПО- лупрямая и ) 1. Й 2. Предельное значение функции нескольких переменных 1. Сходящиеся последовательности точек в т-мерном евклидовом пространстве Е'и.
Критерий Коши сходимости последовательности. Рассмотрим в ги-мерном свклидовом прострапствс Еп' по(глсдоватсльцость точек (М) '). Сформулируем следую!цсс опрсдслсиис. Последовал(ельносгиь (ЛХ) пю«чек евклидова просгиранспгва Еп! называепгся с х о дя гг( е Й с яз если суп1еспгвуг«ги тания пи!чаа А, что для .любого положит!(ельного числа е,мозк:но ука,— зать номер Лг ) такой, пгк! при п, ) Лг выполняспюя неравенсппзо г!(МюА) < е. ПРи зп(ом !почка. А называетсл, и Р е д ел о м последовггл(елы(остап (ЛХ„).
Для обозна гения предела А по(глс;юватсльпости (ЛХ„) используется (глсдукпцая симво.шка: 1пп Мо = А. или ЛХ„-1 А при и -1 ОО. о -«ос ДОКажез! ГОЛСДУКНЦУК1 ЛСММУ. Лемма Х. Пдсгиь последовагг«ельвосгиь (Мо) (почек евклидова прострагютва Е«о щ!одпгися к тг«чжг! А, Тогда последова- (в) 1 ! (о) 1 ( (о) 1 тельноспги (х( г «1хо г, ..., (з!«««г координат, гиочеа ЛХ„ сходятся к сооп(веп(сгггвуюпупм кюординапгам а(. Ог«....
а„в пи«чкп А, и наобг«1!огг(«если последовательности (хг 1 (л(1 Понятие последовательности !очек в евклидовом пространстве Е определвется следу«ощим образом. Пусть каждому числу и натурального рыла чисел 1,2..... и,... станина в соответствие то «ка Лро евклидова пространства Е'". Возннкакппий прн этом ряд точек ((Хг, ««Гг...., ЛХ,.... рисса«агриваеагьпл в указанвом порядке«называется послег!ог«агг«г«льнов«««ью точек никли,щва просгравства Е'".
1«(ь« будем кратко обозначагь згу последовательность символом (Мо ). Так как номер (У зависит, воооще говоры, ог ", го иногда пишут У= !У1 ). 16* эь нкнии нкскольких нинимннных г:з. » :сл з...., '(аз„з з коордллнат точл к М„схол)япзгзя г:оответ; (' ~ ~:.) ственно к числим аз, аг,, ..,ао,, то погледовшиелынлскаь (Мо) сх:одится и пзлз"лке А с координлизтм;и аз, ллг,.... а„. Д о к аз а т е л ь с т в о. Докажем первую часть леммы. Если гсоследшзательность (ЛХв) сходится к точке А.
го для любого е > О можно указать номер Лг такой, что при лг > лзг выполняется неравенство р(ЛХо.А) < е. Пусть (хз,х, ...,х„, ) -. коорди/ Рл) РлЗ 1о) з наты точки ЛХгм а (аз,ал....,а, ) координаты точки А. Тогда неравенство р(ЛХв, А) < е можно записать ьззедующим образом: < е. (14А) Отсюда следует, что при и > лзГ выполняются неравенства :с„, — а~~ < е.
, Лгл) хз — аз <е, хг — ал <е, зи) 1в) 11ными словаьш. последовательности 1х з.1:г, зз...., 1хв, з координат точек М, сходятся соответственно к числам аз, а,.... а„,. Докажем теперь обратное утверждение. Предположим, что указанные последовательности координат точек М„ сходятся соответственно к числам о,з, ллг,.... охн Тогда для лпобого с > О можно указать номера Жз. лзгз,..., Лг„з такие, что при и ) Лгз, и > №...., и, ) Лг соответственно ьыполнязолся нера- веезства ОО е (п1 ~ е ~хзз) хз — глз <, .лз — агз < —: ..
„лт~ — ав, < г лв Отсюда следУет, ч го пРн и > л"зГ = зззах()Ч'з, №,..., л"зг„л) выполняется нераззенство (14.4). Йныззи словами, при и > Ж выполняется неравенство р(ЛХа, А) < е. где А гочка Е™ с координатами ам иг,..., а,„. Таким образом, последовательность (ЛХ„) сходится к точке А. Лемма доказана. Сформу:шруем определение фундаментальной последовательности точек в зп-мерном еззклидовом пространстве.
ХХоследовггнзеяьность (М„) нилчек зп-млзрного евклидова, ззрострллнсгглвгл, ногьлвается лб у и, д а м е н т а л ъ н о й или последово; гпельностью Е(оилзл, если для лзобого иолоэкипаеггылого числа е можно указать токгзл1 ноллер лзз, что прзз, и > Лч' и для любого нггтуролкплоглл р гзыполлнялзплгзя ллеХялгзгззлг:ггзгзо р(М„.ззв М„) < е. Справедлив следузощий критерий сходимости последовательности (критерий Коши).
485 з! и ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕт!ИЕ ФУНКЦИИ Для шаго чхиобм последоваспеллисость (Мн) ттссзчсзк ти-.ме1зного евкипсдови прооспуаишисис ймлсз сходящейся,, иеойхос)илю и досто; точно, чтиобьс сена была сХзундалзесзттзальнсттзз. Чтобы убедиться в справедливости сформулированного критерия, достаточно замсгитгь что из условия фундаментазп ности пос'зедовательности (ЛХ„) следует, что поююдовательности (х! т, 1хз Г (тт)1 Г (Н1 хит 71 координат точек ЛХ„также фундаментальны, и па- (н! \ оборот, если указанные последовательности координат фундаментальны, то фу!!дав!с!стальной будет и последовеоельпость (ЛХтт), и затем применить критерий Коши для .шсловых последовепельностей к последовательностям координат точек (ЛХ„) и лемму ! этого пункта. 2.
Некоторые свойства ограниченных последовательностей точек в тп-мерном евклндовом пространстве. Введем понятие ограниченной последовательности точек в нм мерном евклидовом пространстве. Послсздсзсзатпелтгзссзсть (ЛХи) !почек ттз-лтс7знОгст евклид!теис тз7ял'ийтанс:пзвв, нсзаьсвстеттсс.'я о г 7т и- и, и ч е и и, о й, сслп существуспз тпаксте чли:ло а > О, что для всех; и, сзтттстлтсясзтся тссз1ятсзетзстисзсз р(О. ЛХ„) < а., где Π— точкхь все координаты котпорой равны нулю. Иными словами, последовательность (ЛХи) является ограниченной, если все точки (ЛХ„) этой пас чедовательности находятся внутри или на границе некоторого шара с центром в начале координат. Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 14.1 (гпеорелса Больцано — Вейертигпрасса). Лз лзобой ограниченной зиюледоватпельностпи )ЛХ„) пючск и!- мерного евклидова прострознеспви лссзокнсз вмделиись сходяитдюся подтмнзледоватп,ельностисм Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедив!си, во-первых, что последосзательностн х, ' у, (х, ), ..., с:ть„т координат точек ЛХ„яв:опотся ограниченными. Действительно, так как последовательность (ЛХн) ограничена, то для всех и выполняется неравенство р(О,ЛХн) < а. Поскольку р(О,Л1„) , го отсюда следует, что для всех и, выполняются неравенства х, < а, ~хг < а,..., ис„,' < и. Иными словами, последовательности ! х! 7.
1 ха '(,..., ~(хкч ) координат точек ЛХ„ограничены. В силу теоремы Больцано— Вейерштрасса для числовых последовате,чьностей (см. п. 4 8 4 гл. 3) и'з последовательности 1 хз т можно выде:пиь последова- Г (п)1 486 эх нкнии нкскольких пигнмннных гл. сс Г «си)1 гельность с сез ' ), сходящуюся к некоторому чисьсу аь РассмоГ «о,)1 грим ссзответствующую подпоследовательность я ' ) последовательности вторых координат точек (ЛХ„). В силу той же Г «о )1 теоремы из подпоследовательносгп 1ля ' ) можно выделил Г Гис.,)1 подпоследовательность С лэ ' ), сходящуюся к некоторому чис- Г Г»с,П лу аз.
Заметим, что поднос'чсдовательность (сез - последо- Г Гвс,)1 вагельности с т,, ' ) сходится к числу аь Игак, подпоследова- Г ( ь2)1 Г, Г а2)1 тельности (:гс ' ) и с:гэ ' ) сходятся к шслам сн и ая соответственно. Очегидно, что есзнс мы из подпоследовательности (эз)- «и:,,П лз -' ) последовательности третьих координат точек Лбв выделим сходящуюся к некоторому числу аз подпоследоватезп ность (л ' ). то подпоследовательности (лг ' ), (:с;з ' ), (лз сходятся соответстгенно к снслам ан ая, аэ. Продолжая эти рассуждения, мы, наконец, получим сходягпуюся к некоторому чис- Г «сз„)1 лу а подпоследовательность 1 л,в '" последовательности них координат точек ЛХа, причем подпоследовательносги с л, Г Свн„) 1 ( "~ ( -) (иы,)1 Г Гвь„,'з ~ тэ )...., (я~в ) сходнтсн к числам сгг, ае,..., а~в соответсгвснно.
Но тогда, !5 сизу леммы 1. подпоследовательность (ЛХвь ) последовательности точек (Л1и) сходится к точке А с коордшсатаъси ам ссе,..., а„,. Теорема догсазана. 3 а и е ч а н и е. Предел А последовательности (ЛХв) точек, принадлежащих:замкнутому множеству (ЛХ), также принадлежит этому множеству. Пгобы убедиться в этом, достато шо заметить, что в любой е-окрестности то гки А пмеготся точки Л1„„ т.
е. точки множества (И), и поэтому точка А является либо внутренней, либо грани*шой то ской ф1), а следовательно, прин адлсжит ( ЛХ ) . 3. Понятие предельного значения функции нескольких переменных. Рассмотрим функцию и = ХСЛХ), определенную на множестве (ЛХ) гп-мерного евклидова пространства, и точку А этого множества. быть может, и не принадлежащую множеству (ЛХ), но обладающую тем свойством, что в любой е-окрестнсзсти этой то гки содержится хотя бы одна точка множества (М), отличная от А. Определение 1. Числсз Ь гссззьсвсгсзггссл и, р е д с л ьи и зс з и а ч е и и е м ф у и к ц и и и = 1'ГЛХ) е 487 1э пгкдкльнок знлчкник рь нкции т о г к е А (илп и р е д е .л о м ф у н к ц и, и при ЛХ вЂ” г А), если, для любо)) сходялцейся к А гюгигсдгннгтельноспт ЛХ), ЛХэг..., ЛХв..., точек мноьчсссгпва (М), элсмглппы ЛХ„которой, отлглчны от, А ') (ЛХ», ф А), гг)г)гг)г)ггтг)гг)вугогция, последовапгельность Х(ЛХ)),1(Мт )....
)1(ЛХь)г...;)ничгггчгг)1 функции сходится, к 6. Приведенное определение называется определением предельного зггачешля функпии с помощью последовательностей. Сформулируем другое определение предельного значения функции, используя вс д»-терминологию. Определение 2. Число Ь нвзывиегпся предельным значением функ;цш) п, = Х(ЛХ) в )почке А. сслп для любого полож))и)гель)гого 'числа е мохсно укизигггь гпакос пг)люк'гппгглгьнгнг чгн)ло д, что длл в))ах точек М из области зидггнпя функции, удовлствирягвьцггх условию 0 < р(ЛХ, А) < д, гяьтолняетпся нг)1»иеген; гпто Х (ЛХ) — 1) ! < е.
3 а м е ч а н и е. Определения 1 и 2 предельного значения функ)гни экгивзлентны. Справедливость этого утверждения может бьггь доказана точно так же, как и эквивалентность двух определений предельного значения функции одной переменной. Для обозна гения преде.п ного значения 6 функции и = 1(ЛХ) в точке А используется следующая символика: или 11)п Х(хг. я'в)...,:г:и)) = 6, !пп Х(ЛХ) = Ь, д) -)Л в), аг., в — га), в †где а)гав,... гав) координагы то"гки А. Сформучируем определешле предельного значения функции при стремлении )очки ЛХ к бесконе )ности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
