В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 104
Текст из файла (страница 104)
так и в виде (14.15). Если хотя оы одно из чисел А1. Лй.., .. Л„„, отлично от ну- лЯ. то сУмма Л1Ьх1 + ЛгЬхг +... + ЛсвЬхов пРедставлает со- бой глитл~ро. ллигейнрдо опоил.итгльно тчидлицсний оргр иенувоо часть приращения дифференцируемой функции. Отметим. что при определении понятия дифференцируемости функции ъсы не исключали возможности обрагцсния всех чисел Л~. Лв, ..., Лю в нуль. и поэтому, если приращение Ьи функции может быть представлено в виде (14.14) или (14.15) при А1 = А ... = Лп, = — О. то функция двфференцируема в данной точке.
Справедлива следующая теорема. ') Если все Ьх,, равны нулю, то все члены в правой части формул (14.14) и (14.15) равны нулю. 5О1 пгоизводнык и диеекд кпциллы Теорема 14.9. Есэстс функция, и = Х(;тдэхгэ....хт) дифг)эе- ХэетссэсэХэтделга в тшэ ске ЛХ(з:д.хо., э;сы)с то в зпипс точке су- щег:пэвутопс чаг пигые пргтзводные по вселю аргументом, причем ди — = Лн где А, определятопюя иэ целовал (14.14) или, (14.15) дифференцпруемости Хэутсктэсстэ., Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (14.14) диффсрен- цируемости функции в точке ЛХ(хд, хг,..., т;и,) вытекает, что ее частное приратддстндде слх,тэ, в этщл точке равно с5,„, и, = .4,с'.дхц + .т„, и + сэ,сл:сц Отсюда вытекает, что "' = Лс+ ос, дт поэтому, так дх, д,„,и ди каке, — «О при слзц -э О.
1дш '"' = — = Лс. «о .лх, дх, Следстпвие 1. Угнссэгэтсгэ (14.15) диг(эсХэедэггтсцтгХэусгглсгэстгэтэ, функ- цтси в дгэтстсгэсу псочте ЛХ можно заалкать в следующей, форме: слтс = 'лздд +, саста + ° ° + слэ'ги + сэ(Р) ). (14 15) дх! дхт дт' Следстпвие 2. Если функасия и = Х(хдэхгэ, ..
эх ) диф- ференцтсруеля в ттсгэчкдгс эдХ(тд.:тг,..., хв,)э то предстовлгисие ее тэХ«тэдтдтцентся сЛтс в форлсе (14,14) или (14,15) едтснственно. В са- мом деле. коэффициенты А, ад дсх представлений равны частныьд ди производным — в дантсой гпо ске ЛХ и поэтому определяются дх, единственным абра:дом. Убедимся в справедливости следующего важного свойства дифференцируемых функций.
Если функция и, =1(гсд,зг,..., хи,) дифференцируемя в пнэ с- ке ЛХ(хд. з:г,..., хы). то она и непус1эъиэно, в этой точке. В са- мотт деле. из устовия (И.14) дифференцируемости функции в точке вытекасд; по 1пп с.'дтс = О. а зто и озна дает, гго функсдхс ге, ахт -«о.,' аэт — «о ция непрерывна в точке ЛХ (см. п. 1 3 3, формула (14.7)). В случае функции и = Х (х. у) двух переменных условие диф- ференцируемости может быть иллюстрировано геометри сес:ки. Введем поняпле касательной плоскости к поверхности в точ- ке Хдто.
Плгэсктэстгэь тс, про;содятцая через псочку д«то тсгэсэссХэхтсгэг:ттэ,и. называется к а г.' в т е.л ь и гэ й тс л о с к о с тп ь я в этаотс птич- ке, есллс угол, ли.жду этой тслоскоспгью тс гэсэлзэссдетс, ироходятцей через точку д«то сэ, лпэбую точку д«тд тюверхности, сттсдэемтстгэя к тгулпэ, кгэгдв, пючк;а эУс сттсдэемтсттсгя к Лто (рнс. 14.3). ди э Згсесь все частньн: пронтводныс — берутся в данной точке ЛК дх,, 502 Г:1.
11 Эь НКНИИ НКСКОЛЬКИХ ПИРИМНННЫХ Ес;си в точке Хо сУществУет касательнаЯ плоскость. то очевидно. по касательная в точке Хо к любой кривой, расположенной на 170НР1»х!7огт'и и 1Ц)0- ХОДЯЩРЙ *П717РЗ 777о, ЛРжи1 в указанной плоено й71 КОСТН. -и ",и У ,. белимся, гнэ из головня дифференцин йго! руемостн функции и = = 1(х,у) в данной точ! ! ке ЛХО(хо, Уо) гзьпекает существование касательной плоскости к г1711фнку Я этой функхо Ции в точке 7"т'!7(хо, Уо.
Мо(хо, Уо) . ~ У> зо), 11оложим Ьгг: — — — — — — — — ~Г~ 2Ра 2 = х — ха, 7.:7!/ = 17 77=7 х У вЂ” Уо; 2177 = 17 — '7»о. где но = 7'(!77о, уо), и = »'(»л у). Очевидно. устовие (14.14) дифференцируемости в рассматриваемом случае можно записать следующим образом; и — Па = А(Х вЂ” ХО) + В(у — УО) + 177ЙХ + 7»эс-'су = = А(х — 'го) + В(у — уо) + (р) ди ди где А и  — постоянные.
равные частным производным — и— д* д!» в точке ЛХо. а О и 7У бес конг"гно малые при сах — э 0 и Ьу — + О Ф. ««».е=»Я '+ае Расскютрим следующее уравненгле: 17 — но = -4(:7: — хо) + В(у — Уо). Из агсалитическснл геоъгетрии и:звестно, что это уравнение определяет в дскартовой системе координат (х. у, ьг) нскозорую плоскость н. пРохоДЯщУю чеРез точкУ ЛГо(ггго, Уо.
ио) и имеющУю нормальный вектор п = (А, В, — 1) ') Докажем, что зта плоскость гг является касательной плоскостью в точке Лго поверхности Ь'. Для этого достато гио убедиться, гто: 1) плоскость гг проходит чсрез то гку Лго поверхности Я и 2) угол 777 между нормалью п к этой плоскости и любой секущей ЛГОЛ1 стремится к л772, когда точка ЛГ1 поверхности В стремится к то гкс ЛГО. Утвержденгг<' 1) очевидно. Перейдем к ' ) Нормальным вектором плоскости называется гсюбосг ненулевой вектор и, перпендикглярнь!й к этой плоскости. бОЗ ииоизводныв и диэевивициллы доказательству утверждения 2). Вычислим косинус угла гр.
воспользовавшись известной формулой для косинуса угла между двумя векторами. Так как координаты вектора и равны А„В. — 1. а кооРдинаты вектоРа ЛсггЛгг секУщей Равны х — хо. У вЂ” Уо, и — ио (см. рис. 14.3). то А(х — хо) -г- В(а — уо) — (и — иа) соа гр— в 1 г — „г г„-„,г г ° -„г'' Из условия дифференцируемости функцин и, = «(х, у) вытекает. что -4(х хо) + В(у Уо) (и ио) = а(р). Понтон>> )о(р)! )сг(р)! / сов гр( ( Из этой формулы вытекает. что 1пп сов гр = О, т.
е. 1ип гр = к«2. р >сг ' р-го Утвер>кдеггие 2) доказано. Таким образом. днфференцируемость функция и = «(х,у) в точке Лхв(х. Уо) с геометРической точки зйешли означает наличие касательной плоскости к графику функции н = «(х.,у) в точке Л(о(хгг, уо, ио). Так как коэффициенты 4 и В равны соответственно частным производным.
вычисленным в точке ЛХо(то, уо). то уравнсние касательной плоскости мо>кег быль записано в виде с> — гго = — (:г: — хо) + —.(У вЂ” Уо) да да (14.17) дх ' ду 1 да да, Нормальный вектор и = г — '. — ', — 1 > касательной плоскости дх да' ~>тгняго называть гга1>малгис> к иоверхностсг гг. = «(г:, у) в то ип; г>Со(аго Уо: но). Выясним достаточные условия дпфферснцируемости функции нескольких переменных.
Теорема 14.10. Кслгг, с«гуггкцггл гг = «(хг. хз,.... а:,„) ггмеет частные п1>с>ггввос)нысг гю всем арег1менстам в ггекогпорсгг1 акр«ст- о о а нас>пи г>гачкгл ЛХо(хг, ха,, .., хт), причем все вгпн састнгяе прагисгадггьи. кчгпрерысвны в самст1 пгачке ЛХо, пя указа>и*ел с«)уггкггггл дггг«х«гер«ггггггрдемсг, в точке Ио. Д о к а з а т е и ь с т в о. Для сокращешля записи проведем доказательство для функции двух переменных и = «(х, у). Итак, пусть обе частные производные Д и «существуют в окрестности точки ЛХо(хо,уо) и непрерывны в этой то"гке.
Дадим аргументам х и у сто>гь малые приращения гах и гту. >тобы точка )Ой г:!. |! эх нкнии ннскольких нигиминных ЛХ(хо + е.')х, Уо + Ьу) нР выходила за пределы ук|х)ае!Ной окрест- ности точки ЛХо. Полно! Нрпр ицениг 71)71 = Х(хо+.ЬХ7 уо+ ЬЕУ)— — Х(11:о7уо) можно зеи|исать в виде |1 « = [Х (|хо + е-'с1:, уо + Е-') у) — Х(хо Уо + е-')70)] + + [Х(:1:о: Уо + л70),Х(71|о: Уо)] ВыРажение [Х(хо + Лх7 Уо+ ЬУ) — Х(хо, Уо+ ЬУ)] ыожно Рассма- тривать как прирапп)ние функции Х(х. Уо + Ьу) одной перемен- епн! 1'1, на сРгмРнтР [,го, хо + Еа|е]. поскольку фуе1кция и = Х(х.
7!) имеет частные производньп.", ук)т)анния функция Х(х,уо + ЬЕУ) диффергнциругма и е! производная по х представляет собой частнук) пронзводнун) Д. Применяя к указанному прира|цени|о формулу, 1агранжа, найдем такое О! из интервала О < 0! < 1. что [Х(хо+ ехх уо+ !ау) Х(1о;уо+~у)] = Х,(|го+0)ех|1ьуо+еху)~2'. Рассуукдая совгрп|снно она~о~инно, получим, что д.|я нгко- торого 0а и:! интервала О < 0а < 1, [Х(хо Уо+ !ау) Х(хо: Уо)] = Х„(|о: Уо+ 0аеау)!~у. 1 ак к '|к прО! 1 )водныР Хо н Ху нРНУРрывны в 1 О |кР мо ! О Х,'.(хо+ 0|Е1Х7уо+ ~170) = Х'(хо.
уо) + уе, Ху(хо: Уо + 0а А 70) = Ху(:хо: Уо) + уо; гдР е и ~3 . бесконечные малые при Ьх — ) О и Ьу — ) О функции. Отск)да, учитывая приведенные выражения для [Х(|о+ ~х: Уо+ Аl) — Х(хо Уо+ |1У)] " [Х(хо: Уо+ !~у) — Х(хо:7)о] и выражение для Ьи, найдем Ьи = Х',(хо. Уо)ЬХ+ Х'(хо. Уо)Ьу+ !тих+ А~у. Следовательно, функция и = Х(х,у) диффгренцируема в точ- КР ЛЕО.
В Гту'ЕВР фуякцяи 711, НРРР7о! НПЫХ И = Х(:у:|, 1'1:Л..., 11!ту) рассуждения проводятся аналоги пее), только полное прнращР- нпг ")и чтой функции с;пдувт проди|явить в вид!. суму|ы Ьи = Х(Х! +ЬХЕ,.... Хт +ЬХт) — Х(Х!,... „11)т) = 'т =Е ь: а о о о о [Х (х! ..... ° хь — |; 1 ь + 7 1хы .1 а, ! + А хе-, '); ° °; 1 т + е) хт ) ь=! о о — Х(х! 7 х1)в-Е: гы |хьз + -)хи-! 7 х +ьх .)] 'Хвор!)х!а до~язв~а. 505 ПГОНЗВОДНЫК Н ДИЕЕН! ИПЦИЛЛЫ 3.
Понятие дифференциала функции нескольких Переменных. Определение. Д и ф ф е р е н ц и а л о м ди дифференцируемой в п)очке ЛХ( см х2...., сст) фУНЯЦии и, = Х(сх), х2,..., )г„„) называется главная линейная относип)елысо приращений аргументов чисть приращения оспой функ>ции в в>очке ЛХ. 2гсли все козффициен)аы А, в п1>с)дстосзлеиит (14.14) прирв,щеьися, диффергицируемой функции расты нулю, п)о дифференциал ди функции в точке ЛХ снитае)ася равным нулю. Таким образом, дифференциалоъс с)',и дифференцируемой в ТОЧКР ЛХ фуНК1>ИИ И: Х(Х):1'2 «, '1>)я) НйЗЫВВР1СН ВЫрйжРНИР ди = А! Лъх! + Аасъсга +...
+ А,„Лъх, . (14.18) Ис)поль)зуя теорему 14.9, мы можем, очевидно. Пере)писать выражс'ние (14.18) для:)ифференциала ди, с;и.дующим образом: ди = Л!х) + слха +... + сххт, (14.19) дх) дх> дх Введсзис понятие дифферелсциала дх, независимой, переменной х,. Под дифферс'нциалом дх; независ:имой переменной х, можно понимать лн>бое (не зависящее ог х),:с2,, ..,х ) число. Договоримся в дальнешпем брать это число равным приращению с>хс НРЗЗВИСИМОН ПР!)РйСЕННОИ Хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
