В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Определение Я. Число Ь назывог;тся и р е д с л ь и ы м зпгг гсписм функции, и=-Х(М)'п1тЛХ вЂ” гоо(иллг 'пределом функции приМ вЂ” +ос),сслидлялюбогономклситсльнояо числа в мосчсно уаплать пнгкос поло;нсигпельное число ач чхпо для всех М ггз облгн)ггп), задаггия фугтции, удовлегг)вг)1)ягогцг)гх уг)лонг)го р(Г)., ЛХ) ° а, выгголнясгнся нг)Хч)вг)нг)гпвг) ЛМ)-И <=.
Арифметические операции над функциями т переменных, имеющими предельное значение в точке А, приводят к функциям, также имеющим предельное значение в точке А. Именно, справедливо следующее утверждение. Пусть функции Х(ЛХ) и ьн(ЛХ) илгсют, в точке А прсдсльггыс зггг)чгггггля, Ь и с. Тг)гда функции Х(ЛХ)+8 (ЛХ)) Х(ЛХ) — п(ЛХ), Х(ЛХ).
') Это требование объясняется, в частности, тем, что функния н = 1(ЛХ) может быль не определена в тонне А. 488 гд. тт эь нкннн нксколькнх ннгнмннных «(ЛХ), 8(ЛХ) и иментгп в тпочке А ттутедельтсасе зтигчетсия. (чистнае В(ЛХ) 6 при условии с ф О), равные соатвенсснтвенно Ь+ с, Ь вЂ” с.
Ь о. —. с Доказательство этого утверждения соверщенно аналоги шо доказательстсту теореасы 4.1. 4. Бесконечно малые функции. Футскцтся, и = «(ЛХ) низтяваетпся бескане тно малой в пюсике А (при ЛХ э А), если 1шт «(ЛХ) = О. лт-,л Легко убедиться, что функция «(ЛХ) = (кт — ат)т + ...
... + (з;и, — ан,)п"', с-де птт.., тип, положитегпные числа, является сбесконечссо малой в точке г1(ат, ия,., .. ап,) '). Кали, функция и = «(М) имеетп Хятвнсте Ь тгХтедсльное знпченпе в тпачке А, то функция о(М) = «(ЛХ) — Ь янсяетгсся бесконс.чна лсалой в птичке А. Действительно, 1пп о(ЛХ) = 1пп («(ЛХ)— и — ~л Л! — тя — Ь) = 1пп «(ЛХ) — 1тш Ь = О. Используя этот результат, мы полг — ~л и- и лучим специальное представление для функции, имеющей равное Ь предельное значение в точке А; «(ЛХ) = Ь+ о(ЛХ)т где 1пп ст(М) = О. м-эл Сравнение бескоиечио малых функций нескольких перемениых производится точно так же, как это указано в и.
3 8 2 гл. 4 для бесконечно малых функций одной перемеипой. Отметим, что, как и в случае одной переменной, под символом о()3) мы будем понимать любую стескоиечио малую в датсносй точке А функцию бстлее высокого порядка малости. чем бесконечно малая в данной точке А функция (т(М). 5. Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши).
Будем говорить. что функция «(ЛХ) уг«авлетгтваряезп в пючкс М = А усзсствттю Коши, если для:побого положительного числа е найдется гголожительиое чисыо Л такое, что, каковы бы пи были;све точки М и ЛХ из области задания функции «(ЛХ), удовлетворяклцие перавеиствахт О < р(ЛХ'. А) < с), О < р(ЛХ", А) < б, для соотвс'тствующих значений функций справедливо неравенство йт4Х') — «(ЛХнП < Справедлива следутощая осповпая теореаса Теорема 1$.2 (критперий Коши).
Для тага чтобы функцига «(ЛХ) имели конечное ттйтедезсттттсте значение в тачке М = А, ' ) Достаточно учесп., что каждая нэ функпнй одной переменной Х(тс) = =. (яс — ос.)"' является бесконечно ма. сот| а точке яс =- ас. 489 НРЕДЕ;1ЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ Ьй необходимо и доспнсточпо, чпсобы с»эуьскцгсл Х(ЛХ) ддсзсз»сегсяо)зила н этой тсзчке услснпио Кос»с!с. Доказасгегп сгззо этой геореъсы совергпегнсо аналоги ьио доказательству теоремы 8.2 и получается из него путем замены букв х и а на буквы ЛХ и А и замены выражений типа !сг — о! на символ р(ЛХ, А). 6. Повторные предельные значения. Х!»зя функции и = Х(хз, хг,..., » ) нескольких переменных можно определить понятие пре,сс.п ного зиачопия по одной из переменных» с при фиксированных значениях остап ных переменных.
В связи с этим возникает понятие повторного предельного гномсяия. Уясним это понятие на примере функции и, = Х(», у) двух переменных х и у. Пусть функция и = Х(», у) задана в некоторой прямоугольной окрестности !х — хо( < дз, !«у — уо~ < дг то ски сгуо(хо, уо), за нсклкзчеиием, быль может. самой гочки Л!о. Пусть для каждого фиксированного у, у,совлетворякзщего условию О < )у — уо! < дг, сущсзствует предельное значение функпии и, = Х(», у) одной пораненной х в точке х = »'о: Х(х у) = р(у) о г — Фик и пусть, »громе того, суосествуст продельное значопие Ь функции «з(у) в точке у = 'уос 1пп о(у] = Ь. зс-э сзо В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение Ь для функции и = Х(х, у) в точке Луо.
которое обозначаезся следукзщим образом: !пп !пп Х(х,у) =- Ь. о-»т * »о Аналогично определяется повторное предельное значение 1зш !шз Х(х, у). з ог зго Установим достаточные условия равенсзва двух введенных повторных предельных значений. Теорема У4.3. Пусть функция и = Х(»л у) определена о нгъоспорой прямоугольной окрестности )х — хо~ < дз (у — уо( < дг точки ЛХо(хо,уо) и ссмеегп о этой точке зсредельное гначсзнос Ь.
Пзкпп. кроме. тот, длл лнсбого фиксирооинзсого х, О < )х — хо( < дз, сущесзпоуезп предельное зз*а ссниг. ср(х) = йш Х(х,. у) и длл лсобого фиксироеанного у, О < )!у — уо! < дз, сущее го стоуст предельное зна сгнив «".(у) = 1зш Х(х, у). Тогда поогпорние предсльныс,зна «ения 1!ш !шз Х(х,у) и !пп 1пп Х(х.у) с!»щсзсгпоуюззь и риони Ь. *ог см г го По к а з а т ел ь с т в о. Так как функция и, —. Х(х, у) имеет в ЛХо(хо,уо) предельное значение Ь, то для любого - > О мозкпо указать такое 6 > О, что при !»з — хо! < 6 и (у — зуо! < 6 всгполняегся нсравенспю сХ(х, у) — Ь ! < -.
Таким образом, в прямоугольной окрестности сх — хо! < 6 и (у — до! < 6 точки Лфо значония функпии Х(.г, у) отличаются от Ь не больше чем на е. Но тогда предельньсе значения ф(х) и р(х). указанные в форхсулировзсе теоремы при х и у, у;совлетворякзщих неравенствам !х — хо( < 6 и !у — уо! < 6, также отличаются от Ь не больше чем па -. Следовате.п но, и предельные:значения этих функпий в точках хо н уо соответственно существуют и равны Ь.
Теорема»заказа»за. 4(ЭО Г:1. >1 ЭХ НКННН НКСКОЛЬКНХ НИРИМНННЫХ Мовсно определип пов>пие повторного предела для так называемых двойных последовате>п настей (а„„, ). элементы а„,„которьгх определякжся двумя нн,гексами >и и и. Именно, символ 1>ш !пп а„,„означает, что сначала определяется пос.>едовагсльность (»„), о = 1пп а „, а затем находится предел этой последовательности (1>в). Рассмотрим. например, двойную последовательность (а„,), где а,„„ = = соь"'2яп1х,х — фиксированное чис>о.
Докажем,что 1, если х . рациональное число, 1пп 1пп соа' 2>гп!х =- О, если х - иррациональное число. В самом детю. асти х = р»», где р и у — целые чис>а, го при и ) у имеем соь2тп!х = 1, и поэтому 1пп сов 2>гп!х = 1. Иными словами, если х рапионап,ное число. то !1и> !пп соь" 2>гп!т, = 1. Если же х -- иррапяональное число, то при любом и справедливо неравенство ( сов 2хт>!> ~ ( 1, и поэтому 1пп соа"' 2ятйх = О, т. е. 1пп !ш> соа"' 2я>йх = О.
3 а м е ч а н и е. Используя полученный результат, мы можем аналитическим способом задать функцию Дирихлс (см. п. 1 З 1 гл. 4) как повторный !>реда>> 11>п 11>и сов'"' 2хп1х. й 3. Непрерывные функции нескольких переменных 1. Определение непрерывности функции нескольких переменных. Пусть точка А принадлежит области задания функц>ли и = «(ЛХ) нескольких переменных и .побая еокрестность то тки А содержит отличные от А точки области задания этой функции.
Определение 1. Футихцт>я и = «(ЛХ) назь>васин>я, н, е т>, р ер ь> в и, г> т>, в тп, о «к е А. если г>1>едгзлтгт>г>г> зиад>>типе зпи>т! фт>тгкцт>т> в точке А сут>!егтпвуетг> и равно чг>г и>ному зиг>чхенпю «(А). Отметим. что так как А = 1ш> ЛХ, то условие непрерыв>г| — >:1 нос>и функг!ии можно записать в следующей форме: 1пп «(ЛХ) = «( 1пп ЛХ). Точки, в которых функция не обладает свойством т>епрсрывности, называются гг>г>чкт>мт>, рпзрыво, этой функции. Сформулируем определение непрерывности функции. используя определение предельного значения функции с помощью е и д.
Определение 2. Функция и =- «(ЛХ) ья>зываетея типрерьгвио>й в точке, А, тюли для,а>обоза полооюап>елтли>яо чт>слг>, е мг>з>с— тю указать тг>г>х>г>е тшлоаюательное число О> чп>о для всех, то- 1 з ннпнш ывнын функции ннокольких пул инниных 491 ген ЛХ из облйсггш зидшгшя функций., уг)овлегпвгзрягощизг услоспгнг р(ЛХг А) ( Ь, ггытглняглпся нерггвенство !«(ЛХ) — «(А)/ ( е. Определение 3. функция и = Х'(ЛХ) низывитйся н, е п, р еХг ы в и о гг, и й,н и о осе г. с ггг, в е (ЛХ)., если гтнй неггреХгпгвяй в кй;ггсдогУ 7ггггчне эгиоао мггггзгсст.'7гггггг., Назовем ггсри1япцениегн или полным приргищенпелг фуньт1ии и = «(ЛХ) в точке А функг1ггго Ьгг.
ггггредгыяелгуго формулой Ьгг, = «(ЛХ) — «(А), (14.5) где ЛХ любая точка из области задания функпии. Пусть точки А и ЛХ имеют соответственно координаты ам сгйг.,, г а„„и хмха,...,хьн Обозначим хг — иг = глиц, хй — ав = Ьхв, ... ..., хгя — атл = Ьхйг. Используя этп обозначения, получим для приращения функции Ьи, соответствующего приращениям аргументов с1хг,..., Ьхно следующее выралгешп: Ьгг = «(иг + Ьз М ай + йгхаг...
г игн + Ьх„,) — «(ин ав,.... и„„). (14.6) Очевидно, для нтцжрьншостлг фунхции гл = «(ЛХ) в точке А нсгобходгглго и, дотггзгггочгго., "ипобьг се пририщение Ьи ггредсггггс; вляло ггггбггй бескгонечено лгиггую в точке А фунсктгггго, т. е. необходимо и достато шо, чтобы 1пп глгг = 1!пг («(М) — «(А)) =- О или !1ш Ьи = О. (14.7) м — л м — гл нег — ггь Ья„,— гв Условие (14.7) мы будем называть 1ггсзноггггсной фггргиой условия, непрерывногггпп функцшг. и, = «(ЛХ) в точке А. Для функции и, = «(ггмхз,... гхгн) нескольких переменных можно определить понятие непрерывности по однои из переменных при фиксированных значениях остальных перс'менных.
Для определения этого понятия рассмотрим так называемые насосные ггрирйщггнпя, функции и = «(хыхй.... гхгн) в точке ЛХ(ггмггй,...,гг„г), принадлежапгей области определения функции. Зафиксируехг все аргументы, кроме первого, а первому аргументу приладим произвольное прирагцепие Лхч такое, чтобы точка с координатами ггц + гЬзгм хй, .., г гггн находилась в области задашля функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
