В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Этй ДОГОВОРРННОСТЬ ПОЗВОЛЯРТ НВМ переписать формулу (14.19) в виде ди = дх)+ Йх>+... + дхт. (14.20) дх'1 д).г Подчеркнем., что формула (14.20) установлена нами лишь для СЛЪ'1йи, КОГДй йРГЪМРН!Ы Х>,Х2....,>тт ЯВЛИН)ТСЯ Нечйвнсниыми переменными. Однако ниже, в и. 5 этого параграфа, мы докажем, что формула (14.20) ост>)ется справедливой и для слу- ЧВЯ, КОГДа аРГУМЕНтЫ Х!. Х2,..., Сст Н» ЯВЛЯЮТСЯ НЕЗаВИСИМЫМИ переменными, а сами представляют собой диффс'ре)щирус мыс фЪНКПИИ НРКОТС)РЫХ НОВЫХ ПС)РРЪП;ННЫХ.
4. Дифференцирование сложной функции. В этом нунктР мы рис>сн10грнвз Вопрос 0 дис))ференцировйнии слс)жной функции вида и = Х(.1:!.хг......з)т). где х! — )р! (Кз; уа; ° ° °; ъя); х2 = !»В(1),!а,:!в), (14.2> ) :) т = сй|п(11; 12~ ° °; 11)). =!111 докйжем, что щ)и Опредсз>!!нных ъс!Тогиях этй стожнйя фънкция явл)птся дпфференцируемой функцисй своих йргь- 506 эх нкнии ннскольких ннннмннных г:!.
1! ментов 1!. Ха,, ..,1)г. При этом частные производные указанной СЛО КНОй ФУНКЦИИ ПО аРГУМЕНтаМ У)Л~!... !1Ь ВЫРа)КаЮтСЯ "ИарРЗ ЧИСТНЫЕ ПООИ'>ВОднь!Е! фуНКНИИ и =- Х(Х), 3:а.... !.'Сг)1) И '1РОРЗ частные производные функций (14.21) по ()дедун>п(им формулаы; ди Ои дх) дтг дх1 д(1 ди ди дх) д(2 дх1 д(2 ди дхг ди дх„, + — — "+ .. +— дхг дт) ' ' дх, дт) ди дх2 ди д! дхг дтт дх дтг (14. 22) гли = — Ьэ:! + — Ьха +... + — >))хт + д ди ди, дг! О!2 + (х! г)х! + (гаЬхэ+... + (хи Ьст, (1423) ди ди ди гдР частные производные...... берутся в то тке Лг, а о! ! Оа !...
! Ов, — бесконечно малы(' при Ьх! — ) О, г"!ха — ) О..., ди ди Ох! ди дхт ди дх,„ дт,. Ох дт. Ох дт. ''' Ох,„дтт ' Докагксхл с1Рдм101п!К) огнгттнттто т(Орому. Теорема 14.11. Пусть фттнкции (14.21) дифферегниируо о а емы в нети>тгтг>рг>71 п!очке ЛХ(11, Ха.... ! Ц)! а. фут!хзия и =,1(гс), ха!... ! хт) дифференцируема в сог>тг>вегас!!!вун>тцей точа о о о о а а ке Лт(гх) . ха !...,:ст) ! Хде гг„= (Рт (У 1, Х ...., Хтг ) ! ! = 1. 2 !..., т.
ТОЕда СЛОжиая фуНКцая 71 = 1(Х),.'!Х! . >го)! Еде 1! ХВ! !гт определян>тася соотанотаениями, (14.21)! дифференцаруел!а в точке ЛХ. При эп!ом частные прг>извод!!ые эт!т, слоэюной функ; ции в точке ЛХ г>пределятопюя формулами (14.22). в коп>орых ди ди ди все частные т!роизводнь!е,,..., берутся в точхе. >)т> д>1 д22 дХ Ох, а все частныс производные —" функции (14.21) по аргументам дт> 11, Хз!..., Хь берутся в точке ЛХ.
Д О К а З а Г ('. Л Ь С т В О. Прндаднн! оц)сух!(НТНМ о о о 11„1в,...,Юь в точке ЛХ(11„1а!... !Хтг) произвольньн прираще- НИЯ СХ1! ! С!Га.... ! Ь1Ы Н(Э РИВНЫР ОДНОВ1)РЫРННО Н'г(Ч!О. ЭТИХ! п|птрап(Р!(иям соответствуют приращения глх! ! глха,..., (лэ;г„ функций (11.21) в точке ЛХ. Приращениям глх), схха!..., глгхиг В СВОК) О"П редЬ СООтнстетну("! Прнра!НРНПС ахи фуНКПИИ 'и = > (х! ! ха!...
! тт) В точк(' 1)г. По(ко>!ы(у сринкция и = Х(х!!гса...,хт) предполагается дифференцируемойт в точ- кР Х, указанное приращение (ли этой функции могкет быгь !вписано в виде 507 ПГОНЗВОДНЫК И ДИЕЕК1 КПЦИАЛЫ ..., ЬХн, — ) О ФУНКЦИИ. РаВНЬН; НУЛЮ ПРИ,Ьа>1 = ЬЯ:а = ... ... =- Ьх,в = О.
Подчеркнем, тто в соо)нопп>нии (14.23) с.'тхм олХа> ..., олХ>п !й>едетаВЛЯЮТ СОбей Прнрап)ЕНИЯ фуНКцИИ (14.21), отвечанлцие выбранным приращениям,ЬХ>, Ьйг,..., А2Хь аргументов этих функций. В си:су дифференцируемости функо о о ций (14.21) в точке ЛХ(11. 1а„..., Хь) указанные приращения Ьхс, можно )вписать в следун>п1ей форме; Л:13 = — х" Ы1 + — '* ЬЬ +... + —," с."2сь + о(р) > (14.24) 2 = 1.2„...,т дх, дх, дх, где тастные щ>оизвс>дпые —, —..... — берутся в точкс*, ЛХ, и дт! ' д>2' д>1 р = (л11)а+ (м)а+ „, + (ыу)' Ъ1ы до.гкны убедиться в том, что пос.>е подстановки в пранук> часть (14.23) выражений (14.24) приращсние >ли может быть приведено к виду — А слс + Ао,~а+...
+ Аьи~ + о(р). где А,= '+ ' +...+ ", 2'=1.2,...,Й. (14.26) дх1 дт, дх2 дт,, дх„, дт, ' Тем самым доказательство теоремы будет завершено, ибо фор- мула (14.25) ус>танавлива т факт дифференцируемости сложной функции, а выраженис (14.26) представляет собой частпун) про- изводнун> ую)з;>Иной с >о>к>п)п функ>)ии (см. тео1н му 14.9). При подс:тановке в правую часть (14.23) выражений (14.24), кроме группы спи аемых А>ЬХ>+ А слХа+...
+ АьЬХы мы полу- чим и другие группы с.>агаемых. Нам нужно убедиться в том, что все другие группы слагаемых представлян>т собой величи- ну о(р). Это вытекает из сыс'дун)щих соображений: 1 . Все часп>ниле производные — в формуле (14.23) беру>с>; дт, сл в точке >У, тп. е.
предсвсавллн>тп собой постполаьгме. числа, кс>торые т>ри умнова>енисс, на о(р) датта снова, величину о(р). 2'. Все Ьхс (2 =- 1,2....,>п) удовле>оворя>от неравенстпву (Ьхс! < сопв1 р. Зп>о нет>осредственно вьстекает иа формул (14.24). 3". Все о> в фс>рлсуле (14.23) 2>редсп)авл2ают собст" бесконечно лсалые пуи Р— > О фУнкиии. В самом Деле. все сто Явлин>тс'и бссь конечно малыми при слх> — > О.
Ьхя — > О, ..., слх — > О. Но все функции (14.21) дифференцируемы, а стало быть, и непрерыв- ны в точке ЛХ, и поэтому Ьх>, Ьха..... с>х стремятся к нулю при р -+ О. 808 эь иннин нкскольких пипимкннык Г:1. 11 -1'. Кс>1>сс>дое произ!с!>дене!с>О,ЬК>! прес11>енс>с>ляе>сс собой величину о(р). Это испо!рсдс;твенно вытекает из пп.
2' и 3'. Теорема доказана. 3 а и е ч а и и е. 1'ассмотрим важный частный с>чучай, когда функпии (14.21) Еависят от одного аргумента 1, Тогда мы имеем С'ЛОЛСЕ1>'К> фуНК1СИК> ОДЕК>й ПЕРС'.МЕН!В>й Е! П = Е (ХЕ. Хя! ° ., Хсп)! ЕЕ!с гле х, = ср>(с). Прои!водная — этой сложной функпии опредейс Л51ется следу 1Опсс'й форьг! ЛОЙ: Йи ди с1хс ди ссх:2 ди сйх,. (14.27) йс дх! сй дх2 сд дх„,, >ЕЕ Применим формулу (14.27) еля доказателытва теоремы Эйхссрв, об однородны с фуснкиияхь Функция и = Х(гс,х>,... !:х,„)! заданная на множестве (М), называется однородной функцией степени р на эсом множестве, Если для калсдои то Еки ЛХ(хс!Тэ!...
! хт) множества (М1 и для каждого числа 1э для которого точка Е>е(схс,йха!...,Хх> ) принадле кит множеству (ЛХ) вьспс>лняепсся равенство Х(йх>, Ххв!..., Ххи!) = 1~1(сх>, хя!...;дхп!). (14 28) Теорема 14.1х (гаеорема Эйлера об однородных функциях). Если и = Х(хс,:св!... ! Ехт) являесося в некоторой обласгпи (ЛХ) дифференцаруесмой однородной функцслей степени, р, то в ка;>юдой, точке М(х>!ха..,.,:с,„) области (М) справедливо равенспсво ди ди .ТЕ + хэ +... +:х„, = ри.
(14.29) ди дх! дхп дс: о о о Д О к и 3 а т с, л ь с '1' в О. Пусть ЛХО(х!1!хэс....х>и) произвольная точка области (ЛХ). Рассмотрим сложнук> фуспс- ПИК> и = Х(:ГЕ!те!...,:Гп!), ГДЕ ХЕ = 1Х,; (1' = 1с2.... !ПЕ), т. Е. о о о функцин> и = Х(1х1.1ха.., ..яхт), Так как при 1 = 1 функпии о Х! = С Х! Днф11>СоРС'НЕЕИРУС'ЫЫ и СЕ>УНКЕСИЯ О = Е (Х1с.'1;2!..., Стт) Диффс>уенциурс'ма в соогвс>тств'!"юсцс"Й тО*1кс' ЛХО, то! согласно тсь ореме 11.11 и замечания> к этой тсореме, мы можем вычислить >1 и производную — указанной сложной функции в точке 1 .=- 1 по Лх о формуле (14.27).
'1ак как — ' =хь то с11 сЕи ди о ди ди — х1+ 11:2+ . + (14.30) сЕЕ 1.— 1 дх ! дх 2 дх ди где производные — берутся в тоске Л4О. С другой стороны, в с:илу (14.28) рас:сматрнвас мая сложная функция может быть ш онзводныв и диэенгв!!цилг!ы пр(дота)вгп)на следукнцим образом: . = П(,,'с),1'':и,..., й,и) =, Л(~)! гсвг...,,~би). (14.31) о о о Из (14.31) вытекает, что — = р1 !'(х)г хвг... -,.'си)), т.
е. (и — = Р((!))г Х...:С„) = РИ. (14.32) г!! Сравнивая (14.30) и (14.32), мы получим соотноп!ение (14.29) для точки Мо. '1ак как точка ЛХВ - произвольная точка области (Л4), то теорема доказана. 5. Инвариантность формы первого дифференциала. В п. 3. мы ввели понятие первого дифферешплала (1и функции нескольких переменных и установили. что когда аргументы .'С), Хг,..., )сги ЯВЛЯК)ТСЯ НЕ)аВИСИМЫМН ПЕРЕХП)ННЫМИ, ТО ДиффгР(ншпги! ()1! МОЖНО ПРЕДСтаннтЬ В ВИДЕ фи = (1сс! + — (1хв+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
