В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 99
Текст из файла (страница 99)
ЛХ") = р(ЛХ". ЛХ') (симметрия расстоянна); 2) для .,побых ЛХ' и ЛХ" р(ЛУ!. М ) ) О, причем, если р(М<,М! ) = О. го гочки ЛХ! и ЛХл соила;июг; 3) для любых трех <очек ЛХ', ЛХ" и ЛХл' вьпкпшяется неравен<жво р(ЛХ'. ЛХ"') < р(ЛУ', ЛХл) З- р(М". ЛХ'") (неранено! во треугольника). Убедимся, что ьв<денное нами енклидово т-ьярное простраю"п<о лойггвигольно являелся метрическим пространством. В самом деле, справедливое п первых двух аксиом мегри <еского простраи< тва очевидна (см.
4>ормулу (14.1)). Убедимся в справедливости третьей аксиомы. Пуггь х',. х",, э,л координаты точек ЛХ', ЛХ". ЛХ'". Имеем р'(ЛХ', ЛУл') = = Е((гу —,') + ( '," —:'',))л = Е( ' —:,')' ч- и Е(К" —,'И '," —,) ч- -Л- ~„(хэ, — х<) . Полагая .л,'! — х,! = а, н х!' —.г! = 1>, н и<.пользуя неравенство Буняковского (см, неравенство (10.30) в Дополнения ! к гл.
10), найдем, <то х (х, —:г, )(г, — т,) < Л (х',о — <г,<)> Л (г" ,— <г',)э. Отсюда еле>ЛУст .= ! <го р (М',М"') < Х,(г'," —:г",)з -~- Л,(г" ,— х)э . т. е, р(ЛХ'. ЛХ"') < =! < р(ЛУ'. ЛХ") -~ р(М", ЛХ"') 480 ГЛ. !1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ к>т собой обобшеция указанных вьппс понятий координатного пространства н евклидова пространства. 5. Множества точек тп-мерного евклидова пространства Е™.
Символом (ЛХ) мы будем обозначать некоторое множество точек гп-мерного свк.аидова про<чтранства Е"". Рассх<отрим не<колько примеров множеств в т-мерном евклидовом про< тр<нп тв< Еп' 1". Множество (ЛХ) всевозможных точек, коор;ншаты Хс. Хг.., ., Хкь КОТОРЫХ УДОВЛЕтВОРЯЮт НСРааснетВУ (Хс — .Г 1)- + ..о > +(<г'г <1:г) + ° ° .+(.'г>»> — гх>») ~ (1<, па:сывает<'я гп-мерным в<аром радиуса П с центром в точке ЛХе(хс> ха..... хт).
Таким образом, .0.,0 „О гп-мери! <Й псар огй>слоняется как множесч во (ЛХ) во<возможных точек ЛХ, ра<ттоянис р <и кал<дой из которых до некоторой точки ЛХо (центр шара) у;[овлстворяст неравенству р(ЛХ. Мо) < П. Если расстояние р(ЛХ> Мв) от каждой точки множества (ЛХ) до точки ЛХе УдовпетвоРЯст стРо<омУ неРавснствУ Р(ЛХ. ЛХв) < й, то хшожество (М) называется опгкрыть<м т-мерным шарам. 2'. Множество (ЛХ) точек, расстояние от каждой из которых до некоторой точки ЛХс удовлетворяет соотношению р(ЛХ>ЛХс) = Л, называется гп;мерной сгрерг><с радиуса Л с центром в точке ЛХв. 3'.
Множество (ЛХ) точек, координаты хс.хг>, ..,.х>ь которых удоьсютворянуг нс1нсвшн:таам )хс — <г;1! ~ (д1. ~ха — ггг( ~ (а>2 ..., (х„с —:еп,! «(„„нгзывастсЯ сп-.меРнылс кооРдинатным па,в ра>слелеп<сссг>дг>м. При ятом точка Мс(хнх, ...,х,) называет,,о„о „о ся центром чтото гп-мерного параллелепинс,!а. Если координаты хс. <гг..... хь, точек мпожсства (ЛХ) у,юв.
<етворяк>т строгим неравенствам ~хс — хсс~ < д<, )ха — х~~~ < дг, ..,, ~х>ь — ге~~„~ < й,„, то множество (ЛХ) называется г>ткрыпсь>м, т-мернылс координат; пьсм параллелен ппедвлс. Ввсдеь< понятия е-окресгпноспгп точки ЛХс евклидова пс-ькрно<о Рй>осгранства и прямоугольной окрест>икхти ягой точки Мо. Будем ссазывать е-г> к р е с гп и с с т, ь ю гп о ч; ь и ЛХв(хс, <ег,..., гг.„,) т-.мерного евклидова прастра>сства Е>ь открыпсый ггс-меХ>яьсй <аар радиуса е с <!енгг>Х>влс в точке ЛХв. Прямвугвльносс оьрестног ть>в спо'ски Мс(хс.ха»... хт) пс-л< рнвго евклидова проспсран<тва нагыва,о .о ,.о стася любо<с г>гпкр>ыг>сы<1 сгс-мер>сьг<1 квврдинатньпс параллг>леп<спед с ценп>рвм в <почке Мо. Справедливо следукпцес очевидное утверждение. Л>абая е-г>крессгсносггсь точки Мв евклидова т-мерног» прог>гг<Ххснсп>ва Е"' сг>де!>:ьс<ст, неквтврук> прямоугольную окрест; ность отой тг>чк<с.
Л<вбвя прямоугг>льпвя окрест>ность точки ЛХв сог)ерв>г>ит цекоп>пруса е-окрсспгпость пи>чки Ме. понятии ех11кц!1и нискольких пьвимилных 481 Пусть (ЛХ1 нскоторос множество точек евклидова пг;мерного простран! тва Ео'. Введем !тодуа>щис понятия. Твчгслл ЛХ множесплва (М) нт>ьяается в и у т р е ни е й точклт э!ного мгложества, если срщегплвует, некотория е-вкрестноспль пн>чки ЛХ. все> пло лк!л коп>арой принадлежат, множесгпоу (ЛХ). Точка ЛХ ) низьлвае!ги>я, г р а и и ч и, о й !почкой множество. (М), если любая с-окрестность этой' плочки содержппл как гглочклл, при!ладлеэ>!сащие множеству (М), так и не принадлежищие ем!р Мгллхпсесг>лоо (ЛХ) глХ>г>сгг>Ххлнл>гглва Епг низыоаепяя о т к р ьлпл ы м м н с> ж е с и, в о м и л и о б л а с т ь ю, если гиобая точка этого множеспяа внугпренняя.
Если кчзждая граничная точка м!лл>эчсества (М) является точкой это«о множесп!оа, то множесгпво (ЛХ) назь>яается з а м к и у тп ы,м. Елыи множество (ЛХ) представляет собой область, то хшожсство (ЛХ). полученное присоединенном к (ЛХ>! всех граничных точек этого множества, называстся,з а м к и д т, о й областью. Отметим, что сели все точки области (ЛХ1 находятгя внутри нскоторого шара, то эта область называется о г р а н и ч е N- н о й. В дььтьнсйн!см нам понадобится понятие соятнв«0 .м!10>>к>е— сгпва. Прсдвари гсльно мы введем понятие непрерывной ърллвой в многомерном пространстве Еп'.
ХХепрерьяной кривой Ь в простринспяе Е™' ллы буде..м, назыоапль мнлппг>лют!>о (М) точек сапого прог>пух>нег>лва, координагпы хл, ха,.... хт квгпорыпе предстивллиот собой непрерьлллные 1Х>р!лкц!ллл парохилп>ра й; Хл = Лрл(!), Э2 — Лра(!) ° ° ° ° >>>а = лрн>(!), О ~( ! ~( /3. (14.2) Л1ы будем говорить, что точки ЛХ'(>гл.
»>~...., х',а) и ЛХ (э:,.хэ.....т: ) нросзрансзва Е можно соедин>лть неллр>лрывно>л крглоогл Х, саги сушсствусг такая пс~рсрывная кривая То опредсляемая параметрическими уравнениями (14.2), что хл — — лр> (сг), хг — — лра(гг)..... х = лро>(сг), х' = 1эл(рл')> х,' = лра(>с>), ... „х" = лрг>г(Я. Сфор>ыу>!!!русы понятие связного множества. Множеспяо (М) прас!принс!ива Ен' назьяслется с в,я з и.
и м, ес,ги дое любые Огмегнм, чго прн агом гочка М можег не прнналлежагь множестну (М). 16 Н.А. Ияьпн, Э.Г. Позняк. часть 1 482 эь нкнии нкскольких нкгкмкнных гл. » его точаии ли>звон> соедсснс>ть непрерьт>ной кривой, все точкси которой принадлежа>а этому мссожеству 3 а м е ч а и и с. Отметим, что иногда областью называют открытое и с:в>с.псоес и пе сй>ос:то открытое хсиожество. Рассмотрим следуюший пример. М>сожс>ство (ЛХ) точек Е"', опредслясхсос уравнением а (14.3) называется т;мерным эллисссопдс>м..
Точки т-мсроого эл>шпсо- ида являюсгя граничными точками множества (М) точек ЛХ, координаты которых удовлетворяют неравенству а — ", + —,'+...+ — ', (1. а-, а.> сл>, Это множество является хшожеством внутренних точек т- мерного эллипсоида. Читатель легко убедится сам, что мсюжество впутршших то- чек т-мерного эллипсоида является открытым и связным мпо- жес:твом. Отметим, что т-мерный эллипсоид, ос>редел>зеясый со- отпошсшзсм (14.3), представляет собой замкнутое множество.
Область задания функции = / 'счгсгс представляет собой несвязное мпожесгво (см. пример 3' и. 3 и риг. 14,1). В зак:почсиие договоримся называть о к р е с т н о г т, ь со т г> ч к и ЛХ лн>бое открытое связное множество, содержа>пес ЛХ. 6. Понятие функции гп-переменных. Введем сн>пятне функции га переменных.
Ес>ссс киждои то ске ЛХ 'аз лсножества (ЛХ) псочек т- мерного евклидова тсространстви Ьссс с>псавсссссгя в соотвеги- спсвое по пзвстписому закону ссекоторое 'гисло и, тс> гово- рятч что на лсножестве (ЛХ) видана функция и = п(ЛХ) пли и = «(ЛХ). При этом, множество (М) пазываезтя облистьн> га- ди>та фупкцин и = «(М). Число и. соответствукицсс данной точке ЛХ из множества (ЛХ), будем называть част>снсьсм з>си чева>ем фу>>к>ус>с> в точке М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
