В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 106
Текст из файла (страница 106)
+ (14.20) дх) дхг дх В этом пункте мы докажем, что формула (14.20) является универсалып)й и справедлива также и в том снучае, когда аргументы сс), х...., !г,„сами являются дифференцируемыми функциями новых п( ременных 1! г 1в ....., 1ы Указанное свойство п( рвого дифференциала обы !Но называют свойством инвариинтноспгп его формы. Пусть аргументы х),ссгг... гхиг функпии и = ) (х),хг„...
...,:г,„) пред(тавляк)т собой диффере!щируемые в точке о о о А(11, 1ег....1!) функции:г,; =:р,(1! г1!,..., 1!), а сама функо о ция и = ! (г 1, )г; )., и,„) дифференцируема в то"!ке В(х), ссв,... о о а о а ..., ()и) ), где х;= у)((11, 1г...... 1с). В таком случае мы можем рассматривать и как с.южную функцшо аргументов 11,1е,... г1), которая, в силу т("ор('мы 14.11, является дифф(ренцирусмой в точке А. Поэтому дифференциси! ()и этой (ложной функции и!О)кно про,)(:тавить В Виде г)и = — ((11 + — псв + .. + — (11(з (14.33) дсг дсг д(( ди ди гле — определяются и) соотношений (14.22). Подставляя — из ди (14.22) в (14.33) и собирая коэффициенты при —, полу !им дх, ' (((! = !у — ((('.! + — (((в +... + — Мьу +...
ди ('дх) дхг) дг) дх1 ( д(! д!г д!! ди /дхо, дхо, дх,. + ( — (!г! + — Мз + + — ' ((гв) дх,. дс, ' д!а ''' д(, б10 Г:Е. 11 эх нкции нкскольких пкркмкнных ОСТЗЕТСЕЕ Затн)ТИТТН ЧТО В ПОСЛЕДНЕЪЕ ГООТНОПП'.Нии Козффи!СИС'НТ дп ПРИ вЂ” РаВЕН Днфф|РЕНЦИаЛУ йс, фУНК|СИИ:С; = СР>(11.1й,, .. д., ...,15). Х1ы полу |им для дифференциала ди сложной функции формулу (14.20), в которой дифференциалы йг; будут диффс реещиалами функций х> = сре (1], Хй,..., Хе).
Иеевесрие)нт)101>ть формы первого дифференциала установги на. Свой|ство |сесне)Весе)нгнос:ти фора|в| пе))восо дифс))с)рс нпиае|а позволяет установить с>леду|ошно привила дссфс1)среесцироттия. Пусть и и и — дифференпируемые функции каких-либо переменных. Тогда с)(сял) = се|и (с = с>опв1), сК(и хи) = с(и х й>., с1(ии) = ис1и+ исйп, сК( — > = ' (В последней из написанных формул и не обращается в нуль). ,>до)се)жс.кс, па|В>имс)р, спрввсдливосгь третьей из указанных фо~)мул, Расс:мотрим функция) и> = ид> двух пс)ременных и и и. Дифференциси) этой функции йв равен сси> = — с(и + — сй.'. ди да дп ' дг ди дю Так как — = и и — ' = и, то йп = ий> + иди. В силу инвадп дг риантности формы первого дифференциала выражение и пи + + ийи будет дифферешеиалом функции ип и в случае, когда и, и и сами являя)тся дифференцируемыми функциями каких-либо переменных.
6. Производная по направлению. Градиент. Пусть функция и = 1(>г„сд, з) трех пс рсмс'нных х„д и з задана в неко- тоРой окРестности точки Мо(хо.до, ко). РассмотРим некотоРое направление, определяемое едишгшым вектором а с координа- тами сов||, сов1), сов у'). Проведем чсрез точку Мв ось 1, на- правлеш|е которой| совпадает с направ,н)ншм в| ктора а, возь- ксек1 е|а этс)Й Оси прои|вольнук) то'Еку М(х> сп >) и Обозна'Н1м 'Есь рс)з 1 в|с|и сину на1В)авен)нного Отрезка МОМ указанной оси ).
Р1з аналити |ее||ой гс)ометрин известно, что координаты зх, |б к точки М онредс.,|я|отея равенствами х = хо+(совст, д = до+Рс:ов(Ф, з = до+(сов У. (14.34) ) Из ана,ситической геок>стрип извес) но, что если единичный вектор а составляет с осями координат утпы о. д.;. )о координаты этого вектора равны сово, соед. сюяч. ) Величиной >' направленного отрезка ЛкеЛХ оси 1 называется число, равное сто длияе, взятой со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с направлением оси 1.
и со знаком минус. если направление этого отрезка противопопо)кно направлению оси 1. 511 пгоизводнык и диэегл внцнллы ди ди д,г ди Уу, ди <гв +, т д1 дг. <и ду о1 ' дг гй <1х ду <Хв Так как — ' = совы, — ' = сонг>, — = сое у, то из посл<дней <и ' <11 '' ' гй форму.зы находим ди дт> дт> ди — = —,'<тоагт+ — сое1>+ — сов у. д1 дх ду дг (14.35) Введем понятие градиентно дифференцируемой в точке ЛХо(гсо> уо; го) функции и = ф(х, у, г). Г р а д и е и т о м функции и = ('(х,тбг) о точке Мо называетпся векпп>р, обозначаел<ьгй н>м>н>лг>м ага<1<> и имеюи>т>й д дад координатна>, соотиветсп<венно равные производным —, дх' ду' дв' озятпым в пточке Мо.
Таким образом, / ди ди ди1 йгга<1 и = ) —, —, —, ). дх > ду: д. Т' (14.36) Используя понятие градиента функции и учитывая, "по вектор а, ощ>еделяющттй на>травление оси 1, имеет координаты созга <'аз<3, соз у, представим выраженп< (14.35) для произвол,. ди ной — по направлению 1 в виде скалярного произведения векд1 торов йга<1и и а; д1 д .г.1 т) (14.37) Покажем, <то градиент функции и = г(х>у, ) в и<очке >Мо ггаракп>ерт>гзтуегг>, направленлие и величину,л<аксил<ального роста этой функции в тпочле Л1<т. Именно, убедикня, что производная > Напомним, что скалярное произведение двух векторов. определяемое как произведение модулей (длин) векторов па коеинус угла между низа<, в глучае.
когда векторы заданы координатами, равно сумме произведений одноименных координат зтих векторов. На указанной оси 1 функция и = )'(х.у.г), о тевидно, является <>ножной функци<й одной переменной в<личины Е Если эта функция имеет в точке 1 = О прг>т>звг>дн1>то по переменной 1, тпо >лог> тгроизводная т<г>зт>ггтг>егггся и р о т> з в о д и о й и о н оп, р а в и, е н и ю 1 оп> функции и = 7'(гг> тб г) в точке Мо и обода значаептся символг>л< —. Согласно замечани<о к теорем< 14.11, дг в случае дифференцируемо«ти функции и = ) (гг> у, и) в точке Мо ди производная — может бьнь вычгтстгена по форму.зе (14,27)> в д1 которой аргумент 1 нужно заменить на Е Таким образом, 512 Г:1. 11 эв нкнии нкскольких ниримннных функции и В то лке; Мел но нели(зввле;нллкл, елп1111де1ляе"мелыу Ервдие'нтОм э'ГОЙ функ1Лии В укйзвннОЙ тОчке', имел'"Г максима!1ьное лнв п*.ние по срнвненикл е: преи11лвелдне1131 по .Еклбому другел»г, ннпрнвлщппо в ТО~НЕ.
ЯХе1, и знн ление у кв;"липой п(клизводпой равно ( игас) 11(, т. е. длине вектора йгае1 п. Перепишем формулу (14.37) В ВИДР— = (а! ! Йгае) и ! сов ер, д( где р — угол между векторами а и исае) и. Так как ди )а( = 1, то — = (Йгае) и(сов ер. д( Из поегледней формулы вытекает, гго максимальное значение (-) ди '1 — производной по направлению будет при сов ер =- 1, т. е. юах когда направление вектора а совпадает с направлением игае111, 1 до Л ПРИ ЭТОМ ( — ! = ((гГНЕ)и(.
шах Зля выяснения геомелрического смысла вектора Вгве( и введем понятие поверхности уровня функции и = Х(ес,у. ). Нвзовем поверхностью уровня функции и = Х(к,у, х) каждую поверхность, нв которой функция и = Х(ес.у. к) сохраняет постоянное значение, Х(х, у. х) = с = гопвг. Нетрудно убедиться в том, что вектор Кгвс( и в денной точке зло(ка, ув, ко) ортогонвлен к той поверхности уровня функпии и = 1'(х, у, к), которая проходит через данную го псу Луо. 3 и м е 1 и» и е. В еллучне фу~~И~~ 11, = Х(:»:, у) двл;х пе(именных и и у едлпшчный вектор а.
определялощий направление в точке ЛХО, имеет координаты совет и эшен Поэтому в уклулнннохл е лучио формусла (14.35) прянллмнет вид ди ди ди — = — СОВ О + — ВШЕК Отметим, *ело в случае функппи двух переменных градиент дифференцируемой функции и(и, у) определяется кнк вектор. имеюд д щЕЕЙ координаты —, и —. Формула (14 37), очевидно, справеддт ду' .,1иВВ и В слсчаел дВУх пе11111ме'нллых.
Дли фхнкции 'О = л (же, из,... ...,;Гт) т ПЕРЕ МЕННЫХ ИЕ, И., 1:и, ПРОИЗВОДНаЯ ПО НВПРНВ:и'- нию и градиент определяются аналоги1но. Именно, производди нВЯ вЂ” в точке Мв(ил,л:т,...,:11т) по напРавлению 1, котоРое задается е,Еиничным вектором а = (1ов а1., сов Етв,..., совам) ') В аналитической геометрии т-мерного евклидова пространства единичный воктор а определяется квк вектор с координатами сов ос, гов ою...
..., соко„„где гоьхо1 Л-соева -Ь... Ч-говхо, = Ь ! в ш оизводпыи и диеев! Ннциялы высших погядков б!3 определяется как производная по ( (ложной функции а о о Е (Х1,Х2, ° ° Хто) ° 1/л(" 11 — -).! + (СОВП) а)В =ХВ + (РОВ ОВ, о ,:Хгн =Х)н + !СОВОнп В СЛУ П)Р, ЕСЛИ и = Е(Х),азх,...,Х„) дпффе!)ННПИЕ)уехлвя (()дикция, для и!)О!с)водной по пвлравлщлик) имРРт ЫРсто фо!)му!в ди ди ди ди — .= — сова)+ — сових+...
+ — сово, . д! дх( дх) дхо, о о о ГРаДИЕНтОМ фУПКЦИИ В ДаПНОЙ ТОЧКЕ ЛХВ(Х),(ХВ,...,Хгн) ННЗЫ- вается вектор, обозначаемый символом ьтга((п и имеющий коорди ди ди динвты †, †...., †'., при п)м указанньн)производные бед(()( дх) дх рутся в точке ЛЕО. Для производной по направлению дифф(рен- цируемой функции в .= Х((х(. хв,..., х: ) спрввсдлива формула (11.37). в 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков 1.
'Частные производные высших порядков. Пу(ьгь ди частная производная — по аргументу;г., функции а дх, Х(х(,хв,...,(гн), определенной в области (М). су!Пеству- ет В каждой точке области (ЛХ). В этом (лучае указанная частная производная щ)едставляет собой функпию переменных :г), х),... „,х,, также опр(дел(иную в области (ЛХ). Может (луди читься, что эта функция — им(лт !нотную производную по дх, и!)гумепту (хь в некотороп точке ЛХ области (ЛХ). Тогда укж)ан- нУН) частнУю пРои;)воДнУю по ВР).УмептУ;гв пазыввн)т втоРой частной прон:)вод или частной производной второго порядка функции и = Х(а)1,:гв,..., х„,) в точке ЛХ гнала.)н по ар) умен- ту,г„а затем по аргум(опту хв и обозна !Нют одним! из следую- щих символов; да и,<в! О(х! д'и П!Нл этом, (сли 1 у-'- й.
то *)встпвя щ)оизводнвя ' нв)ыввдх( дх ется ся(етанно(1 частной производной второго порядка. Пос)п) того как введено понятие второй пн)тной щюи)водной, можно по(вп'.ДОВатРЛ! по ВВести поняти(', т!)Вты'Й чпстнОЙ щ)оизгодной, затем ютвертой и т. д. Е())пл предположить, лто нами уже введено поняти(1 (и — 1)-Й г)сгной щ)ои)водной функции и — Е(Х). ХВ,..., Хто) ПО НРГУЪП Итти Хб. Х,,..., Х,, (ОТДЕЛЬ- ньи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
